2024年江蘇省無錫市新吳區(qū)中考數(shù)學適應性試卷

第1頁（共1頁）2024年江蘇省無錫市新吳區(qū)中考數(shù)學適應性試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑）1．（3分）下列各對數(shù)中，互為倒數(shù)的一對是（）A．4和﹣4 B．﹣2和﹣ C．﹣3和 D．0和02．（3分）用3D打印技術打印出的高精密游標卡尺，其誤差只有±0.000063米，將0.000063用科學記數(shù)法表示為（）A．6.3×105 B．6.3×10﹣6 C．6.3×10﹣5 D．0.63×1053．（3分）下列運算中，正確的是（）A．3ab?2b＝6ab2 B．3ab﹣ab＝2 C．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 D．4．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．平行四邊形 D．正六邊形5．（3分）下列說法正確的是（）A．一組數(shù)據(jù)2，3，4，3，7，8，8的中位數(shù)是4 B．“明天下雨”是不可能事件 C．為了解某型號車用電池的使用壽命，采用全面調(diào)查的方式 D．某種彩票的中獎機會是1%，則買100張這種彩票一定會中獎6．（3分）將一個含有30°角的直角三角板和一把直尺按如圖方式放置，若∠1＝26°，則∠2的度數(shù)為（）A．114° B．124° C．134° D．144°7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AE垂直平分OB于點E，則BC的長為（）A． B． C．4 D．28．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，若弦AD＝1（）A．30° B．60° C．30°或60° D．30°或90°9．（3分）如圖，點A，B在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0），連接OA，AB，AB為邊作?OABC，若點C恰好落在反比例函數(shù)y＝（x＞0），此時?OABC的面積是（）A．3 B． C．2 D．610．（3分）在?ABCD中，3BC＝2AB，將?ABCD沿對角線AC翻折，且點E與點D不重合，設點E到邊AD、BC的距離分別為d1、d2，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應的位置上）11．（3分）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是．12．（3分）分解因式：﹣2x2+8＝．13．（3分）一個圓錐的主視圖是底邊為2的等腰直角三角形，則這個圓錐的側(cè)面積等于．14．（3分）寫一個二次根式，使它與是同類二次根式．15．（3分）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“粟米之法：粟率五十；糲米三十．今有米在十斗桶中，不知其數(shù)．滿中添粟而舂之，但不知道數(shù)量是多少．再向桶中加滿谷子，再舂成米斗．16．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象交x軸于A、B兩點（A在左側(cè)），交y軸于點C，將AC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°，則E點坐標為．17．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，2），點C到y(tǒng)軸的距離是3，AB＝BC，則△ABC的面積為．18．（3分）如圖，將直角△ABC沿斜邊AC翻折后B點的對應點B'，點P、Q是線段AB、B'C上的動點，已知AB＝12，BC＝5．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等）19．（8分）（1）計算：；（2）化簡：．20．（8分）（1）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0；（2）解不等式組：．21．（10分）△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，F(xiàn)為EC的中點（1）求證：△DEF≌△GCF；（2）猜想線段BC與線段CG的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．22．（10分）為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某中學準備開展學習“傳統(tǒng)手工技藝”社團活動．共有4個社團供學生選擇：“A一剪紙”、“B一木版畫雕刻”、“C一陶藝創(chuàng)作”、“D一皮影制作”．（1）若將這4個社團隨機分成4批，則A選項被分在第一批的概率為；（2）若將這4個社團隨機分成兩批進行展示，每批2個社團的學生參加．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）①求A選項被分在第一批的概率；②求A、B兩個選項被分在第一批的概率．23．（10分）某校為增強學生身體素質(zhì)，開展了為期一個月的跳繩系列活動．為了解本次系列活動的效果，校體育組在活動之前隨機抽取部分九年級學生進行了一分鐘跳繩測試，五個等級的賦分依次為10分、9分、8分、7分、6分，將測試結(jié)果整理后，體育組再次對這部分學生進行跳繩測試，以相同標準進行分級和賦分請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）求被抽取的九年級學生人數(shù)，并補全統(tǒng)計圖2．（2）若全校600名九年級學生全部參加了跳繩活動及一分鐘跳繩測試，測試分級和賦分標準不變．請通過計算，估計這600名學生在跳繩活動結(jié)束后的測試中（含9分）有多少人？（3）選擇一個適當?shù)慕y(tǒng)計量，通過計算分析，對該校跳繩系列活動的效果進行合理評價．24．（10分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC邊上找一點E，使得AE＝2CE；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若BC＝2，連接CD、BE交于點F，則S△ABF＝．25．（10分）如圖，某學習小組在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹AB的高度，再從C點出發(fā)沿斜坡走米到達斜坡上D點，若斜坡CF的坡比為i＝1：3（點E、C、B在同一水平線上）．（1）求從點C到點D的過程中上升的高度；（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）．26．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，CF（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AD＝5，，求FD的長．27．（10分）正方形ABCD中，點E在邊BC，CD上運動（不與正方形頂點重合），將射線AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交射線CD于點F．（1）如圖，點E在邊BC上，BE＝DF；（2）過點E作EG⊥AF，垂足為G，連接DG；（3）在（2）的條件下，當△DFG是以DG為腰的等腰三角形時，求28．（10分）定義：把函數(shù)C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的圖象繞點P（O，n）旋轉(zhuǎn)180°2的圖象，我們稱C2是C1關于點P的相關函數(shù)，C2的圖象頂點縱坐標為m．（1）當n＝0時，求新函數(shù)C2的頂點坐標（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若a＝1，當﹣≤x≤m時1的最大值為y1，最小值為y2，且y1+y2＝7，求C2的解析式；（3）當n＝1時，C2的圖象與直線y＝2相交于A，B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸相交于點D．把線段AD繞點（0，2），得到它的對應線段A′D′，若線A′D′與C2的圖象有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出a的取值范圍．

2024年江蘇省無錫市新吳區(qū)中考數(shù)學適應性試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑）1．（3分）下列各對數(shù)中，互為倒數(shù)的一對是（）A．4和﹣4 B．﹣2和﹣ C．﹣3和 D．0和0【解答】解：A、4和﹣4互為相反數(shù)；B、﹣3和﹣，此選項符合題意；C、﹣6和，此選項不符合題意；D、6沒有倒數(shù)；故選：B．2．（3分）用3D打印技術打印出的高精密游標卡尺，其誤差只有±0.000063米，將0.000063用科學記數(shù)法表示為（）A．6.3×105 B．6.3×10﹣6 C．6.3×10﹣5 D．0.63×105【解答】解：0.000063＝6.7×10﹣5，故選：C．3．（3分）下列運算中，正確的是（）A．3ab?2b＝6ab2 B．3ab﹣ab＝2 C．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 D．【解答】解：A、3ab?2b＝8ab2，故此選項計算正確，符合題意．B、3ab﹣ab＝（6﹣1）ab＝2ab，不符合題意．C、（5a﹣b）2＝4a8+4ab+b2，故此選項計算錯誤，不符合題意．D、，故此選項計算錯誤．故選：A．4．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．平行四邊形 D．正六邊形【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的概念，A、等腰三角形是軸對稱圖形，不符合題意；B、直角三角形既不是軸對稱圖形，不符合題意；C、平行四邊形不是軸對稱圖形，不符合題意；D、正六邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱的圖形，故選：D．5．（3分）下列說法正確的是（）A．一組數(shù)據(jù)2，3，4，3，7，8，8的中位數(shù)是4 B．“明天下雨”是不可能事件 C．為了解某型號車用電池的使用壽命，采用全面調(diào)查的方式 D．某種彩票的中獎機會是1%，則買100張這種彩票一定會中獎【解答】解：A、把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，4，4，7，3，8，故A符合題意；B、“明天下雨”是隨機事件；C、為了解某型號車用電池的使用壽命，故C不符合題意；D、某種彩票的中獎機會是1%，故D不符合題意；故選：A．6．（3分）將一個含有30°角的直角三角板和一把直尺按如圖方式放置，若∠1＝26°，則∠2的度數(shù)為（）A．114° B．124° C．134° D．144°【解答】解：如圖：∵EB∥CD，∴∠1＝∠3＝26°，∵∠A＝30°，∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣30°﹣26°＝124°，∴∠2＝∠2＝124°，故選：B．7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AE垂直平分OB于點E，則BC的長為（）A． B． C．4 D．2【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴BC＝AB＝2，故選：B．8．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，若弦AD＝1（）A．30° B．60° C．30°或60° D．30°或90°【解答】解：連接BC，′∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝4，∵AD＝AD′＝BC＝1，∴＝，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠DAC＝60°﹣30°＝30°；同理可得：∠D′AC＝60°+30°＝90°；綜上所述：∠CAD的度數(shù)為30°或90°．故選：D．9．（3分）如圖，點A，B在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0），連接OA，AB，AB為邊作?OABC，若點C恰好落在反比例函數(shù)y＝（x＞0），此時?OABC的面積是（）A．3 B． C．2 D．6【解答】解：如圖，連接AC，作AG⊥x軸，設點A（a，﹣），點C（m，，m＞4）∵四邊形ABCO是平行四邊形∴AC與BO互相平分∴點E（）∵點O坐標（0，5）∴點B[（a+m），（﹣∵點B在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，∴﹣+＝﹣∴a＝﹣2m，a＝m（不合題意舍去）∴點A（﹣3m，）∴S△AOC＝（）（m+8m）﹣∴?OABC的面積＝2×S△AOC＝4故選：A．10．（3分）在?ABCD中，3BC＝2AB，將?ABCD沿對角線AC翻折，且點E與點D不重合，設點E到邊AD、BC的距離分別為d1、d2，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，過點E作EF⊥AD的延長線于點F，則EG⊥BC，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝BC，∴∠2＝∠3，∠DAC＝∠ACB，由折疊的性質(zhì)得∠8＝∠2，∠ACB＝∠ACE，BC＝EC，∴∠DAC＝∠ACE，∠1＝∠2，AD＝CE，即∠1+∠5＝∠8+∠4，∴∠4＝∠4，在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SAS），∴∠7＝∠9，∴∠6+∠4＝∠7+∠9，即∠ADE＝∠CED，∵∠DAC＝∠ACE，∴∠ADE+∠DAC＝∠CED+∠ACE＝＝180°，∴AC∥DE，即AC∥DH，∵AD∥CH，∴四邊形ACHD為平行四邊形，∴AC＝DH，AD＝CH，∴CE＝AD＝CH＝BC，∵3BC＝2AB，∴AB＝BC，∴AE＝AB＝BC，∴DE＞AE﹣AD＝BC，∵∠EGH＝∠F＝90°，∠HEG＝∠DEF，∴△HEG∽△DEF，∴＝＜＝7，即，d8＝0，當點E在BC的延長線時，＝0，∴0≤＜4，故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應的位置上）11．（3分）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是x≠3．【解答】解：由題意得，x﹣3≠0，解得x≠8．故答案為：x≠3．12．（3分）分解因式：﹣2x2+8＝﹣2（x+2）（x﹣2）．【解答】解：﹣2x2+3＝﹣2（x2﹣2）＝﹣2（x+2）（x﹣5）．故答案為：﹣2（x+2）（x﹣7）．13．（3分）一個圓錐的主視圖是底邊為2的等腰直角三角形，則這個圓錐的側(cè)面積等于π．【解答】解：∵圓錐的主視圖是底邊為2的等腰直角三角形，∴圓錐的底面直徑為2，母線長為，∴圓錐的底面周長為2π，∴圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長為2π，∴圓錐的側(cè)面展開圖扇形的面積為：×2π×＝π，故答案為：π．14．（3分）寫一個二次根式，使它與是同類二次根式（答案不唯一）．【解答】解：＝2，則的同類二次根式為，故答案為：（答案不唯一）．15．（3分）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“粟米之法：粟率五十；糲米三十．今有米在十斗桶中，不知其數(shù)．滿中添粟而舂之，但不知道數(shù)量是多少．再向桶中加滿谷子，再舂成米斗．【解答】解：設原來有米x斗，則后加入谷子（10﹣x）斗，根據(jù)題意得：x+（10﹣x）＝7，解得：x＝，∴原來有米斗．故答案為：．16．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象交x軸于A、B兩點（A在左側(cè)），交y軸于點C，將AC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°，則E點坐標為（，）．【解答】解：令y＝0，則x2﹣5x+3＝0，解得x6＝1，x2＝5，∴A（1，0），2），∴OA＝1，OB＝3，令x＝8，則，y＝3，∴C（0，7），∴OC＝3，過點A作AC的垂線，交CE于點F，交x軸于點D∵∠ACF＝45°，∠CAF＝90°，∴AC＝AF，∵∠FAD+∠CAO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠FAD＝∠ACO，∴△FAD≌△ACO（AAS），∴FD＝OA＝1，AD＝OC＝2，∴OD＝OA+AD＝1+3＝4，∴F（4，1），設直線CE的解析式為y＝kx+b，把C（2，3），1）代入解析式得：，解得，∴直線CE的解析式為y＝﹣x+3，聯(lián)立方程組，解得或，∴E（，）．故答案為：（，）．17．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，2），點C到y(tǒng)軸的距離是3，AB＝BC，則△ABC的面積為8.5或4．【解答】解：∵點C到y(tǒng)軸的距離是3，∴有以下兩種情況：（1）當點C在y軸的左側(cè)時，∵點B在y軸上，∴又有兩種情況：①當點B在y軸的正半軸上時，過點B作y軸垂線l，過點A作AF⊥直線l于F，連接AD，在FB上取一點E，使∠E＝∠ABC，如圖1所示：∴∠ADB＝∠ABC＝∠E，∵點A的坐標為（8，2），∴BK＝3，BF＝6，∵sin∠ABC＝，∴sin∠ADB＝sin∠ABC＝sin∠E＝，在Rt△CDF中，sin∠ADB＝＝，∴設AF＝4a，AD＝5a，由勾股定理得：DF＝＝3a，∴BD＝BF+DF＝8a+1，cos∠ADB＝，∴cos∠E＝cos∠ADB＝，∵∠ABE＝∠BAD+∠ADB，又∵∠ABE＝∠EBC+∠ABC，∠ADB＝∠ABC，∴∠BAD＝∠EBC，在△BAD和△EBE中，，∴△BAD≌△EBE（AAS），∴BD＝CE＝4a+1，AD＝BE＝5a，∴EK＝BE﹣BK＝7a﹣3，∵cos∠E＝，∴，∴a＝，∴AF＝7a＝，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝，∴BC＝AB＝，在Rt△BCG中，sin∠ABC＝，∴CG＝AB＝，∴S△ABC＝AB?CG＝；②當點B在y軸的負半軸上時，過點B作y軸垂線l，過點A作AF⊥直線l于F，連接AD，在FB上取一點E，使∠E＝∠ABC，如圖2所示：（2）當點C在y軸的左側(cè)時，只有一種情況，過點B作y軸垂線l，過C作CG⊥AB于G，在FB的延長線取一點D，使∠D＝∠ABC，連接CE，過點C作CK⊥直線l于K則∠D＝∠ABC＝∠BEC，∴sin∠D＝sin∠ABC＝sin∠BEC＝，同（1）①得：AF＝4a，BF＝5a，cos∠D＝，BK＝4，△ABD≌△BCE（AAS），∴AD＝BE＝5a，CE＝BD＝DF﹣BF＝3a﹣5，∵cos∠D＝cos∠BEC＝＝6/5，∴，∴a＝，∴AF＝4a＝3，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝，∴AB＝BC＝，在Rt△BCG中，sin∠ABC＝，∴CG＝BC＝，∴S△ABC＝AB?CG＝．綜上所述：△ABC的面積為：8.5或7．故答案為：8.5或3．18．（3分）如圖，將直角△ABC沿斜邊AC翻折后B點的對應點B'，點P、Q是線段AB、B'C上的動點，已知AB＝12，BC＝5．【解答】解：如圖，在AB′上截取B′D＝PB，連接PD，作QE⊥PD于E，設PB＝B′Q＝B′D＝a，∴AP＝AD＝12﹣a，∵∠BAC＝∠B′AC，∴AG⊥PD，∴AG＝AP?cos∠BAC＝AP?＝（12﹣a），∴PD＝2PG＝，在Rt△CQF中，CQ＝7﹣a，∴CF＝（4﹣a）（5﹣a），∴EQ＝FG＝AC﹣AG﹣CF＝13﹣（12﹣a）﹣a，在Rt△PQE中，PE＝PG+EG＝（5﹣a）＝﹣a，PQ2＝PE3+EQ2＝（a）2+（﹣a）4＝（2×178a2﹣2×120×17a+1208），∴當a＝﹣＝時，PQ最小，此時，PE＝＝，∴PQ＝，故答案為：．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等）19．（8分）（1）計算：；（2）化簡：．【解答】解：（1）＝3+5﹣1＝3+8；（2）＝＝+＝．20．（8分）（1）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0；（2）解不等式組：．【解答】解：（1）3x2﹣4x﹣1＝0，（6x+1）（x﹣1）＝3，∴3x+1＝5或x﹣1＝0，∴x8＝﹣，x5＝1；（2），解①得x＜1，解②得x＞15，所以不等式組無解．21．（10分）△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，F(xiàn)為EC的中點（1）求證：△DEF≌△GCF；（2）猜想線段BC與線段CG的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：∵D、E分別為AB，F(xiàn)為EC的中點，∴DE是△ABC的中位線，EF＝FC，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠G，在△DEF和△GCF中，，∴△DEF≌△GCF（AAS）；（2）解：BC＝2CG，理由如下：∵DE是△ABC的中位線，∴BC＝2DE，∵△DEF≌△GCF，∴DE＝CG，∴BC＝4CG．22．（10分）為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某中學準備開展學習“傳統(tǒng)手工技藝”社團活動．共有4個社團供學生選擇：“A一剪紙”、“B一木版畫雕刻”、“C一陶藝創(chuàng)作”、“D一皮影制作”．（1）若將這4個社團隨機分成4批，則A選項被分在第一批的概率為；（2）若將這4個社團隨機分成兩批進行展示，每批2個社團的學生參加．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）①求A選項被分在第一批的概率；②求A、B兩個選項被分在第一批的概率．【解答】解：（1）∵共有4個社團供學生選擇，分別是“A一剪紙”、“C一陶藝創(chuàng)作”，∴A選項被分在第一批的概率為．故答案為：；（2）列表如下：*ABCDA*（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）*（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）*（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）*∴共有12種等可能情況；①A選項被分在第一批的情況數(shù)有8種，則A選項被分在第一批的概率是＝；②A、B兩個選項被分在第一批的2種，∴A、B兩個選項被分在第一批的概率是＝．23．（10分）某校為增強學生身體素質(zhì)，開展了為期一個月的跳繩系列活動．為了解本次系列活動的效果，校體育組在活動之前隨機抽取部分九年級學生進行了一分鐘跳繩測試，五個等級的賦分依次為10分、9分、8分、7分、6分，將測試結(jié)果整理后，體育組再次對這部分學生進行跳繩測試，以相同標準進行分級和賦分請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）求被抽取的九年級學生人數(shù)，并補全統(tǒng)計圖2．（2）若全校600名九年級學生全部參加了跳繩活動及一分鐘跳繩測試，測試分級和賦分標準不變．請通過計算，估計這600名學生在跳繩活動結(jié)束后的測試中（含9分）有多少人？（3）選擇一個適當?shù)慕y(tǒng)計量，通過計算分析，對該校跳繩系列活動的效果進行合理評價．【解答】解：（1）被抽取的九年級總?cè)藬?shù)：5+12+28+10+5＝60（人），∴活動結(jié)束后D等級的人數(shù)：60﹣3﹣24﹣16﹣4＝10（人），補全的統(tǒng)計圖如下：（2）600×＝300（人），答：估計這600名學生在跳繩活動結(jié)束后的測試中，賦分超過3分（含9分）有300人；（3）用平均數(shù)分析，活動前的賦分平均數(shù)：＝（分），活動結(jié)束后的賦分平均數(shù)：＝（分），∵活動結(jié)束后的賦分平均數(shù)比活動前的高，∴該校跳繩系列活動的效果良好．24．（10分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC邊上找一點E，使得AE＝2CE；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若BC＝2，連接CD、BE交于點F，則S△ABF＝．【解答】解：（1）如圖，點E即為所求；（2）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB＝BC，∵BE平分∠ABC，∴DF＝CF，∴S△ADF＝S△DFB＝S△CBF，∴S△ABF＝S△CDB＝×22＝．故答案為：．25．（10分）如圖，某學習小組在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹AB的高度，再從C點出發(fā)沿斜坡走米到達斜坡上D點，若斜坡CF的坡比為i＝1：3（點E、C、B在同一水平線上）．（1）求從點C到點D的過程中上升的高度；（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）．【解答】解：（1）過點D作DG⊥BE，垂足為G，∵斜坡CF的坡比為i＝1：3，∴＝，∴設DG＝x米，則CG＝3x米，在Rt△DCG中，CD＝＝＝，∵CD＝3米，∴x＝5，解得：x＝3，∴DG＝3米，CG＝4米，∴從點C到點D的過程中上升的高度為3米；（2）過點D作DH⊥AB，垂足為H，由題意得：DG＝BH＝3米，DH＝BG，設BC＝x米，∵CG＝4米，∴DH＝BG＝CG+BC＝（x+9）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC?tan45°＝x（米），在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，∴AH＝DH?tan30°＝（x+9）米，∵AH+BH＝AB，∴（x+9）+3＝x，解得：x＝2+9，∴AB＝（2+9）米，∴大樹AB的高度為（3+9）米．26．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，CF（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AD＝5，，求FD的長．【解答】（1）證明：連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∵OC是半徑，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B＝∠ADC，，∴sin∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵sin∠ADC＝＝，AD＝5，∴AC＝AD?sin∠ADC＝5×＝4，∴CD＝＝3，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝，設FD＝3x，則FC＝4x，又∵FC8＝FD?FA，即（4x）2＝4x（3x+5），解得x＝（取正值），∴FD＝3x＝．27．（10分）正方形ABCD中，點E在邊BC，CD上運動（不與正方形頂點重合），將射線AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交射線CD于點F．（1）如圖，點E在邊BC上，BE＝DFAF；（2）過點E作EG⊥AF，垂足為G，連接DG；（3）在（2）的條件下，當△DFG是以DG為腰的等腰三角形時，求【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，故答案為：AF．（2）①當點E在邊BC上時，如圖1，垂足為M，則∠AMG＝∠DMG＝∠GNE＝90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴∠2+∠2＝90°，∵EG⊥AF，∠EAF＝45°，∴∠2+∠1＝90°，△AEG為等腰直角三角形，∴∠3＝∠3，在△AMG和△GNE，，∴△AMG≌△GNE（AAS），∴AM＝GN，∵AM+MD＝GN+MG，∴MD＝MG，∴△MDG為等腰直角三角形，∠4＝45°，∴∠GDC＝45°．②當點E在邊CD上時，如圖2，垂足為N，則四邊形ADNM是矩形，同理可得△AMG≌△GNE，∴GN＝AM＝DN，∴△NDG為等腰直角三角形，∠1＝45°，∴∠GDC＝180°﹣45°＝135°．綜上，∠GDC的度數(shù)為45°或135°．（3）①當點E在邊BC上時，如圖1，Ⅰ．當DG＝DF時，由（2）①知，△MDG為等腰直角三角形，設M