口算算法和算理切勿混淆

筆者近期連聽(tīng)了幾節(jié)口算課，發(fā)現(xiàn)多位授課教師對(duì)口算算法和算理的認(rèn)識(shí)不清晰，導(dǎo)致教學(xué)的設(shè)計(jì)及實(shí)施出現(xiàn)明顯問(wèn)題。為此，筆者結(jié)合具體課例，對(duì)口算中的算法和算理作一些詳細(xì)說(shuō)明，期待能引起一線教師的思考。一算法，即計(jì)算的方法，也就是怎么算。以人教版教材三年級(jí)上冊(cè)的《口算乘法》為例。例1（如圖1）中，20×3可以怎么算？“20后面的0先不看，2乘3等于6，6后面再添個(gè)0，等于60?！边@就是學(xué)生心目中這道題最典型的算法。當(dāng)然，20×3還有另一種算法，即用20＋20＋20來(lái)計(jì)算，等于60。算理，即算法背后的道理，也就是為什么可以這樣算。以前述“0先不看，乘后再添0”的算法為例。它背后的道理是什么？20后面的0不看，就只看到了2；這個(gè)2是2個(gè)十的2，2個(gè)十的2乘3，得到6；但這個(gè)6是6個(gè)十的6，所以還要在6后面添個(gè)0，得到結(jié)果為60。這就是該種算法的算理。上述算理，其本質(zhì)是數(shù)的意義和乘法的本質(zhì)（計(jì)數(shù)單位不變，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)增加）。當(dāng)然，算理還涉及乘法運(yùn)算律，如“2個(gè)十”乘3變成“2×3”個(gè)十，用到了乘法交換律和結(jié)合律（這些運(yùn)算律知識(shí)尚未學(xué)過(guò)，學(xué)生依據(jù)直觀和經(jīng)驗(yàn)接受即可，下文同）。至于20×3的另一種算法20＋20＋20，其算理一目了然——乘法的意義，即乘法是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。由此可見(jiàn)，算法和算理是計(jì)算教學(xué)中兩個(gè)不同的概念，教師教學(xué)時(shí)需要區(qū)分清楚，不可混為一談。二例2（如圖2）中的算法與算理更值得一說(shuō)。12×3的算法是怎樣的？（讀者不妨先自己想一想）用加法來(lái)計(jì)算，12＋12＋12肯定可行。用乘法來(lái)算呢？很多教師可能會(huì)覺(jué)得，教材上所呈現(xiàn)的“10×3＝30，2×3＝6，30＋6＝36”不就是算法嗎？因此常會(huì)有教師直接把這一過(guò)程寫下來(lái)（或讓學(xué)生寫下來(lái)），指出這就是這道題目的計(jì)算方法。然而，口算的算法并不需要那么復(fù)雜。在學(xué)生看來(lái)，這道題的口算算法很簡(jiǎn)單。先用十位上的1乘3得3，答案處先寫3；再用個(gè)位上的2乘3得6，6寫在3的后面；3和6“合起來(lái)”就是36。整個(gè)算法過(guò)程如圖3所示（圖中的連線，只是學(xué)生表達(dá)算法或教師引導(dǎo)理解時(shí)的輔助記號(hào)，實(shí)際口算時(shí)不用畫出來(lái)）。此外還要說(shuō)明兩點(diǎn)：其一，口算的結(jié)果是口述的，并不一定要寫下來(lái)；其二，此題也可以從個(gè)位算起，且這是后一節(jié)課的優(yōu)化方向。那么，這道題這么算，算理是什么呢？一是數(shù)的意義，12就是10與2的和；二是乘法分配律，12×3也可視為10×3加上2×3；三是數(shù)的組成，十位上寫3，個(gè)位上寫6，就是30＋6。例題圖中小棒的圈畫或那三個(gè)算式就是在說(shuō)明這些道理。因此，小棒的圈畫和三個(gè)算式都是12×3乘法口算的算理，它們的本質(zhì)是一樣的，只不過(guò)前者為直觀圖式，后者為數(shù)學(xué)表達(dá)?？赡軙?huì)有教師心生疑惑，教材上的插圖明明寫了“我是這樣算的”，這難道不是算法嗎？筆者認(rèn)為，這是算法過(guò)程“完整的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖置枋觥?，學(xué)生可以如此邊口述邊寫出（想到）答案，但卻不需要形式化地寫出來(lái)，只要在頭腦中想到即可。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，教材上的“我是這樣算的”改成“我是這樣想的”也許更合適。三以上所講的算理算法，在筆者聽(tīng)到的課中，很多教師都是混淆的。最常見(jiàn)的場(chǎng)景是給出小棒情境圖，引導(dǎo)學(xué)生列式12×3（此時(shí)很多學(xué)生會(huì)直接報(bào)出答案36），然后給學(xué)生布置一個(gè)探究任務(wù)（如圖4）。學(xué)生探究后，教師組織教學(xué)反饋，學(xué)生有用連加計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明的，有用圈畫小棒圖配上三個(gè)橫式進(jìn)行說(shuō)明的，教師引導(dǎo)學(xué)生理解，最后確認(rèn)方法及答案。畫一畫或?qū)懸粚?，說(shuō)明12×3可以怎么算？上述教學(xué)過(guò)程存在的問(wèn)題是顯而易見(jiàn)的——算理算法混在了一起，有的學(xué)生是在寫算法，有的學(xué)生是在寫算理，或者兼而有之。針對(duì)這樣的問(wèn)題，教學(xué)該如何調(diào)整？筆者在《理法更分明，教學(xué)更合理》一文中已有闡述（詳見(jiàn)本刊2023年第10期），即針對(duì)這類算法較為簡(jiǎn)單、學(xué)生普遍都會(huì)的計(jì)算課（特別是口算內(nèi)容），均可采用“先算法，后算理”的教學(xué)思路。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維主要是指運(yùn)算能力和推理意識(shí)的背景下，這一教法的意義是明顯的，它放大了算理理解的過(guò)程，凸顯了思維訓(xùn)練的目標(biāo)。四綜上所述，口算的算法跟筆算的算法一樣，就是一個(gè)操作程序，但這個(gè)程序相對(duì)比較簡(jiǎn)單，往往可以用很樸素、直白的語(yǔ)言予以概括，如“0先不看，乘后再添0”“先乘個(gè)位的數(shù)，再乘十位的數(shù)”等。運(yùn)用這個(gè)程序就能很直接地得出答案，而不需要再寫出“想”的過(guò)程。這也就符合了口算的本意——凡是耳聽(tīng)題目口答結(jié)果或是看著題目說(shuō)出結(jié)果的計(jì)算方法就叫口算，所以口算也叫“心算”或“暗算”?？谒阍诘谝?、二學(xué)段有很多教