高中數(shù)學第三章三角恒等變換3-1-2兩角和與差的正弦余弦正切公式一課件新人教A版必修4

3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)

必備知識·自主學習1.兩角和的余弦公式導思(1)由兩角差的余弦公式,怎樣得到兩角和的余弦公式呢?(2)如何根據(jù)兩角和與差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦公式?簡記符號公式使用條件C(α+β)cos(α+β)=_______________________α,β∈Rcosαcosβ-sinαsinβ2.兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦公式S(α+β)sin(α+β)=______________________α,β∈R兩角差的正弦公式S(α-β)sin(α-β)=______________________α,β∈Rsinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (

)(2)存在α,β∈R,使得sin(α+β)=sinα+sinβ成立. (

)(3)對于任意α,β∈R,sin(α-β)=sinα-sinβ都不成立. (

)(4)sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin30°. (

)提示:(1)√.根據(jù)公式的推導過程可得.(2)√.當α=30°,β=0°時,sin(α+β)=sinα+sinβ.(3)×.當α=60°,β=0°時,sin(α-β)=sinα-sinβ成立.(4)√.因為sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin(56°-26°)=sin30°,故原式正確.2.(教材二次開發(fā):練習改編)sin75°cos15°-cos75°sin15°的值等于

(

)

【解析】選C.sin75°cos15°—cos75°sin15°=sin60°=.3.計算sin=________.

【解析】

答案:

關(guān)鍵能力·合作學習類型一求值問題(直觀想象、數(shù)學運算)角度1給角求值

【典例】1.的值是 (

)

2.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=________.

關(guān)鍵能力·合作學習類型一求值問題(直觀想象、數(shù)學運算)角度1給角求值

【典例】1.的值是 (

)

2.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=________.

【思路導引】1.由sin40°=sin(60°-20°)套用兩角差的正弦公式化簡可求值.2.把兩個已知條件分別平方,求和,利用兩角和的正弦公式可得答案.【解析】1.選A.原式=2.因為(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=1,所以sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sinαcosβ+2sinβcosα=1+1+2sin(α+β)=1.所以sin(α+β)=-.答案:-角度2給值求值

【典例】若sincos且0<α<<β<則cos(α+β)的值為________.

【思路導引】考慮如何利用已知條件中的角拼湊成所求問題中的角,可使用誘導公式.【解析】因為0<α<<β<所以+α<π,-<-β<0,又已知sincos所以cos所以cos(α+β)=sin=sin

答案:-

【解析】因為0<α<<β<所以+α<π,-<-β<0,又已知sincos所以cos所以cos(α+β)=sin=sin

答案:-

【解題策略】1.解決給角求值問題的策略.(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部的基本原則,如果整體符合三角公式的形式,則整體變形,否則進行各局部的變形.(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式,化為正負相消的項并消項求值,化分子、分母形式進行約分,解題時要逆用或變用公式.2.解決三角函數(shù)的給值求值問題的關(guān)鍵是尋求“已知角”與“所求角”之間的關(guān)系,用“已知角”表示“所求角”.求解策略如下:(1)當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.(2)當“已知角”有一個時,此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,然后應(yīng)用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.3.常見的角的代換關(guān)系有:α=(α+β)-β=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)]=[(β+α)-(β-α)],

等.【題組訓練】1.化簡:(1)=________.

(2)sin14°cos16°+sin76°cos74°=________.

【解析】(1)(2)原式=sin14°cos16°+sin(90°-14°)·cos(90°-16°)=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=.答案:(1)

(2)

2.已知α、β是銳角,且sinα=,cos(α+β)=-,求sinβ的值.【解析】因為α、β是銳角,且sinα=,所以cosα=0<α+β<π,所以sin(α+β)=所以sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα

【補償訓練】化簡:

【解析】原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-cos·cosx-sinsinx=sinx+cosx+sinx-cosx+cosx-sinx類型二給值求角(直觀想象、數(shù)學運算)【典例】1.已知sinsin且α-β-則的值為________.

2.已知在△ABC中,∠B=60°,且若∠A>∠C,求∠A的值.【思路導引】先依據(jù)條件確定所求角的范圍,再確定該角的某個三角函數(shù)值,最后確定角的大小.【解析】1.因為α-β-所以0<<π,又因為

所以答案:2.由已知∠B=60°,∠A+∠C=120°,設(shè)=α,因為∠A>∠C,則0<α<60°,故∠A==60°+α,∠C=-=60°-α,故

由題設(shè)有整理得:4cos2α+2cosα-3=0.(2cosα-)(2cosα+3)=0.因為2cosα+3≠0,所以2cosα-=0.所以cosα=.故α=45°,∠A=60°+45°=105°.【解題策略】

1.利用兩角和與差的正弦、余弦公式解決給值求角問題的思路(1)確定角的范圍.(2)求角的正弦或余弦值.(3)根據(jù)角的范圍寫出要求的角.2.在求角的正弦或余弦值時的選擇原則(1)若所求角的范圍是選正、余弦皆可.(2)若角的范圍是(0,π),選余弦較好.(3)若角的范圍為選正弦較好.【跟蹤訓練】1.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,則C的大小為

(

)

【解析】選A.由已知可得(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=62+12,即9+16+24sin(A+B)=37.所以sin(A+B)=.所以在△ABC中sinC=,所以C=或C=又1-3cosA=4sinB>0,所以cosA<又

所以A>所以C<所以C=不符合題意,所以C=2.若

其中<α<,<β<,求α+β的值.【解析】因為

<α<,<β<,所以-<-α<0,<+β<π.所以cos=cos=-所以cos(α+β)==coscos+sinsin

又因為<α+β<π,所以α+β=π.類型三輔助角公式的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學運算)【典例】1.下面能使f(x)=sinx-cosx取最大值的一個角為 (

)

2.已知函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x.(1)求出f(x)的最大值、最小值.(2)求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.【思路導引】首先把題目中的三角函數(shù)式化為y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求最值、單調(diào)區(qū)間.【解析】1.選C.f(x)=sinx-cosx

對于所給選項,當x=時,ymax=.2.f(x)=

(1)當2x+=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z時,f(x)取得最大值2;當2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-π,k∈Z時,f(x)取得最小值-2.(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-π≤x≤kπ+,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為【解題策略】對于形如y=sinα±cosα,y=sinα±cosα的三角函數(shù)式均可利用特殊值與特殊角的關(guān)系,運用角的和差的正、余弦公式化簡為含有一種三角函數(shù)的形式.【跟蹤訓練】1.cosα-sinα化簡的結(jié)果可以是 (

)

【解析】選B.cosα-sinα=2

2.函數(shù)f(x)=sinx+cosx,x∈的最小值為 (

)A.2 B.- C.- D.1【解析】選D.f(x)=sin,因為0≤x≤,所以≤x+≤,≤sin≤1,所以f(x)的最小值為1.

【拓展延伸】輔助角公式:asinx+bcosx=·sin(x+φ)(或asinx+bcosx=cos(x-φ)),其中sinφ=cosφ=(或cosφ=sinφ=).推導過程:asinx+bcosx

令cosφ=則asinx+bcosx=(sinxcosφ+cosxsinφ)=sin(x+φ).【拓展訓練】若f(x)=3sinx-4cosx的一條對稱軸方程是x=a,則a的取值范圍可以是 (

)

【解析】選D.因為f(x)=3sinx-4cosx=5sin(x-φ)則sin(a-φ)=±1,所以a-φ=kπ+,k∈Z,即a=kπ++φ,k∈Z,而tanφ=且0<φ<所以<φ<所以kπ+<a<kπ+π,k∈Z,取k=0,此時a∈

【補償訓練】將下列各式寫成Asin(ωx+φ)的形式.(1)sinx-cosx;(2)【解析】(1)

(2)原式=

1.化簡:sin21°cos81°-cos21°·sin81°等于 (

)

A. B.- C. D.-【解析】選D.原式=sin(21°-81°)=-sin60°=-.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.(2020·太原高一檢測)滿足cosαcosβ=+sinαsinβ的一組α、β的值是 (

)

【解析】選A.由已知可得cos(α+β)=,代入檢驗知A滿足.3.定義運算=ad-bc,若cosα=,=,0<β<α<,則β等于 (

)A. B. C. D.

【解析】選D.依題意有:sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=,又0<β<α<,所以0<α-β<,故cos(α-β)=而cosα=,所以sinα=,于是sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=,故β=.4.(教材二次開發(fā):練習改編)若cosα=則cos=________.

【解析】因為cosα=-,α∈,所以sinα=所以答案:-

5.sin15°-cos15°=________.

【解析】sin15°-cos15°=2sin(15°-60°)=-2sin45°=-.答案:-

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