專題01二次根式(原卷版+解析)

專題01二次根式一、單選題1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是二次根式有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．下列二次根式中，不能與合并的是（）A． B． C． D．3．能使成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．或4．下列四個(gè)算式正確的是（）A． B．C．＝× D．5．下列各組二次根式中是同類二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和6．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)結(jié)果為（

）A．7 B．-7 C． D．無(wú)法確定7．下列結(jié)論正確的是（）A．的有理化因式可以是B．C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）D．是最簡(jiǎn)二次根式8．下列各式中，從左到右的變形正確的是（

）A． B．C． D．9．已知.則xy=（

）A．8 B．9 C．10 D．1110．已知，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．二、填空題11．比較大?。篲__________（用“>”、“<”或“=”填空）12．的一個(gè)有理化因式是______．13．已知最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則______．14．若成立，則的取值范圍是__________．15．化簡(jiǎn)二次根式：______（）．16．計(jì)算：=______

=______17．根式化簡(jiǎn)后的結(jié)果是__________．18．如圖．從一個(gè)大正方形中裁去面積為cm2和cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分的面積為_(kāi)__________cm2．19．設(shè)，其中n為正整數(shù)，則____．三、解答題20．計(jì)算：.21．計(jì)算：(1)(2)22．計(jì)算：(1)(2)23．先化簡(jiǎn)再計(jì)算：，其中．24．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．25．已知，其中，求．26．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．27．已知a滿足．(1)有意義，a的取值范圍是______；則在這個(gè)條件下將去掉絕對(duì)值符號(hào)可得______．(2)根據(jù)（1）的分析，求的值．28．（1）計(jì)算：_____________________（2）由以上計(jì)算結(jié)果：可知的倒數(shù)是_______．（3）比較與的大?。?9．閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：在進(jìn)行類似于二次根式的運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：方法一：；方法二：．(1)化簡(jiǎn)：______；(2)觀察上述規(guī)律并猜想；當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，______（用含的式子表示，不用說(shuō)明理由）．(3)計(jì)算：．30．計(jì)算下列各式：(1)＝1，＝2，＝，＝，＝．(2)通過(guò)觀察并歸納，請(qǐng)寫(xiě)出：＝．(3)計(jì)算：＝．31．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=，b=；(2)若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；(3)化簡(jiǎn)：．32．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．古希臘幾何學(xué)家海倫，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問(wèn)題而聞名．在他的著作《度量》一書(shū)中，給出了三角形面積的計(jì)算公式(海倫公式)：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，記，那么三角形的面積是．印度算術(shù)家波羅摩笈多和婆什迦羅還給出了四邊形面積的計(jì)算公式：如果一個(gè)四邊形的四邊長(zhǎng)分別為，記，那么四邊形的面積是(其中，和表示四邊形的一組對(duì)角的度數(shù))根據(jù)上述信息解決下列問(wèn)題：（1）已知三角形的三邊是4，6，8，則這個(gè)三角形的面積是（2）小明的父親是工程師，設(shè)計(jì)的某個(gè)零件的平面圖是如圖的四邊形，已知，，，，，．求出這個(gè)零件平面圖的面積．專題01二次根式一、單選題1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是二次根式有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)答案:B分析：根據(jù)二次根式的定義逐項(xiàng)分析即可．解析：解：①是二次根式；②被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，不是二次根式；③開(kāi)立方也不是二次根式；④被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，不是二次根式；⑤是二次根式；⑥是二次根式；共有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考法二次根式的定義，二次根式必須滿足：①有二次根號(hào)；②被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．2．下列二次根式中，不能與合并的是（）A． B． C． D．答案:A分析：化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同，可得答案．解析：解：A、，故不能與合并，符合題意；B、，故能與合并，不符合題意；C、，故能與合并，不符合題意；D、，故能與合并，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式，被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式．3．能使成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．或答案:A分析：根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，且分式的分母不能為0，列不等式組求出x的取值范圍即可得答案．解析：∵有意義，∴，解得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分母不等于0列出不等式組．4．下列四個(gè)算式正確的是（）A． B．C．＝× D．答案:B分析：利用二次根式的各種運(yùn)算的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．解析：解：A.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故選項(xiàng)正確，符合題意；C.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．5．下列各組二次根式中是同類二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和答案:D分析：先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再由同類二次根式的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．解析：解：A、，與不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，，不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、和，不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，，是同類二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再由同類二次根式的定義，熟練掌握二次根式化簡(jiǎn)后，被開(kāi)方數(shù)完全相同的二次根式是同類二次根式是解題的關(guān)鍵．6．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)結(jié)果為（

）A．7 B．-7 C． D．無(wú)法確定答案:A分析：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置，可得，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．解析：解：∵由實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置，可得，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．下列結(jié)論正確的是（）A．的有理化因式可以是B．C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）D．是最簡(jiǎn)二次根式答案:D分析：根據(jù)分母有理化，最簡(jiǎn)二次根式的定義，不等式的解法以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．解析：解：A、有理化因式可以是，故A不符合題意．B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合題意．C、∵（2﹣）x＞1，∴x＜，∴x＜﹣2﹣，故C不符合題意．D、是最簡(jiǎn)二次根式，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最簡(jiǎn)二次根式，本題屬于基礎(chǔ)題型．8．下列各式中，從左到右的變形正確的是（

）A． B．C． D．答案:C分析：利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)進(jìn)而得出答案．解析：解：A．，不符合題意；B．，a的符號(hào)不確定，需分情況，不符合題意；C．，符合題意；D．，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．已知.則xy=（

）A．8 B．9 C．10 D．11答案:D分析：利用完全平方公式、平方差公式化簡(jiǎn)第二個(gè)等式即可.解析：配方得將代入得：計(jì)算得：故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式的綜合應(yīng)用，熟記公式是解題關(guān)鍵，這兩個(gè)公式是?？键c(diǎn)，需重點(diǎn)掌握.10．已知，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．答案:C分析：由的值進(jìn)行化簡(jiǎn)到=，再求得，把式子兩邊平方，整理得到，再把兩邊平方，再整理得到，原式可變形為，利用整體代入即可求得答案．解析：解∵==∴∴整理得∴∵∴整理得∴∴∴=====故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，乘法公式，提公因式法因式分解等知識(shí)，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和整體代入的方法．二、填空題11．比較大?。篲__________（用“>”、“<”或“=”填空）答案:分析：通過(guò)作差與比較大小即可得出結(jié)論．解析：解：，又，，即，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，涉及到作差法比較實(shí)數(shù)大小、二次根式比較大小的方法等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握作差法比較大小的恒等變形判定符號(hào)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．的一個(gè)有理化因式是______．答案:分析：根據(jù)平方差公式和有理化因式的意義即可得出答案．解析：∵∴的一個(gè)有理化因式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分母有理化，理解有理化因式的意義和平方差公式是正確解答的關(guān)鍵．13．已知最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則______．答案:分析：根據(jù)同類二次根式定義：兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根，列出方程組求解，得出a、b值，再代入計(jì)算即可．解析：銀，根據(jù)題意，得，解得：，∴ab=2-1=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查同類二次根式概念，代數(shù)式求值，負(fù)整理指數(shù)冪的運(yùn)算，解二元一次方程組，熟練掌握同類二次根式概念是解題的關(guān)鍵．14．若成立，則的取值范圍是__________．答案:x＞2分析：根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．解析：解：由題意可知：x?1≥0且x?2＞0，∴x＞2，故答案是：x＞2．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題題型．15．化簡(jiǎn)二次根式：______（）．答案:分析：根據(jù)二次根式有意義的條件判斷得出，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得出答案．解析：解：，，，原式；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)以及化簡(jiǎn)，理解二次根式有意義的條件和二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．計(jì)算：=______

=______答案:

24

分析：運(yùn)用積的乘方的逆運(yùn)算：(ab)n=anbn，把寫(xiě)成，再先算乘方再算乘法；按從左到右的順序運(yùn)算．解析：解：==3×23=3×8=24解：==故答案為：24，【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握正確的運(yùn)算順序．17．根式化簡(jiǎn)后的結(jié)果是__________．答案:分析：由根式可知，，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．解析：解：由題意可知，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的性質(zhì)及二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．18．如圖．從一個(gè)大正方形中裁去面積為cm2和cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分的面積為_(kāi)__________cm2．答案:24分析：通過(guò)兩個(gè)小正方形的面積，分別求出正方形的邊長(zhǎng)，則可求最大的正方形的邊長(zhǎng)為5cm，再用大正方形面積減去兩個(gè)小正方形面積求解即可．解析：解：∵小正方形的面積8cm2，∴小正方形的邊長(zhǎng)為=2(cm)，∵大正方形的面積18cm2，∴大正方形的邊長(zhǎng)為=3(cm)，∵最外邊的大正方形的邊長(zhǎng)為2+3=5(cm)，∴S=（5）2=50(cm2)，∴S陰影=50-8-18=24(cm2)，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算，結(jié)合圖形求面積是解題的關(guān)鍵．19．設(shè)，其中n為正整數(shù)，則____．答案:分析：計(jì)算通項(xiàng)公式，將n=1，2，3，…，2022代入可得結(jié)論．解析：∵n為正整數(shù)，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是用裂項(xiàng)法將分式裂項(xiàng)，再尋找抵消規(guī)律求和．三、解答題20．計(jì)算：.答案:分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)將各項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行加減混合運(yùn)算即可．解析：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)以及加減混合運(yùn)算等知識(shí)，掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21．計(jì)算：(1)(2)答案:(1)(2)15分析：（1）先開(kāi)方，再乘除，再加減（2）先用平方差公式化簡(jiǎn)，并求出算術(shù)平方根，再加減（1）原式=（2）原式【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算規(guī)則和方法技巧是本題關(guān)鍵．22．計(jì)算：(1)(2)答案:(1)(2)分析：（1）利用二次根式化簡(jiǎn)的乘除法則計(jì)算即可；（2）先利用平方差公式計(jì)算，再利用完全平方公式計(jì)算即可求解．（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．23．先化簡(jiǎn)再計(jì)算：，其中．答案:，分析：首先根據(jù)分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把代入化簡(jiǎn)后得到的式子，即可求得其結(jié)果．解析：解：原式當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，熟練掌握和運(yùn)用分式化簡(jiǎn)求值的方法是解決本題的關(guān)鍵．24．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．答案:，分析：首先根據(jù)分式的減法法則計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再計(jì)算分式的除法化成最簡(jiǎn)分式，然后將a的值代入計(jì)算即可．解析：解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值及分母有理化，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．25．已知，其中，求．答案:分析：根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則求解即可．解析：，，，，或（舍去），，．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則．26．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．答案:，4分析：根據(jù)分式以及二次根式的運(yùn)算法則，先將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將，代入即可得出答案．解析：解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值以及二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)是本題解題關(guān)鍵．27．已知a滿足．(1)有意義，a的取值范圍是______；則在這個(gè)條件下將去掉絕對(duì)值符號(hào)可得______．(2)根據(jù)（1）的分析，求的值．答案:(1)；(2)分析：（1）先根據(jù)二次根式有意義的條件求出a的范圍，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)；（2）去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解即可．（1）解：∵有意義，∴，∴，∴，∴；故答案為：；；（2）∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義，二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，能求出a≥2022是解此題的關(guān)鍵．28．（1）計(jì)算：_____________________（2）由以上計(jì)算結(jié)果：可知的倒數(shù)是_______．（3）比較與的大小．答案:（1）1，1，1；（2）；（3）分析：（1）根據(jù)平方差公式，可得答案；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，可得答案；（3）利用（2）的結(jié)論，可得答案．解析：解：（1）；；；故答案為：1，1，1；（2）∵，∴；故答案為：；（3）∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握分母有理化的方法．29．閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：在進(jìn)行類似于二次根式的運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：方法一：；方法二：．(1)化簡(jiǎn)：______；(2)觀察上述規(guī)律并猜想；當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，______（用含的式子表示，不用說(shuō)明理由）．(3)計(jì)算：．答案:(1)(2)(3)1010．分析：（1）利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（3）先把各分母提，然后分母有理化，再合并同類二次根式，最后進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算．（1）解：，故答案為：；（2）解：當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，，∵，故答案為：；（3）解：=1010．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和平方差公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．30．計(jì)算下列各式：(1)＝1，＝2，＝，＝，＝．(2)通過(guò)觀察并歸納，請(qǐng)寫(xiě)出：＝．(3)計(jì)算：＝．答案:(1)3；4；5；(2)n(3)26分析：（1）直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出各二次根式的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果找出其中的規(guī)律，然后用含n的式子表示；（3），然后找出其中的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．(1)＝1；＝＝2＝＝3，＝＝4，＝＝5，故答案為為：3；4；5；(2)觀察上述算式可知：＝n．故答案為：n；(3)＝，＝＝2，＝＝3，…＝＝26．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是探索數(shù)字的變化規(guī)律，找出其中蘊(yùn)含的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．31．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=，b=；(2)若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；(3)化簡(jiǎn)：．