高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1-1-1正弦定理同步課件新人教A版必修5

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理

主題正弦定理1.在Rt△ABC中,存在怎樣的關(guān)系?提示:在Rt△ABC中,因為sinA=,故c=,同理c=,因此又因為C=90°,故2.在銳角△ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立?

提示:如圖,在銳角△ABC中,作CD⊥AB于點D,有

=sinA,=sinB.所以CD=bsinA=asinB.所以

同理,在△ABC中,所以成立.結(jié)論:1.正弦定理在一個三角形中,各邊和它所對角的_____的比相等,即_________________.正弦2.解三角形(1)三角形的元素:三角形的三個內(nèi)角A,B,C和它們的對邊______.(2)解三角形:已知三角形的幾個元素求_________的過程.a,b,c其他元素【對點訓(xùn)練】1.在△ABC中,a=b,A=120°,則角B的大小為 (

)

A.30° B.45° C.60° D.90°【對點訓(xùn)練】1.在△ABC中,a=b,A=120°,則角B的大小為 (

)

A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.由正弦定理得sinB=,因為A=120°,得B=30°.2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=1,A=30°,B=45°,則b的值為 (

)A. B. C. D.2【解析】選C.由正弦定理可得:.解得:b=.類型一已知兩角和一邊解三角形【典例1】(1)(2019·潮州高二檢測)在△ABC中,B=135°,C=15°,a=3,則邊b= (

)A.5 B.4 C.3 D.2(2)已知在△ABC中,D為BC中點,cos∠BAD=,cos∠CAD=,①求∠BAC的值;②求的值.【解題指南】(1)由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求角A,再根據(jù)正弦定理可求b的值即可.(2)①先求出sin∠BAD,sin∠CAD,根據(jù)cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)求解.②在△ABC與△ABD中分別利用正弦定理及D為BC中點求解.【解題指南】(1)由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求角A,再根據(jù)正弦定理可求b的值即可.(2)①先求出sin∠BAD,sin∠CAD,根據(jù)cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)求解.②在△ABC與△ABD中分別利用正弦定理及D為BC中點求解.【解析】(1)選C.因為B=135°,C=15°,所以A=180°-B-C=30°,所以由正弦定理,可得:b=.(2)①因為cos∠BAD=,cos∠CAD=,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD為銳角,所以sin∠BAD=,sin∠CAD=,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)

因為0<∠BAC<π,所以∠BAC=②在△ABC中,在△ABD中,又因為BC=2BD,所以【方法總結(jié)】已知兩角和一邊解三角形的步驟【跟蹤訓(xùn)練】1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若A=,B=,a=3,則b= (

)

A.2 B.2 C.3 D.3

【解析】選A.在△ABC中,由正弦定理得,所以b=2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=1,B=,cosA=,則a= (

)

【解析】選A.由cosA=,得sinA=.由正弦定理【補償訓(xùn)練】若在△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得故BC=

類型二已知兩邊及其中一邊的對角解三角形【典例2】(1)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知A=,a=1,b=,則B=__________.

(2)已知△ABC中,a=,b=,A=45°,則三角形的解的個數(shù)為________.

【解題指南】(1)由正弦定理即可求出角B.(2)利用正弦定理求角B的值,從而確定解的個數(shù).【解析】(1)依題意,由正弦定理知得出sinB=.由于0<B<π,所以B=或答案:

或

(2)由正弦定理得又b>a,故B=60°或B=120°,所以三角形的解的個數(shù)為2.答案:2【延伸探究】1.若本例(1)條件不變,試求邊長c.

【解析】由本例(1)解析知B=或,當(dāng)B=時,C=π-所以c=當(dāng)B=時,C=π-故c=a=1.2.把本例(1)中的“b=”改為“b=”,其他條件不變,試求B.【解析】由正弦定理得即sinB=由于0<B<π,所以B=或π.【方法總結(jié)】由兩邊一對角求另一對角的三個步驟(1)由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.(2)如果已知的角為大邊所對的角時,由三角形中大邊對大角,大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求銳角唯一.(3)如果已知的角為小邊所對的角時,則不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時由正弦值可求出兩個角,要分類討論.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2019·佛山高一檢測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,則cosB= (

)

A.- B. C. D.

【解析】選B.因為,所以3sinBsinA=4sinAcosB,因為sinA>0,所以3sinB=4cosB,所以tanB=,由同角三角函數(shù)關(guān)系得cosB=.2.已知在△ABC中,b=2,c=2,C=30°,那么解此三角形可得 (

)A.一解 B.兩解C.無解 D.解的個數(shù)不確定【解析】選B.因為,所以sinB=因為b>c,所以B=60°或120°,故解此三角形可得兩解.類型三利用正弦定理判斷三角形形狀【典例3】(1)若則△ABC是(

)A.等腰直角三角形B.有一內(nèi)角是30°的直角三角形C.等邊三角形D.有一內(nèi)角是30°的等腰三角形(2)在△ABC中,已知則△ABC的形狀是________三角形.

【解題指南】(1)由正弦定理可得tanB=tanC=1,從而判斷△ABC形狀.(2)切化弦后,利用正弦定理判斷.【解析】(1)選A.在△ABC中,則由正弦定理可得即tanB=tanC=1,所以B=C=45°,A=90°,故△ABC為等腰直角三角形.

(2)由正弦定理得即cosA=cosB,故A=B,所以△ABC為等腰三角形.答案:等腰【方法總結(jié)】判斷三角形形狀的常用方法及步驟(1)方法:化邊為角或化角為邊.(2)步驟:第一步,將題目中的條件,利用正弦定理化邊為角或化角為邊,第二步,根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系或三邊的關(guān)系,進而確定三角形的形狀.【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為(

)A.銳角三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形【解析】選B.由正弦定理可以得到sinBcosC+sinCcosB=sin2A,故sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.因為A∈(0,π),故sinA≠0,所以sinA=1.因為A∈(0,π),故A=,所以△ABC為直角三角形.【知識思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞【解析】選B.由正弦定理可以得到sinBcosC+sinCcosB=sin2A,故sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.因為A∈(0,π),故sinA≠0,所以sinA=1.因為A∈(0,π),故A=,所以△ABC為直角三角形.【方法總結(jié)】判斷三角形形狀的常用方法及步驟(1)方法:化邊為角或化角為邊.(2)步驟:第一步,將題目中的條件,利用正弦定理化邊為角或化角為邊,第二步,根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系或三邊的關(guān)系,進而確定三角