專題05直角三角形(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)

專題05直角三角形【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一直角三角形的兩個(gè)銳角互余】 1【考點(diǎn)二全等的性質(zhì)和HL綜合】 2【考點(diǎn)三判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】 5【考點(diǎn)四在網(wǎng)格中判斷直角三角形】 7【考點(diǎn)五利用勾股定理的逆定理求解】 11【考點(diǎn)六勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】 14【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【考點(diǎn)一直角三角形的兩個(gè)銳角互余】例題：(2023秋·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．(2023·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D，已知，分別與、相交，點(diǎn)、分別為，上一點(diǎn)，且，若，則為（

）A．43° B．47° C．53° D．2．(2023秋·北京石景山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為__．【考點(diǎn)二全等的性質(zhì)和HL綜合】例題：(2023秋·浙江·八年級(jí)期中）如圖，，相交于點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·寧夏銀川·八年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，是上的一點(diǎn)，且，．(1)與全等嗎？并說明理由．(2)若，求的長．2．(2023秋·江蘇無錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，，與交于點(diǎn)O．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【考點(diǎn)三判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】例題：(2023秋·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，已知中，于，，，．(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，，垂足為D，且，．點(diǎn)E從B點(diǎn)沿射線向右以2個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說明理由．2．(2023秋·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知滿足．(1)求的值；(2)試問以為邊能否構(gòu)成直角三角形？請說明理由．【考點(diǎn)四在網(wǎng)格中判斷直角三角形】例題：(2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長均為，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．(1)直接寫出______，______，______；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)直接寫出邊上的高_(dá)_____．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)求四邊形的面積，(2)是直角嗎？為什么？2．(2023秋·江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)，．(1)建立平面直角坐標(biāo)系；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)在軸上找一點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)是．【考點(diǎn)五利用勾股定理的逆定理求解】例題：（2023秋·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)四邊形的面積為______．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·廣東江門·八年級(jí)江門市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接．若，，，求的長．2．(2023秋·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，已知，，，，且．求四邊形的面積．【考點(diǎn)六勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：(2023秋·遼寧·八年級(jí)校考期末）在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．求原來的路線的長．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·河南平頂山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）某氣象局監(jiān)測到一個(gè)沙塵暴中心沿東西方向有A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C處為以城鎮(zhèn)，且點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)的距離，以沙塵暴中心為圓心，周圍以內(nèi)都會(huì)受到沙塵暴影響．(1)通過計(jì)算說明城鎮(zhèn)C是否會(huì)受到影響；(2)若沙塵暴中心的移動(dòng)速度為，則沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時(shí)間有多長？2．(2023秋·云南楚雄·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為響應(yīng)政府的“公園城市建設(shè)”號(hào)召，某小區(qū)進(jìn)行小范圍綠化，要在一塊如圖四邊形空地上種植草皮，測得，，，，，如果種植草皮費(fèi)用是200元/，那么共需投入多少錢？【過關(guān)檢測】一、選擇題1．(2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)在的延長線上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．(2023秋·湖北宜昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知、、是的三邊長，且滿足關(guān)系式，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．以上都有可能3．(2023秋·天津靜?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．若，則的度數(shù)為（

）A．50° B．100° C．150° D．200°4．(2023秋·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．在中，若，則是直角三角形B．在中，若，則是直角三角形C．在中，若，則是直角三角形D．在中，若三邊長，，滿足，則是直角三角形5．(2023秋·湖北恩施·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，一條線段，P，Q兩點(diǎn)分別在線段和的垂線上移動(dòng)，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形全等，則的值為(

)A．6cmB．12cmC．12cm或6cmD．以上答案都不對二、填空題6．（北京市延慶區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，和中，，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件______，使得和全等，（寫出一個(gè)即可）7．(2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，點(diǎn)A、、是小正方形的頂點(diǎn)，則的度數(shù)為________．8．(2023秋·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)廣場有兩個(gè)長度相等的滑梯靠在一面墻上，已知左邊滑梯水平方向的長度與右邊滑梯的高度相等．若右邊滑梯與地面的夾角，則的度數(shù)為______°．9．(2023秋·遼寧大連·八年級(jí)校考期末）一副三角板，按如圖所示疊放在一起（其中一塊三角板的一條直角邊與另一塊三角板的斜邊擺放在一直線上），那么圖中______度．10．(2023秋·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．判斷是______三角形；計(jì)算的面積______．三、解答題11．(2023春·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州十一中?？计谥校┤鐖D，在中，，，，為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)求證：．12．(2023秋·廣東佛山·八年級(jí)大瀝中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點(diǎn)，且，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的周長．13．(2023秋·陜西榆林·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，是上一點(diǎn)，若，，，．(1)求證：；(2)求的面積14．(2023秋·江蘇·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一直線上，、相交于點(diǎn)G，，垂足為B，，垂足為E，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．15．(2023秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的三邊分別為，，，如果將沿折疊，使恰好落在邊上．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求線段的長．16．（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．(1)判斷的形狀，請說明理由．(2)求的周長和面積．(3)在x軸上有一點(diǎn)P，使得最小，則的最小值為________．17．(2023秋·福建泉州·八年級(jí)南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于E，，，點(diǎn)F在邊上，連接．(1)若，試說明．(2)在（1）的條件下，若，求的長（用含m，n的代數(shù)式表示）．18．(2023秋·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：在四邊形中，，，．(1)求證：．(2)若，．①求四邊形的面積．②點(diǎn)到的距離是________．專題05直角三角形【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一直角三角形的兩個(gè)銳角互余】 1【考點(diǎn)二全等的性質(zhì)和HL綜合】 2【考點(diǎn)三判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】 5【考點(diǎn)四在網(wǎng)格中判斷直角三角形】 7【考點(diǎn)五利用勾股定理的逆定理求解】 11【考點(diǎn)六勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】 14【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【考點(diǎn)一直角三角形的兩個(gè)銳角互余】例題：(2023秋·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算可求解．【詳解】解：在中，，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D，已知，分別與、相交，點(diǎn)、分別為，上一點(diǎn)，且，若，則為（

）A．43° B．47° C．53° D．答案:A分析：利用直角三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，兩直線平行同位角相等的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2023秋·北京石景山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為__．答案:##65度分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出?！驹斀狻拷猓涸谥?，，，則，是的外角，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題關(guān)鍵.【考點(diǎn)二全等的性質(zhì)和HL綜合】例題：(2023秋·浙江·八年級(jí)期中）如圖，，相交于點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．答案:(1)見解析(2)分析：（1）由“HL”可證RtRt，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差即可求解．【詳解】（1）∵，∴和都是直角三角形，在Rt和Rt中，，∴RtRt（HL），∴（2）在Rt中，，∴，由（1）可知RtRt，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用HL證明RtRt是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·寧夏銀川·八年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，是上的一點(diǎn)，且，．(1)與全等嗎？并說明理由．(2)若，求的長．答案:(1)，理由見解析(2)．分析：（1）根據(jù)證明和全等解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平角的定義證明是等腰直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：，證明：∵，∴，∵，在和中，，∴；（2）解：由（1）得，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴是等腰直角三角形．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)證明是解題的關(guān)鍵．2．(2023秋·江蘇無錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，，與交于點(diǎn)O．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．答案:(1)見解析(2)60°分析：（1）直接利用證明即可；（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)求出，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】（1）證明：在和中，∴；（2）解：∵，，∴∵∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【考點(diǎn)三判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】例題：(2023秋·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，已知中，于，，，．(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．答案:(1)1.2(2)直角三角形，理由見解析分析：（1）根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先在中，利用勾股定理可求出的長，從而求出的長，然后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可解答．【詳解】（1）解：，，，，，的長為1.2；（2）是直角三角形，理由：在中，，，，，，，，是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，，垂足為D，且，．點(diǎn)E從B點(diǎn)沿射線向右以2個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說明理由．答案:(1)當(dāng)時(shí)，；(2)是直角三角形，理由見解析分析：（1）根據(jù)題意可得：，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，從而可得，，由等腰三角形的性質(zhì)得，則建立方程即可解答；（2）當(dāng)時(shí)，，，然后分別在和中，利用勾股定理求出和，最后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：，∵F為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，，∵，，∴，即，解得：，∴當(dāng)時(shí)，；（2）解：是直角三角形，理由：當(dāng)時(shí)，，∴，在中，，在中，，∵，，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．(2023秋·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知滿足．(1)求的值；(2)試問以為邊能否構(gòu)成直角三角形？請說明理由．答案:(1)，，(2)不能構(gòu)成直角三角形，見解析分析：（1）利用幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零，確定a，b，c的值即可；（2）根據(jù)勾股定理得逆定理直接判斷即可得解；【詳解】（1）∵，∴，，＝0，∴，，；（2）∵，∴不能構(gòu)成直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)及勾股定理逆定理，熟練掌握非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四在網(wǎng)格中判斷直角三角形】例題：(2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長均為，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．(1)直接寫出______，______，______；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)直接寫出邊上的高_(dá)_____．答案:(1)，，(2)是直角三角形，理由見解析(3)分析：（1）利用勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）利用面積法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：，，，故答案為：，，；（2）解：是直角三角形，理由：∵，，∴，∴是直角三角形；（3）設(shè)邊上的高為h，∵的面積，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)求四邊形的面積，(2)是直角嗎？為什么？答案:(1)(2)是直角，理由見解析分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格中圖形，用大正方形面積減去四個(gè)頂點(diǎn)處的直角三角形面積和一個(gè)正方形面積即可得到答案；（2）由圖，連接，分別在網(wǎng)格中利用勾股定理計(jì)算出三條線段長，利用勾股定理的逆定理驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】（1）解：由網(wǎng)格圖可知，四邊形的面積為；（2）解：是直角，理由如下：連接，如圖所示：∴，，，，∴是直角三角形，是直角．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中求四邊形面積及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握網(wǎng)格中求圖形面積的方法及網(wǎng)格中利用勾股定理求線段長的方法是解決問題的關(guān)鍵．2．(2023秋·江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)，．(1)建立平面直角坐標(biāo)系；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)在軸上找一點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)是．答案:(1)詳見解析(2)是直角三角形，詳見解析(3)分析：（1）根據(jù)、兩點(diǎn)坐標(biāo)確定平面直角坐標(biāo)系即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，直線的解析式，可得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：（2）∵，BC＝，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）如圖，點(diǎn)即為所求，∵，，，∴設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，∴直線的解析式為，令，可得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題，勾股定理以及逆定理等知識(shí)，明確、、在一條直線上時(shí)，有最小值是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五利用勾股定理的逆定理求解】例題：（2023秋·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)四邊形的面積為______．答案:(1)(2)分析：（1）連接，根據(jù)已知先證明是等邊三角形，從而可得，，再利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過點(diǎn)作，垂足為，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出的長，從而利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：連接，，，∴是等邊三角形，，，，，，∴是直角三角形，，，的度數(shù)為；（2）解：過點(diǎn)作，垂足為，是等邊三角形，，，四邊形的面積的面積的面積，四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·廣東江門·八年級(jí)江門市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接．若，，，求的長．答案:分析：根據(jù)勾股定理的逆定理得到為直角三角形，，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴為直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是通過勾股定理的逆定理得到為直角三角形．2．(2023秋·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，已知，，，，且．求四邊形的面積．答案:四邊形的面積為．分析：先在中，利用勾股定理求出，然后再利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，最后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，，，∴，∵，，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形的面積的面積的面積，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：(2023秋·遼寧·八年級(jí)?？计谀┰谝粭l東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．求原來的路線的長．答案:千米分析：先利用勾股定理的逆定理證明，得出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的長度．【詳解】解：∵千米，千米，千米，即，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴，設(shè)，∴，∴，即，解得：，答：原來的路線的長為千米．【點(diǎn)睛】本題考查了與圖形有關(guān)的問題(一元二次方程的應(yīng)用)、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理及其逆定理是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·河南平頂山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）某氣象局監(jiān)測到一個(gè)沙塵暴中心沿東西方向有A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C處為以城鎮(zhèn)，且點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)的距離，以沙塵暴中心為圓心，周圍以內(nèi)都會(huì)受到沙塵暴影響．(1)通過計(jì)算說明城鎮(zhèn)C是否會(huì)受到影響；(2)若沙塵暴中心的移動(dòng)速度為，則沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時(shí)間有多長？答案:(1)會(huì)受到影響(2)小時(shí)分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出的長，進(jìn)而得出城鎮(zhèn)C是否會(huì)受到沙塵暴影響；（2）利用勾股定理得出以及的長，進(jìn)而得出沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時(shí)間．【詳解】（1）解：作于D，在三角形中，，∴是直角三角形，即，，，解得∶千米，所以，城鎮(zhèn)C會(huì)受到影響．（2）解：設(shè)沙塵暴中心到點(diǎn)E處城鎮(zhèn)C開始受到影響，此時(shí)千米，到F處結(jié)束影響，此時(shí)千米，，千米，受影響的時(shí)間為（小時(shí)）【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．2．(2023秋·云南楚雄·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為響應(yīng)政府的“公園城市建設(shè)”號(hào)召，某小區(qū)進(jìn)行小范圍綠化，要在一塊如圖四邊形空地上種植草皮，測得，，，，，如果種植草皮費(fèi)用是200元/，那么共需投入多少錢？答案:46800分析：連接，利用勾股定理求出，利用勾股定理逆定理，求出為直角三角形，進(jìn)而利用兩個(gè)直角三角形的面積和求出四邊形的面積，再用面積乘以費(fèi)用，即可得解．【詳解】解：如圖所示，連接．，，，，又，，，即，是直角三角形，所需費(fèi)用為元．答：共需投入46800元．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理逆定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判斷三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．(2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)在的延長線上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案:C分析：利用直角三角形的性質(zhì)求得的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：由題意可得：，∴，∴，∴，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．2．(2023秋·湖北宜昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知、、是的三邊長，且滿足關(guān)系式，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．以上都有可能答案:C分析：根據(jù)算術(shù)平方根及絕對值的非負(fù)性得出?，?，即可確定三角形的形狀．【詳解】解：?，?，?，解得：?，?，?的形狀為等腰直角三角形；故選C．【點(diǎn)睛】題目主要考查算術(shù)平方根及絕對值的非負(fù)性，勾股定理逆定理，理解題意，熟練運(yùn)用算術(shù)平方根及絕對值的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．3．(2023秋·天津靜?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．若，則的度數(shù)為（

）A．50° B．100° C．150° D．200°答案:B分析：證明，即可作答．【詳解】∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴，是直角三角形，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．(2023秋·廣東梅州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．在中，若，則是直角三角形B．在中，若，則是直角三角形C．在中，若，則是直角三角形D．在中，若三邊長，，滿足，則是直角三角形答案:B分析：A、B、C選項(xiàng)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出中最大角的度數(shù)，再依據(jù)直角三角形定義進(jìn)行判斷，D選項(xiàng)根據(jù)勾股逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、在中，若，可得，，則是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、在中，若，可得，則不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；C、在中，若，則，則是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，所以是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．(2023秋·湖北恩施·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，一條線段，P，Q兩點(diǎn)分別在線段和的垂線上移動(dòng)，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形全等，則的值為(

)A．6cmB．12cmC．12cm或6cmD．以上答案都不對答案:C分析：分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，，，分別求解即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，在與中，，∴，即；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，，，在與中，，∴，即．綜上所述，或12cm．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握證明三角形全等，分類討論思想方法是關(guān)鍵．二、填空題6．（北京市延慶區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，和中，，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件______，使得和全等，（寫出一個(gè)即可）答案:（答案不唯一）分析：根據(jù)三角形全等判定條件即可解答．【詳解】解：當(dāng)時(shí)滿足條件；在和中，，∴．故答案是：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定條件，掌握全等三角形的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，點(diǎn)A、、是小正方形的頂點(diǎn)，則的度數(shù)為________．答案:分析：連接根據(jù)勾股定理求出，，，根據(jù)勾股定理逆定理得到，即可得到答案．【詳解】解：連接，由題意可得，，，，∴，，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與勾股定理逆定理及等腰三角形性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出，，，得到．8．(2023秋·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)廣場有兩個(gè)長度相等的滑梯靠在一面墻上，已知左邊滑梯水平方向的長度與右邊滑梯的高度相等．若右邊滑梯與地面的夾角，則的度數(shù)為______°．答案:分析：先證明，得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出即可得到答案．【詳解】解：由題意得，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形兩銳角互余，證明，得到是解題的關(guān)鍵．9．(2023秋·遼寧大連·八年級(jí)?？计谀┮桓比前澹慈鐖D所示疊放在一起（其中一塊三角板的一條直角邊與另一塊三角板的斜邊擺放在一直線上），那么圖中______度．答案:分析：由題意可得，由三角形的內(nèi)角和及對頂角,從而可求解．【詳解】解：由圖和題意，可知：，則：，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角板中的角度的計(jì)算．熟練掌握一副三角板中每個(gè)角的度數(shù)，是解題的關(guān)鍵．10．(2023秋·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．判斷是______三角形；計(jì)算的面積______．答案:

直角

分析：根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)勾股定理的逆定理證明是，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴是，且,∴，故答案為：直角；．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，掌握勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．(2023春·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州十一中?？计谥校┤鐖D，在中，，，，為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)求證：．答案:(1)證明見解析(2)證明見解析分析：（1）利用證明即可；（2）延長交于點(diǎn)，利用全等三角形的性質(zhì)，以及對頂角相等，得到，得到，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，，∴（）；（2）證明：延長交于點(diǎn)，則：，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．12．(2023秋·廣東佛山·八年級(jí)大瀝中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點(diǎn)，且，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的周長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出即可；（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，求出，再求出周長即可．【詳解】（1）證明：在中，，，．，，是直角三角形；（2）解：設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，，，的周長是．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．13．(2023秋·陜西榆林·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，是上一點(diǎn)，若，，，．(1)求證：；(2)求的面積答案:(1)見解析(2)60分析：（1）先根據(jù)，，，利用勾股定理的逆定理求證是直角三角形，即可求得答案；（2）先由勾股定理求出的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，，，是直角三角形，；（2）解：，，，，，的面積為，的面積為60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理求證是直角三角形．14．(2023秋·江蘇·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一直線上，、相交于點(diǎn)G，，垂足為B，，垂足為E，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．答案:(1)見解析(2)50°分析：（1）由HL即可得出；（2）由直角三角形的性質(zhì)得出，利用全等三角形的性質(zhì)即可得到，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴（2）解：∵，，∴，由（1）知，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．(2023秋·山西臨