難點(diǎn)03二次函數(shù)與方程綜合問題(原卷版+解析)

難點(diǎn)03二次函數(shù)與方程綜合問題近幾年四川中考看，幾乎年年會(huì)出現(xiàn)二次函數(shù)與的題目，經(jīng)常以解答題的形式出現(xiàn)，內(nèi)容主要是二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立方程的考法，難度偏下，屬于各市中考考查的重點(diǎn)，主要考查學(xué)生們的計(jì)算能力。含字母的一次函數(shù)解析式的求法；二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立，韋達(dá)定理的熟練應(yīng)用；兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用；【中考真題】1．(2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)，直線垂直于軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（除、外），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形的面積；②如圖2，直線，分別與拋物線對(duì)稱軸交于、兩點(diǎn)．試問，是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．2．(2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交x軸于點(diǎn)E．若點(diǎn)Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線，分別交直線l于點(diǎn)M，N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．3．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．(1)當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．4．(2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接,點(diǎn)是線段上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)；過點(diǎn)作軸于點(diǎn),交于點(diǎn).點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)．

①.求的最小值；

②.如圖2，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)直接寫出的最小值．5．(2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且tan.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，且.①當(dāng)點(diǎn)在線段(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的變化范圍；②當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)到線段的距離；③當(dāng)取最大值時(shí)，將線段向上平移個(gè)單位長度，使得線段與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.6．(2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線與拋物線：相交于和點(diǎn)兩點(diǎn).⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；⑵若點(diǎn)是位于直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當(dāng)平行四邊形的面積最大時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn),使拋物線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【模擬題】1．(2023·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線分別交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由；(3)在M，N移動(dòng)的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫出理由．2．(2023·四川樂山·統(tǒng)考三模）拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．(1)求拋物線解析式；(2)連接AD，CD，BC，將△OBC沿著x軸以1個(gè)單位每秒的速度向左平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是O'，B'，C′，設(shè)S表示O'B'C'與四邊形AOCD的重疊部分面積，求S與時(shí)間t的函數(shù)解析式；(3)如圖2，點(diǎn)M（m，n）為拋物線上的任意一點(diǎn)，過M向直線y作垂線，垂足為E，點(diǎn)F為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)ME﹣MF恒等于時(shí)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交x軸于點(diǎn)E．若點(diǎn)Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線，分別交直線l于點(diǎn)M，N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．4．(2023·四川成都·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD交BC于點(diǎn)E，若AE＝2ED，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)直線y＝kx﹣2k+1與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，取點(diǎn)P（2，0），連接PM，PN，求△PMN面積的最小值．5．(2023·四川眉山·統(tǒng)考二模）如圖直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)的拋物線與x軸交于點(diǎn)C，且(1)求拋物線和直線的解析式；(2)若M點(diǎn)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P是拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），則是否存在一點(diǎn)P，使的面積最大？若存在求出的最大面積；若不存在，試說明理由．6．(2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D1，在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象F交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)證明：在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請(qǐng)求出直線BD的解析式；(3)在（2）的條件下，設(shè)直線l過D且l⊥BD，分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點(diǎn)，AC、BD相交于N，求的值；7．(2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）已知拋物線交x軸于點(diǎn)A，B（A在B點(diǎn)左側(cè)），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C．(1)如圖1，當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求該拋物線的解析式；(2)如圖2，在（1）的條件下，直線交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P作PQ⊥DE于Q，過P點(diǎn)作x軸垂線交直線DE于點(diǎn)T，求△PQT的面積的最小值．(3)如圖3，拋物線頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸與x軸交于H，點(diǎn)N為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線BN交直線MH于F，直線AN與y軸交于G，猜想線段MF、OG和HM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．8．(2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)F為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP．探究是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．(2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是______，點(diǎn)的坐標(biāo)是______；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，若，求的值及直線的解析式；（3）在第（2）小題的條件下，直線與軸交于點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則直線上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．(2023·四川成都·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接、．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)E為第三象限拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，，直線與拋物線交于點(diǎn)F，設(shè)直線的表達(dá)式為．①如圖①，直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)G，若，求k、b的值；②如圖②，直線與y軸交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)H，若，求b的值．難點(diǎn)03二次函數(shù)與方程綜合問題近幾年四川中考看，幾乎年年會(huì)出現(xiàn)二次函數(shù)與的題目，經(jīng)常以解答題的形式出現(xiàn)，內(nèi)容主要是二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立方程的考法，難度偏下，屬于各市中考考查的重點(diǎn)，主要考查學(xué)生們的計(jì)算能力。含字母的一次函數(shù)解析式的求法；二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立，韋達(dá)定理的熟練應(yīng)用；兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用；【中考真題】1．(2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)，直線垂直于軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（除、外），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形的面積；②如圖2，直線，分別與拋物線對(duì)稱軸交于、兩點(diǎn)．試問，是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．答案:(1)(2)①；②是，定值為，理由見解析【詳解】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，，∴，是的兩根，，∴，解得：，拋物線的表達(dá)式為：；（2）①把代入得：，．又當(dāng)，，，線段軸．，，；②設(shè)，直線，，因此可得：或，解得：或，直線，．令得，，，，．2．(2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交x軸于點(diǎn)E．若點(diǎn)Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線，分別交直線l于點(diǎn)M，N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．答案:(1)；(2)或；(3)【詳解】（1）解：∵由二次函數(shù)，令，則，，過點(diǎn)，，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得，，解得，，（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱軸為，①如圖，過點(diǎn)作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，，，②軸上取一點(diǎn)，使得，則，設(shè)，則，，解得，即，設(shè)直線CD的解析式為，，解得，直線CD的解析式為，聯(lián)立，解得或，，綜上所述，或，（3）的值是定值，設(shè)，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，，，即，，，，，．即的值是定值3．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．(1)當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．答案:(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)或(3)是，【詳解】（1）根據(jù)題意，得，整理得到，解方程，得，當(dāng)x=-3時(shí)，y=-9；當(dāng)x=1時(shí)，y=-1；∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-9），點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-1）．（2）∵A，B是拋物線圖像上的點(diǎn)，設(shè)A（m，），B（n，），則（-n，），當(dāng)k＞0時(shí)，根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個(gè)根，∴，設(shè)直線y=kx-3與y軸的交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=-(舍去)，故k=；當(dāng)k＜0時(shí)，根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個(gè)根，∴，設(shè)直線y=kx-3與y軸的交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D（0，-3）∴，，∴==，∴3==-，∴-，∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；綜上所述，k的值為或．（3）直線A一定過定點(diǎn)（0，3）．理由如下：∵A，B是拋物線圖像上的點(diǎn)，∴設(shè)A（m，），B（n，），則（-n，），根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個(gè)根，∴，設(shè)直線A的解析式為y=px+q，根據(jù)題意，得，解得，∴直線A的解析式為y=（n-m）x-mn，∵mn=-3，∴-mn=3，∴直線A的解析式為y=（n-m）x+3，故直線A一定過定點(diǎn)（0，3）．4．(2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接,點(diǎn)是線段上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)；過點(diǎn)作軸于點(diǎn),交于點(diǎn).點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)．

①.求的最小值；

②.如圖2，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)直接寫出的最小值．答案:(1)；(2)①；②解析：（1）解：將A（-3,0）、B（1,0）代入二次函數(shù)得，解之得，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）①將二次函數(shù)配方得，∴M（-1,4）設(shè)直線AM的解析式為，將代入直線可得，解得，∴直線AM的解析式為，過E作直線，平行于直線AM，且解析式為，∵E在直線AM上方的拋物線上，∴；當(dāng)直線與AM距離最大時(shí)，EF取得最大值，∴當(dāng)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，EF取得最大值，將直線的解析式代入拋物線得，由題意可得，△=，經(jīng)計(jì)算得，將代入二次方程可得，，∴，即E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，將代入拋物線得，∴，又∵⊥軸，∴，將代入直線AM，∴，∵，∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，當(dāng)P、B、D三點(diǎn)不共線時(shí)，當(dāng)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，，∴當(dāng)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí)PC+PD取得最小值，在Rt△BHD中，DH=2，BH=3，∴BD=，∴的最小值為；②過點(diǎn)作直線，使，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，為最小值，則直線的表達(dá)式為：，，故設(shè)直線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：，而直線的表達(dá)式為：，故點(diǎn)，由直線的表達(dá)式知，與軸負(fù)半軸的夾角（設(shè)為）的正切值為，則，則，而，則為最小值．5．(2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且tan.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，且.①當(dāng)點(diǎn)在線段(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的變化范圍；②當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)到線段的距離；③當(dāng)取最大值時(shí)，將線段向上平移個(gè)單位長度，使得線段與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.答案:（1）；（2）①②2③【詳解】解：（1）令y=0得：a（x+2）（x-6）=0解得：x=-2或6∴,，在中，且,∴，,將點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，故拋物線解析式為：；（2）①由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸為：x=2，頂點(diǎn)M(2,4)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，m）（其中0≤m≤4），則PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，∵PQ⊥PC，∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,即22+(m-3)2+m2+(n-2)2=32+n2，整理得：n==（0≤m≤4），∴當(dāng)時(shí)，n取得最小值為；當(dāng)時(shí)，n取得最大值為4，∴≤n≤4；②由①知：當(dāng)n取最大值4時(shí)，m=4，∴P（2,4），Q（4,0）則PC=，PQ=2，CQ=5，設(shè)點(diǎn)P到線段CQ距離為，由，得：故點(diǎn)到線段距離為；③由②可知：當(dāng)取最大值4時(shí)，，線段的解析式為：，設(shè)線段向上平移個(gè)單位長度后的解析式為：，當(dāng)線段向上平移，使點(diǎn)恰好在拋物線上時(shí)，線段與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，將代入得：，當(dāng)線段繼續(xù)向上平移，線段與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)解得：，化簡得：，由，得，當(dāng)線段與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，.6．(2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線與拋物線：相交于和點(diǎn)兩點(diǎn).⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；⑵若點(diǎn)是位于直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當(dāng)平行四邊形的面積最大時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn),使拋物線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.答案:⑴；⑵當(dāng)，□MANB=△=，此時(shí)；⑶存在.當(dāng)時(shí)，無論取任何實(shí)數(shù)，均有.

理由見解析.【詳解】（1）由題意把點(diǎn)（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，，解得a=-1，c=3，∴此拋物線C函數(shù)表達(dá)式為：y=-x2+2x+3；（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點(diǎn)（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，，解得，k=1，b=1，∴yAB=x+1，設(shè)點(diǎn)M（a，-a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=時(shí)，MK有最大長度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK?AH+MK?（xB-xH）=MK?（xB-xA）=××3=，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；（3）存在點(diǎn)F，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴對(duì)稱軸為直線x=1，當(dāng)y=0時(shí)，x1=-1，x2=3，∴拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)C（3，0），如圖2，分別過點(diǎn)B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y=的距離，設(shè)F（1，a），連接BF，CF，則BF=BN=-3=，CF=CH=，由題意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【模擬題】1．(2023·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線分別交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由；(3)在M，N移動(dòng)的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫出理由．答案:(1)(2)，見解析(3)有，最小值為【詳解】（1）把點(diǎn)，代入拋物線中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2），理由是：如圖1，令，則，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移動(dòng)的過程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到AC的垂線段DN的長，如圖2，拋物線解析式為：；∴對(duì)稱軸是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移動(dòng)的過程中，有最小值是．2．(2023·四川樂山·統(tǒng)考三模）拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．(1)求拋物線解析式；(2)連接AD，CD，BC，將△OBC沿著x軸以1個(gè)單位每秒的速度向左平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是O'，B'，C′，設(shè)S表示O'B'C'與四邊形AOCD的重疊部分面積，求S與時(shí)間t的函數(shù)解析式；(3)如圖2，點(diǎn)M（m，n）為拋物線上的任意一點(diǎn)，過M向直線y作垂線，垂足為E，點(diǎn)F為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)ME﹣MF恒等于時(shí)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)．答案:(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)S(3)（﹣1，）．解析：（1）解：將點(diǎn)A（﹣3，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣1，4），設(shè)直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y＝mx+n，則：，解得：，∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y＝2x+6，對(duì)y＝﹣x2﹣2x+3來說，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，即點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），當(dāng)C′在AD上時(shí)，令y＝3，即2x+6＝3，解得：x，①如圖1，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，由題意得，OC＝O′C′＝3，OB＝O′B′＝1，∴OB′＝1﹣t，∵OCO′C′，∴△O′B′C′∽△OB′M，∴即，解得：OM＝3（1﹣t），S＝S△O′B′C′﹣S△OMB′3×13（1﹣t）2＝；②當(dāng)1≤t時(shí)，如圖2，△O′B′C′完全在四邊形AOCD內(nèi)，此時(shí)：S1×3；③當(dāng)時(shí)，如圖3，設(shè)B′C′，C′O′與AD的交點(diǎn)分別為P，Q，過點(diǎn)P作PH⊥C′O′于點(diǎn)H，∵AO＝3，OO′＝t，∴AO′＝3﹣t，O′Q＝AO′tan∠QAO′＝2AO′＝6﹣2t，∴C′Q＝3﹣（6﹣2t）＝2t﹣3，∵PHAB，∴∠HPQ＝∠DAO，∴QH＝HPtan∠HPQ＝2HP，C′H3HP，∴HPC′Q，∴S（2t﹣3）（2t﹣3）；④當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖4，BB′＝t，則AB′＝4﹣t，tan∠DAM＝tan∠PAN2，tan∠PB′N＝tan∠CBO＝3，設(shè)NB′＝m，則PN＝3m，AN＝1.5m，∵AB′＝NB′＋AN，∴2.5m＝4﹣t，解得：m（4﹣t），∴PN＝，∴S（4﹣t）?（4﹣t）（t﹣4）2，綜上所述：S（3）設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣1，h），則MF，MEn，∵M(jìn)E﹣MF，∴MF＝MEn，∴（m+1）2+（n﹣h）2＝（）2，∴m2+2m+1+h2﹣2nh，將n＝﹣m2﹣2m+3代入上式，整理，得（2h）m2+（4h﹣15）m+1+h2﹣6h0，∴當(dāng)h時(shí)，上式對(duì)于任意實(shí)數(shù)m的值恒成立，∴滿足題意的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）．3．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交x軸于點(diǎn)E．若點(diǎn)Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線，分別交直線l于點(diǎn)M，N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．答案:(1)；(2)或；(3)【詳解】（1）解：∵由二次函數(shù)，令，則，，過點(diǎn)，，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得，，解得，，（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱軸為，①如圖，過點(diǎn)作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，，，②軸上取一點(diǎn)，使得，則，設(shè)，則，，解得，即，設(shè)直線CD的解析式為，，解得，直線CD的解析式為，聯(lián)立，解得或，，綜上所述，或，（3）的值是定值，設(shè)，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，，，即，，，，，．即的值是定值4．(2023·四川成都·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD交BC于點(diǎn)E，若AE＝2ED，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)直線y＝kx﹣2k+1與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，取點(diǎn)P（2，0），連接PM，PN，求△PMN面積的最小值．答案:(1)y＝﹣x2+2x+3(2)（1，4）或（2，3）(3)【詳解】（1）解：將點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，∵B（3，0），∴A（﹣1，0），∴AB＝4，如圖，過點(diǎn)D作x軸的平行線交BC于點(diǎn)F，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，則，解得：，∴直線BC解析式：y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m2+2m+3），∴F（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），∴DF＝m﹣（m2﹣2m）＝3m﹣m2，∵DF∥AB．∴∠FDE＝∠BAE，∠DFE＝∠EBA，∴△DEF∽△AEB，∴＝，∴DF＝2，∴3m﹣m2＝2，∴m＝1或m＝2，∴D（1，4）或（2，3）；（3）解：∵，∴直線y＝kx﹣2k+1過定點(diǎn)（2，1），記作點(diǎn)Q，∵P（2，0），∴PQ∥y軸，PQ=1，∴，∵直線y＝kx﹣2k+1與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，∴聯(lián)立得：，整理得：，∴，∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值，∴△PMN面積的最小值為．5．(2023·四川眉山·統(tǒng)考二模）如圖直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)的拋物線與x軸交于點(diǎn)C，且(1)求拋物線和直線的解析式；(2)若M點(diǎn)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P是拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），則是否存在一點(diǎn)P，使的面積最大？若存在求出的最大面積；若不存在，試說明理由．答案:(1)，(2)(3)存在，8解析：（1）解：∵拋物線過，解得∴拋物線的解析式為∴拋物線與y軸的交點(diǎn)又∵直線過∴，∴∴直線的解析式為：（2）解：∵∴設(shè)∵是以為腰的等腰三角形且M點(diǎn)在x軸上當(dāng)BA=BM時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為：，當(dāng)AB=AM時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為：，∴；（3）解：如圖連接，過點(diǎn)P作平行于y軸，交直線于D，設(shè)點(diǎn)，則∴∴∵∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為8．6．(2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D1，在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象F交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)證明：在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請(qǐng)求出直線BD的解析式；(3)在（2）的條件下，設(shè)直線l過D且l⊥BD，分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點(diǎn)，AC、BD相交于N，求的值；答案:(1)y=x2+x-1(2)證明見解析，y=x+(3)解析：(1)∵二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（-3，0），M（0，-1），∴，解得a=，c=-1．

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2+x-1．(2)∵二次函數(shù)的解析式為：y=x2+x-1，令y=0，得0=x2+x-1，解得x1=-3，x2=2，∴C（2，0），∴BC=5；令x=0，得y=-1，∴M（0，-1），OM=1．又AM=BC，∴OA=AM-OM=4，∴A（0，4）．設(shè)AD∥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，如圖1所示，則，解得x1=5，x2=-6（位于第二象限，舍去）∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．∴AD=BC=5，又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．即在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形．設(shè)直線BD解析式為：y=kx+b，∵B（3，0），D（5，4），∴，解得：k=，b=，∴直線BD解析式為：y=x+．(3)在Rt△AOB中，，又AD=BC=5，∴是菱形．①若直線l∥BD，如圖1所示．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC∥直線l，∴，∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10，∴．7．(2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）已知拋物線交x軸于點(diǎn)A，B（A在B點(diǎn)左側(cè)），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C．(1)如圖1，當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求該拋物線的解析式；(2)如圖2，在（1）的條件下，直線交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P作PQ⊥DE于Q，過P點(diǎn)作x軸垂線交直線DE于點(diǎn)T，求△PQT的面積的最小值．(3)如圖3，拋物線頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸與x軸交于H，點(diǎn)N為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線BN交直線MH于F，直線AN與y軸交于G，猜想線段MF、OG和HM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．答案:(1)yx﹣2(2)(3)或，證明見解析解析：(1)解：令x＝0，則y＝﹣2k，∴C（0，﹣2k）．∵拋物線的開口向上，∴k＞0．∴OC＝2k．令y＝0，則，解得：x1＝﹣1，x2＝4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．∴OA＝1，OB＝4．∵∠ACB＝90°，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB．∴．∴（2k）2＝1×4．∴k＝1．∴該拋物線的解析式為yx﹣2．(2)解：設(shè)P（m，m﹣2），則T（m，m﹣3）．∴PT＝（m﹣2）﹣（m﹣3）m+1∵0，∴當(dāng)m＝1時(shí)，PT有最小值．將x＝0，代入得y＝﹣3．∴E（0，﹣3）．∴OE＝3．將y＝0，代入，得x﹣3＝0．解得x＝﹣6．∴D（﹣6，0）．∴OD＝6．∵PT∥OE，∴∠PTQ＝∠OED．∵∠PQT＝∠DOE＝90°，∴△PQT∽△DOE．∴2．設(shè)QT＝t，則PQ＝2t，∴PTt．∴的最小值為∵∴△PQT的面積的最小值為．(3)解：線段MF、OG和HM的數(shù)量關(guān)系為：或．理由如下：①當(dāng)點(diǎn)N在MH的右側(cè)時(shí)，∵ykk，∴M（，k）．∴MHk．設(shè)點(diǎn)N（n，），設(shè)直線BN的解析式為y＝ax+b，∴，解得：．∴直線BN的解析式為．令x，則．∴．∴．同理可得直線AN的解析式為．令x＝0，則，∴．∴．∵，∴，∴．②當(dāng)點(diǎn)N在MH的左側(cè)時(shí)，同①設(shè)點(diǎn)N（n，），設(shè)直線BN的解析式為y＝ax+b，可知直線BN的解析式為．令x，則．∴．∴．同理可得直線AN的解析式為．令x＝0，則，∴．∴．∵，∴，∴．綜上所述，線段MF、OG和HM的數(shù)量關(guān)系為：或．8．(2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)F為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP．探究是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案:(1)(2)存在，或或或(3)存在最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為解析：（1）解：∵四邊形為正方形，點(diǎn)坐標(biāo)為∴，A點(diǎn)坐標(biāo)為∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線得：解得：∴拋物線的解析式為．（2）解：由（1）中拋物線解析式為，則有拋物線的對(duì)稱軸為直線∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱∴點(diǎn)坐標(biāo)為∴由兩點(diǎn)距離公式可得設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形時(shí)，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分