重點(diǎn)04圓的綜合(原卷版+解析)

重點(diǎn)04圓的綜合近幾年四川中考看，幾乎年年會(huì)出現(xiàn)圓綜合的題目，經(jīng)常以解答題的形式出現(xiàn)，偶爾也會(huì)在選擇題中，難度中等，屬于各市中考考查的重點(diǎn)，主要是跟三角形與四邊形等幾何圖形等綜合起來考查。圓的基本性質(zhì)，扇形的面積公式；圓周角定理，理解圓周角與圓心角的區(qū)別于練習(xí)；切線的兩種證明方法（練圓心，證垂直；作垂直，證半徑）；圓與相似綜合，相似基本模型與輔助線的方法【中考真題】1．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作⊙，交邊于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接，作射線交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求及的長(zhǎng)．2．(2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，的直徑垂直于弦于點(diǎn)F，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)C．(1)求證：；(2)若的直徑為4，弦平分半徑，求：圖中陰影部分的面積．3．(2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）四邊形內(nèi)接于，直徑與弦交于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，求證：平分；(2)如圖2，連接，若，求證：．4．(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，連接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半徑．5．(2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的上一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作AB的垂線交AC于點(diǎn)G，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且．(1)求證：DE是的切線；(2)若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，，，求EC的長(zhǎng)．6．(2023·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．【模擬題】1．(2023·四川綿陽·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為的直徑，為弦，過點(diǎn)C的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，E為上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．2．(2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┮阎堑耐饨訄A，是的直徑，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，交于，于，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，是一元二次方程的兩根，求和的長(zhǎng)．3．(2023·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖，是的切線，是的直徑，與交于D，弧上一點(diǎn)E，使得點(diǎn)D成為弧的中點(diǎn)，連接與交于F．(1)比較與的長(zhǎng)度．并說明理由．(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．4．(2023·四川成都·成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知：是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，直線與過點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)已知，，，求．5．(2023·四川成都·校考三模）如圖，在中，，以為直徑作，過點(diǎn)B的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．6．(2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，、分別與相切于點(diǎn)、，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，⊥交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：；(2)若，，求的半徑和線段的長(zhǎng)．7．(2023·四川綿陽·二模）如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O外一點(diǎn)，AC、BC與⊙O分別交于D、E，且CE＝BE，過點(diǎn)E作AC垂線，垂足為點(diǎn)M，直線ME與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．(1)證明：MF與⊙O相切；(2)若⊙O半徑為5，cos∠ACB，求BF的長(zhǎng)度．8．(2023·四川樂山·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，OD⊥AB交AC于點(diǎn)E，∠D＝2∠A．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求證：DE＝DC；(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的長(zhǎng)．9．(2023·四川綿陽·校聯(lián)考三模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E．(1)求證：BD2＝BE?BA；(2)若cosB，AE＝4，求CD．10．(2023·四川眉山·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，且CE＝CF．(1)求證：直線AC是⊙O的切線；(2)若，求的值．重點(diǎn)04圓的綜合近幾年四川中考看，幾乎年年會(huì)出現(xiàn)圓綜合的題目，經(jīng)常以解答題的形式出現(xiàn)，偶爾也會(huì)在選擇題中，難度中等，屬于各市中考考查的重點(diǎn)，主要是跟三角形與四邊形等幾何圖形等綜合起來考查。圓的基本性質(zhì)，扇形的面積公式；圓周角定理，理解圓周角與圓心角的區(qū)別于練習(xí)；切線的兩種證明方法（練圓心，證垂直；作垂直，證半徑）；圓與相似綜合，相似基本模型與輔助線的方法【中考真題】1．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作⊙，交邊于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接，作射線交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求及的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)BF=5，【詳解】（1）解：∵中，，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，∵，∴∠B=∠BCF，∴∠A=∠ACF；（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF∴AF=CF，BF=CF，∴AF=BF=AB，∵，AC=8，∴AB=10，∴BF=5，∵，∴，連接CD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴，∴，∴，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴，∴．2．(2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，的直徑垂直于弦于點(diǎn)F，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)C．(1)求證：；(2)若的直徑為4，弦平分半徑，求：圖中陰影部分的面積．答案:(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，由圓周角定理得：，，與相切，，，，，；（2）解：如圖：連接，弦平分半徑，，，在中，，，，，，，，，．3．(2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）四邊形內(nèi)接于，直徑與弦交于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，求證：平分；(2)如圖2，連接，若，求證：．答案:(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）證明：連接，直線與相切于點(diǎn)，，，，，又，為等邊三角形，又，平分，，平分；（2）證明：∵直線與相切于點(diǎn)，，，∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴，，，，又，．4．(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，連接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半徑．答案:(1)見詳解(2)【詳解】（1）證明：連接OD，如圖∵AB為⊙O的直徑，∴，∴，∵OA=OD，∴，∵∠BDC=∠BAD，∴，∴，∴，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵，∴，∵△ABD是直角三角形，∴，∵，，∴△ACD∽△DCB，∴，∵，∴，∴，在直角△CDO中，設(shè)⊙O的半徑為，則，∴，解得：；∴⊙O的半徑為；5．(2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的上一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作AB的垂線交AC于點(diǎn)G，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且．(1)求證：DE是的切線；(2)若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，，，求EC的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖，連結(jié)OC，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴DE是的切線；（2）解：在中，，，∴，∴，∴，∴，又∵點(diǎn)F為AO中點(diǎn)，

∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴．6．(2023·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．答案:(1)見詳解(2)【詳解】（1）證明：連接OD，OE，如圖所示：∵，∴∠A=∠ODA，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴OE∥AB，∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，∴∠DOE=∠COE，∵，∴△COE≌△DOE（SAS），∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接CD，如圖所示：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，即，∵AD＝4，BD＝9，∴，∴，在Rt△ADC中，由勾股定理得：，∴⊙O的半徑為．【模擬題】1．(2023·四川綿陽·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為的直徑，為弦，過點(diǎn)C的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，E為上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖①，連接，在和中，，，，，，，又，，，與相切，，．（2）解：如圖②，連接，為的直徑，，，，，，，解得或（舍去），，為切線，．為的直徑，，，又，，，設(shè)，則，，，，解，，，由（1）可得，，．2．(2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┮阎堑耐饨訄A，是的直徑，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，交于，于，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，是一元二次方程的兩根，求和的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)CE＝6，AG＝4【詳解】（1）證明：連接，如圖，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，，，，

，，，，為半徑，是的切線；（2）解：連接，如圖，，，，是一元二次方程的兩根，，，，是的直徑，，，∴，，，，，，，，，，，，，，，，，．3．(2023·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖，是的切線，是的直徑，與交于D，弧上一點(diǎn)E，使得點(diǎn)D成為弧的中點(diǎn)，連接與交于F．(1)比較與的長(zhǎng)度．并說明理由．(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．答案:(1)，理由見解析(2)2.8【詳解】（1）解：．理由：連接．∵是的切線，∴，即．∴．∵是的直徑，∴．∴．∴．∵D為的中點(diǎn)，∴＝．∴．∵，∴．∴．（2）解：∵，，∴．∴．∴．∴．由（1）知，且，∴．∴．∴．即的長(zhǎng)為2.8．4．(2023·四川成都·成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知：是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，直線與過點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)已知，，，求．答案:(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，，如圖，是圓的切線，，，，，是的中位線，，，．，，．在和中，，，，，為圓的半徑，是的切線；（2）解：連接，，如圖，，，，，是圓的切線，是的切線，，．，，∽，，，．是的切線，，，∽，，設(shè)，則，，，負(fù)數(shù)不合題意，舍去．．5．(2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在中，，以為直徑作，過點(diǎn)B的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，∴平分．（2）解：由（1）知，，∴，∵為的直徑，∴，∴，即，∵，∴，即，∴，，∵，∴，，，∵，，∴∽，∴，即，解得：．6．(2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，、分別與相切于點(diǎn)、，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，⊥交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：；(2)若，，求的半徑和線段的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)半徑為3，的長(zhǎng)為2【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，是的切線，，，，，，，，（2）解：在中，，，即，在中，，故的半徑為3，，在和中，，，，即，，在中，，故的長(zhǎng)為2．7．(2023·四川綿陽·二模）如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O外一點(diǎn)，AC、BC與⊙O分別交于D、E，且CE＝BE，過點(diǎn)E作AC垂線，垂足為點(diǎn)M，直線ME與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．(1)證明：MF與⊙O相切；(2)若⊙O半徑為5，cos∠ACB，求BF的長(zhǎng)度．答案:(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖所示，連接OE，AE，∵AB是直徑，∴，在和中，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵OE是半徑，∴MF是的切線；（2）解：由（1）可知，，在中，，在中，，∴，∵，∴，，，解得，．8．(2023·四川樂山·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，OD⊥AB交AC于點(diǎn)E，∠D＝2∠A．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求證：DE＝DC；(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)見解析(3)AE＝2【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，又∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COB．又∵OD⊥AB，∴∠COB+∠COD＝90°，∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，∴OC⊥DC，又點(diǎn)C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線；（2）證明：∵∠DCO＝90°，∴∠DCE+∠ACO＝90°，又∵OD⊥AB，∴∠AEO+∠A＝90°，又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC；（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，∴OC＝＝＝4，∴OA＝OC＝4，又DE＝DC＝3，∴OE＝OD﹣DE＝2，在Rt△AEO中，由勾股定理得：，∴AE＝2．9．(2023·四川綿陽·校聯(lián)考三模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E．(1)求證：BD2＝BE?BA；(2)若cosB，AE＝4，求CD．答案:(1)見解析(2)解析：（1）證明：連接OD，如圖，∵AD平分∠BAC，∴∠4＝