高一數(shù)學(xué)一隅三反系列(人教A版必修第一冊)第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)(原卷版+解析)

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)考點(diǎn)一基本不等式常見考法【例1-1】(2023·浙江·溫州中學(xué)）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【例1-2】(2023·湖北十堰·高一期末）若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．81【例1-3】(2023·四川德陽·高一期末）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)【例1-4】(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·四川德陽）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)2．(2023·天津紅橋·）若，都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C． D．3．(2023·四川·成都外國語學(xué)校高一階段練習(xí)（文））設(shè)，，且，則的最大值為（

）．A． B． C． D．4．(2023·全國·專題練習(xí)）（1）已知，則取得最大值時(shí)的值為________．（2）已知，則的最大值為________．（3）函數(shù)的最小值為________．5．(2023·浙江衢州·高一階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值是___________.考點(diǎn)二三個(gè)一元二次的關(guān)系【例2-1】(2023·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【例2-2】(2023·甘肅定西·高一階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

） B． C． D．【例2-3】(2023·江西宜春）已知，q：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．(2023·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高一期中）（多選）已知關(guān)于x的不等式的解集為則（

）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為30(2023廣東）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題(3)中，若問題中的實(shí)數(shù)存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．已知一元二次不等式的解集為或，關(guān)于的不等式的解集為(其中)(1)求，的值；(2)求集合；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得_______.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分).考點(diǎn)三恒成立或存在問題【例3-1】(2023·全國·專題練習(xí)）若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【例3-2】(2023·全國·專題練習(xí)）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．【一隅三反】1．(2023·江西吉安）若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于的不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．(2023·山東·德州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）命題“存在，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.5．(2023·黑龍江·雞東縣第二中學(xué)）已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.6．(2023·全國·高一專題練習(xí)）若不等式在時(shí)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．7(2023·江蘇）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．考點(diǎn)四含參一元二次不等式解法【例4-1】(2023·四川）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（

） B．(0，1) C． D．(-1，0)【例4-2】(2023·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式(1)若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值；(2)若，求不等式的解集．【一隅三反】．(2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)考點(diǎn)一基本不等式常見考法【例1-1】(2023·浙江·溫州中學(xué)）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．答案:C解析：因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C【例1-2】(2023·湖北十堰·高一期末）若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．81答案:D解析：由題意得，得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：D【例1-3】(2023·四川德陽·高一期末）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)答案:C解析：不等式等價(jià)于，設(shè)，顯然a=0不符合題意，若，，是開口向上，零點(diǎn)分別為1和的拋物線，對于，解集為或，不符合題意；若，則是開口向下，零點(diǎn)分別為1和的拋物線，對于，依題意解集為，，即，故選：C.【例1-4】(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案:C解析：正實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，存在，使不等式有解，，解可得或，即，故選：C．【一隅三反】1．(2023·四川德陽）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)答案:C解析：不等式等價(jià)于，設(shè)，顯然a=0不符合題意，若，，是開口向上，零點(diǎn)分別為1和的拋物線，對于，解集為或，不符合題意；若，則是開口向下，零點(diǎn)分別為1和的拋物線，對于，依題意解集為，，即，故選：C.2．(2023·天津紅橋·）若，都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C． D．答案:A解析：若，都是正數(shù)，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：A.3．(2023·四川·成都外國語學(xué)校高一階段練習(xí)（文））設(shè)，，且，則的最大值為（

）．A． B． C． D．答案:B解析：∵，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，∴．故選：B．4．(2023·全國·專題練習(xí)）（1）已知，則取得最大值時(shí)的值為________．（2）已知，則的最大值為________．（3）函數(shù)的最小值為________．答案:（1）

（2）

1

（3）解析：（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．故答案為：.（2）因?yàn)?，所以，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．故的最大值為1.故答案為：1.（3）.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.5．(2023·浙江衢州·高一階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值是___________.答案:##解析：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，由可得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值是.故答案為：.考點(diǎn)二三個(gè)一元二次的關(guān)系【例2-1】(2023·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．答案:B解析：由題意得，即，所以即，解得．故選：B【例2-2】(2023·甘肅定西·高一階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案:C解析：不等式，即，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是4，5，6，故；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是0，1，2，故；故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：C【例2-3】(2023·江西宜春）已知，q：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案:A解析：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，顯然，，，所以p是q的充分不必要條件.故選：A【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集是（

）A． B．C． D．答案:D解析：關(guān)于x的不等式的解集為，，，可化為，，關(guān)于x的不等式的解集是．故選：D．2．(2023·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高一期中）（多選）已知關(guān)于x的不等式的解集為則（

）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為答案:BC解析：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為所以，是方程，所以A錯(cuò)誤，，則，對于B，由，得，因?yàn)?，所以，所以不等式的解集為，所以B正確，對于C，因?yàn)椋?，所以，所以C正確，對于D，不等式可化為，因?yàn)椋?，解得，所以原不等式的解集為，所以D錯(cuò)誤，故選：BC30(2023廣東）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題(3)中，若問題中的實(shí)數(shù)存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．已知一元二次不等式的解集為或，關(guān)于的不等式的解集為(其中)(1)求，的值；(2)求集合；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得_______.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分).答案:(1)1、2；(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(3)若選①：；若選②：或；若選③：.解析：(1)由一元二次不等式的解集為或，得，且方程的兩根為、，∴解得(2)由(1)可知即為，即．m＜2時(shí)，；m＝2時(shí)，不等式無解；m＞2時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(3)由(1)知或，若選：，則，當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，滿足；∴選，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；若選：，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，滿足；∴選，則實(shí)數(shù)的取值范圍是或；若選③：，，當(dāng)時(shí)，，則m≥1，∴；當(dāng)時(shí)，，滿足當(dāng)時(shí)，，不滿足．∴選，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.考點(diǎn)三恒成立或存在問題【例3-1】(2023·全國·專題練習(xí)）若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．答案:解析：由題意可知，不等式在上有解，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【例3-2】(2023·全國·專題練習(xí)）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．答案:C解析：令，則不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．的取值范圍為．故選：C．【一隅三反】1．(2023·江西吉安）若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案:B解析：當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．2．(2023·全國·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案:A解析：當(dāng)時(shí)，該不等式為，成立；當(dāng)時(shí)，要滿足關(guān)于的不等式對任意恒成立，只需，解得，綜上所述，的取值范圍是，故選：A.3．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于的不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案:C解析：因?yàn)椴坏仁綄愠闪?，所以對恒成立，所以，?dāng)時(shí)，對恒成立．當(dāng)時(shí)，由題意，得，即，解得，綜上，的取值范圍為．故選：C4．(2023·山東·德州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）命題“存在，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.答案:解析：由于“存在，”為假命題，所以“”，為真命題，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以.故答案為：5．(2023·黑龍江·雞東縣第二中學(xué)）已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案:解析：由題意得，“，”是真命題，則對恒成立，在區(qū)間上，的最小值為，所以，即a的取值范圍是.故答案為：6．(2023·全國·高一專題練習(xí)）若不等式在時(shí)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．答案:解析：由，得，因?yàn)?，所以有解，令，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，故答案為：7(2023·江蘇）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．答案:解析：因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上有解，的最大值為4所以，解得故答案為：考點(diǎn)四含參一元二次不等式解法【例4-1】(2023·四川）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)答案:C解析：不等式等價(jià)于，設(shè)，顯然a=0不符合題意，若，，是開口向上，零點(diǎn)分別為1和的拋物線，對于，解集為或，不符合題意；若，則是開口向下，零點(diǎn)分別為1和的拋物線，對于，依題意解集為，，即，故選：C.【例4-2】(2023·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式(1)若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值；(2)若，求不等式的解集．答案:(1)；(2)答案見解析.解析：(1)不等式，依題意，是方程的二根，且，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)的值是.(2)由（1）知，，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得或，當(dāng)時(shí)，不等式化為，當(dāng)時(shí)，有，解得，當(dāng)時(shí)，有，不等式無解，當(dāng)時(shí)，有，解得，所以當(dāng)時(shí)，原不等式解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為.【一隅三反】．(2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.答案:答案見解析解析：（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，解集為；時(shí)，不等式分解因式可得當(dāng)時(shí)，故，此時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)，可化為，又解集為；當(dāng)時(shí)，可化為，又解集為.綜上有，時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為（2）把化簡得，①當(dāng)時(shí)，不等式的解為②當(dāng)，即，得，此時(shí)，不等式的解為或③當(dāng)，即，得或，當(dāng)時(shí)，不等式的解為或，當(dāng)時(shí)，不等式的解為，④當(dāng)，得，此時(shí)，，解得且，綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解為，當(dāng)時(shí)，不等式的解為，當(dāng)時(shí)，不等式的解為或，當(dāng)時(shí)，不等式的解為且，當(dāng)時(shí)，不等式的解為或，（3），，①時(shí)，，可得；②時(shí)，可得若，解可得，或；若，則可得，當(dāng)即時(shí)，解集為，；當(dāng)即時(shí)，解