湖南省襄陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷含解析

Page19湖南省襄陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，則又，所以.故選：A2.如圖是杭州2024年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧AD長(zhǎng)度是，弧BC長(zhǎng)度是，幾何圖形ABCD面積為，扇形BOC面積為，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)，則，所以，所以,故選：C3.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，.故選：A4.已知函數(shù)，時(shí)，有唯一解，則滿意條件的的個(gè)數(shù)是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】當(dāng)時(shí),∵有唯一解，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得，解得又當(dāng)時(shí),解得,又,綜上所述,故選：B.5.已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)，若，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】解：因?yàn)榻堑慕K邊上一點(diǎn)，所以，又，所以為第四象限角，所以，又因，所以.故選：C.6.，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?所以,可得,因,所以,可得,因?yàn)?又因?yàn)?由正弦函數(shù)在上的單調(diào)性知,，即.故選:A7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.6 B.8 C.12 D.14【答案】C【解析】依題意可知，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且所以，，即函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)；令，即，在同一坐標(biāo)系中分別作出和的圖像如下圖所示：由圖像可知，兩函數(shù)圖像共有12個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)共由12個(gè)零點(diǎn).故選：C.8.定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和．若，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：依據(jù)函數(shù)的定義可轉(zhuǎn)換為滿意的整數(shù)解的的和，當(dāng)時(shí)，做出函數(shù)和的大致圖象，如圖所示：結(jié)合圖形可得的解集中整數(shù)解的個(gè)數(shù)有多數(shù)個(gè)，不符合題意當(dāng)時(shí)，，由，解得或．在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解，即，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，做出函數(shù)和的大致圖象，如圖所示：若，又，且，所以不等式的整數(shù)解為．只需滿意，即，解得．綜上，所以時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（每小題有多于一個(gè)的正確選頂，全答對(duì)得5分，部分答對(duì)得2分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分）9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，若，但沒有意義，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則，但，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由于，則，所以，D選項(xiàng)正確.故選：BD10.關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題，其中正確的是（）A.的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱【答案】BCD【解析】∵的定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}，∴為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故A錯(cuò)誤，B正確；∵∴，∴的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；又，∴，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱，故D正確．故選：BCD．11.設(shè)函數(shù)（，是常數(shù)，）若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的周期為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的對(duì)稱軸為D.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】BD【解析】解：函數(shù)，是常數(shù)，，，若在區(qū)間上具有單調(diào)性，則，．，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，①，且，．兩式相減，可得，故或（舍去）．當(dāng)時(shí)，則由①可得，．綜上，．故它的周期為，故A錯(cuò)誤；令，求得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，故B正確．令，求得，，故的對(duì)稱軸為直線，，故C錯(cuò)誤；由的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，故D正確，故選：BD．12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿意當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為非零常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，記函數(shù)與的圖象在的個(gè)交點(diǎn)為，則D.當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【解析】，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為2，，A正確；當(dāng)時(shí)，取，，，函數(shù)單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖所示，依據(jù)圖像與圖像交點(diǎn)分別為，，，，，故，C正確；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖所示：，依據(jù)圖像知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，現(xiàn)考慮軸上每4個(gè)單位長(zhǎng)度為一段的函數(shù)值，最大值依次變大，最小值依次變小，故只需考慮最終一段即可，，，故值域?yàn)?，D正確.故選：ACD三、填空題（每小5分，共20分，把正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上13.已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】解：令，則有，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，如圖所示：由此可得.故答案為：.14.已知函數(shù)和的圖象完全相同，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】解：因?yàn)?，所以，則.因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.15.若，，且，則的最大值為______．【答案】【解析】解：由，得，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為.

故答案為：.16.對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱點(diǎn)是曲線的“美麗點(diǎn)”．已知，則曲線的“美麗點(diǎn)”個(gè)數(shù)為______．【答案】5【解析】曲線的“美麗點(diǎn)”個(gè)數(shù)即曲線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù).由，可得，即，則，同一坐標(biāo)系內(nèi)作出（實(shí)線）與的圖像（虛線）.由圖像可得兩函數(shù)圖像共有5個(gè)交點(diǎn)，則曲線的“美麗點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5故答案為：5四、解答題（要求寫出必要的過(guò)程，第17題10分，第18~22題各12分，共70分．）17設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求不等式的解集．【答案】（1）令，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，不存在單調(diào)減區(qū)間.（2），所以，所以不等式的解集為，18.某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在肯定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x單位：小時(shí)）改變的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由試驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．（1）若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑a（）個(gè)單位的消毒劑，要使接下來(lái)的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值，【答案】（1）一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，濃度則當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).當(dāng)時(shí)，由，解得，綜合得.所以，若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí).（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)時(shí)，濃度，而，，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為.令，解得，的最小值為.19.已知.（1）若角終邊有一點(diǎn)，且，求m的值；（2）求函數(shù)的值域．【答案】（1）由題意可得，，可得，；（2）因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?20.已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，其中為常數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知函數(shù)，若存在，均有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，則，即，又因?yàn)?，所以，所以；?）由，得，則，即；由，得，則，即，因?yàn)榇嬖冢?，所以且，解得，所以?shí)數(shù)m的取值范圍．21.已知函數(shù)，．（1）求的值域；（2）若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故的值域?yàn)椋?）由，得，因?yàn)?，所以，所以，令，則，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，所以．因此的取值范圍為．22.已知函數(shù)為定義域內(nèi)的奇函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)隨意，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）因?yàn)椋瞧婧瘮?shù)，所以，解得，此時(shí)