湖南省襄陽市2024-2025學年高一數學上學期期末考試試卷含解析

Page19湖南省襄陽市2024-2025學年高一數學上學期期末考試試卷一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，則又，所以.故選：A2.如圖是杭州2024年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，如圖是會徽的幾何圖形，設弧AD長度是，弧BC長度是，幾何圖形ABCD面積為，扇形BOC面積為，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設，則，所以，所以,故選：C3.已知角的終邊經過點，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因為角的終邊經過點，所以，.故選：A4.已知函數，時，有唯一解，則滿意條件的的個數是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】當時,∵有唯一解，依據正弦函數的圖象可得，解得又當時,解得,又,綜上所述,故選：B.5.已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊上一點，若，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】解：因為角的終邊上一點，所以，又，所以為第四象限角，所以，又因，所以.故選：C.6.，，的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為,所以,可得,因,所以,可得,因為,又因為,由正弦函數在上的單調性知,，即.故選:A7.已知函數是定義在上的偶函數，且，當時，，設函數，則函數的零點個數為（）A.6 B.8 C.12 D.14【答案】C【解析】依題意可知，函數是定義在上的偶函數，且所以，，即函數是以2為周期的偶函數；令，即，在同一坐標系中分別作出和的圖像如下圖所示：由圖像可知，兩函數圖像共有12個交點，即函數共由12個零點.故選：C.8.定義：表示不等式的解集中的整數解之和．若，，，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：依據函數的定義可轉換為滿意的整數解的的和，當時，做出函數和的大致圖象，如圖所示：結合圖形可得的解集中整數解的個數有多數個，不符合題意當時，，由，解得或．在內有3個整數解，即，所以，符合題意；當時，做出函數和的大致圖象，如圖所示：若，又，且，所以不等式的整數解為．只需滿意，即，解得．綜上，所以時，實數的取值范圍為．故選：D．二、多項選擇題（每小題有多于一個的正確選頂，全答對得5分，部分答對得2分，有錯誤選項的得0分）9.下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】A選項，若，但沒有意義，所以A選項錯誤.B選項，由于，所以B選項正確.C選項，若，則，但，所以C選項錯誤.D選項，由于，則，所以，D選項正確.故選：BD10.關于函數有如下四個命題，其中正確的是（）A.的圖象關于y軸對稱 B.的圖象關于原點對稱C.的圖象關于直線對稱 D.的圖象關于點(π，0)對稱【答案】BCD【解析】∵的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，∴為奇函數，其圖象關于原點對稱.故A錯誤，B正確；∵∴，∴的圖象關于直線對稱，故C正確；又，∴，∴的圖象關于點(π，0)對稱，故D正確．故選：BCD．11.設函數（，是常數，）若在區(qū)間上具有單調性，且，則下列說法正確的是（）A.的周期為B.的單調遞減區(qū)間為C.的對稱軸為D.的圖象可由的圖象向左平移個單位得到【答案】BD【解析】解：函數，是常數，，，若在區(qū)間上具有單調性，則，．，則的圖象關于點對稱，的圖象關于直線對稱，，①，且，．兩式相減，可得，故或（舍去）．當時，則由①可得，．綜上，．故它的周期為，故A錯誤；令，求得，可得函數的減區(qū)間為，故B正確．令，求得，，故的對稱軸為直線，，故C錯誤；由的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，故D正確，故選：BD．12.已知函數的定義域為，且滿意當時，，當時，，為非零常數，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，在單調遞增C.當時，記函數與的圖象在的個交點為，則D.當時，在上的值域為【答案】ACD【解析】，當時，，函數周期為2，，A正確；當時，取，，，函數單調遞減，B錯誤；，，當時，，函數簡圖如圖所示，依據圖像與圖像交點分別為，，，，，故，C正確；當時，，，函數簡圖如圖所示：，依據圖像知，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，，現考慮軸上每4個單位長度為一段的函數值，最大值依次變大，最小值依次變小，故只需考慮最終一段即可，，，故值域為，D正確.故選：ACD三、填空題（每小5分，共20分，把正確答案填寫在答題卡相應位置上13.已知,若函數有兩個零點，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】解：令，則有，因為有兩個零點，所以與有兩個交點，作出的圖象，如圖所示：由此可得.故答案為：.14.已知函數和的圖象完全相同，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】解：因為，所以，則.因為，所以，所以，所以.故答案為：.15.若，，且，則的最大值為______．【答案】【解析】解：由，得，因為，所以，則，當且僅當，即時，取等號，所以的最大值為.

故答案為：.16.對于函數，若存在，使，則稱點是曲線的“美麗點”．已知，則曲線的“美麗點”個數為______．【答案】5【解析】曲線的“美麗點”個數即曲線與曲線交點個數.由，可得，即，則，同一坐標系內作出（實線）與的圖像（虛線）.由圖像可得兩函數圖像共有5個交點，則曲線的“美麗點”個數為5故答案為：5四、解答題（要求寫出必要的過程，第17題10分，第18~22題各12分，共70分．）17設函數．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）求不等式的解集．【答案】（1）令，解得，所以的單調增區(qū)間為，不存在單調減區(qū)間.（2），所以，所以不等式的解集為，18.某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在肯定范圍內，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y單位：毫克/立方米）隨著時間x單位：小時）改變的關系如下：當時，；當時，若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由試驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．（1）若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？（2）若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑a（）個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值，【答案】（1）一次噴灑4個單位的凈化劑，濃度則當時，由，解得，此時.當時，由，解得，綜合得.所以，若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達8小時.（2）設從第一次噴灑起，經時，濃度，而，，故當且僅當時，有最小值為.令，解得，的最小值為.19.已知.（1）若角終邊有一點，且，求m的值；（2）求函數的值域．【答案】（1）由題意可得，，可得，；（2）因為，所以，，因為，所以當時，，當時，，所以的值域為.20.已知函數圖象的一個對稱中心為，其中為常數，且．（1）求函數的解析式；（2）已知函數，若存在，均有，求實數m的取值范圍．【答案】（1）解：因為函數圖象的一個對稱中心為，所以，則，即，又因為，所以，所以；（2）由，得，則，即；由，得，則，即，因為存在，均有，所以且，解得，所以實數m的取值范圍．21.已知函數，．（1）求的值域；（2）若關于的方程有解，求實數的取值范圍．【答案】（1）當時，，所以，所以，故的值域為．（2）由，得，因為，所以，所以，令，則，，由對勾函數的性質知在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取得最小值，因為當時，，當時，，所以的最大值為，所以．因此的取值范圍為．22.已知函數為定義域內的奇函數.（1）求的值；（2）設函數，若對隨意，總存在使得成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）因為，是奇函數，所以，解得，此時