新教材適用2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)練案38第七章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積和體積

練案[38]第七章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積和體積A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．下列結(jié)論中正確的是(D)A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．兩個面平行且相像，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線[解析]當(dāng)一個幾何體由具有相同的底面且頂點(diǎn)在底面兩側(cè)的兩個三棱錐構(gòu)成時，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯誤；如右圖可知，B錯誤；若六棱錐的全部棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則棱長必需要大于底面邊長，故C錯誤．選D.2．(2024·河北廊坊模擬)圓錐的側(cè)面綻開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是(A)A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．頂角為30°的等腰三角形D．其他等腰三角形[解析]因?yàn)閳A錐的側(cè)面綻開圖是直徑為a的半圓面，所以圓錐母線長為eq\f(a,2)，圓錐底半徑r＝eq\f(a,4)，所以此圓錐的軸截面是等邊三角形，故選A.3．(2024·山東濰坊模擬)如圖1，在高為h的直三棱柱容器ABC－A1B1C1內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面恰好為A1B1C(如圖2)，則容器的高h(yuǎn)為(A)A．3 B．4C．4eq\r(2) D．6[解析]由題意知水的體積為容器體積的eq\f(2,3)，故h＝3.4．(2024·廣東潮州質(zhì)檢)已知一個圓柱的軸截面為正方形，且它的側(cè)面積為36π，則該圓柱的體積為(D)A．16π B．27πC．36π D．54π[解析]設(shè)圓柱底面半徑為R，高為h，設(shè)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝2R，,2πRh＝36π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝3，,h＝6，))∴圓柱的體積為V＝πR2h＝54π.故選D.5．(2024·福建泉州適應(yīng)性測試)已知圓錐SO的底面半徑為1，若其底面上存在兩點(diǎn)A，B，使得∠ASB＝90°，則該圓錐側(cè)面積的最大值為(A)A.eq\r(2)π B．2πC．2eq\r(2)π D．4π[解析]由題意可知∠CSA≥90°，∴∠SAO≤45°，又OA＝1，∴SA≤eq\r(2)，∴S圓錐側(cè)面積≤eq\r(2)π，故選A.6．(2024·河南洛陽創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟摸底)若圓錐的母線與底面所成的角為eq\f(π,6)，底面圓的半徑為eq\r(3)，則該圓錐的體積為(B)A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．3π[解析]設(shè)圓錐的高為h，因?yàn)槟妇€與底面所成的角為eq\f(π,6)，所以taneq\f(π,6)＝eq\f(h,\r(3))，解得h＝1.圓錐的體積V＝eq\f(π,3)×(eq\r(3))2×1＝π.故選B.7.(2024·陜西西安質(zhì)檢)如圖是一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則eq\f(m,n)的值為(B)A.eq\f(2,3) B．1C．eq\f(3,2) D．eq\f(9,4)[解析]設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(πr2·2r,\f(4π,3)·r3)＝m，,\f(2πr2＋2πr·2r,4πr2)＝n，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＝m,\f(3,2)＝n))?eq\f(m,n)＝1.故選B.8．(2024·廣東韶關(guān)模擬)對24小時內(nèi)降水在平地上單位面積的積水厚度(mm)進(jìn)行如下規(guī)定：積水厚度區(qū)間[0.1,10.0)[10.0,25.0)[25.0,50.0)[50.0,100.0)級別小雨中雨大雨暴雨小明用一個圓臺形容器(如圖)接了24小時雨水，則這天的降雨屬于哪個等級(B)A．小雨 B．中雨C．大雨 D．暴雨[解析]由題意知降雨量是雨水的體積除以容器口面積，通過還臺為錐法，利用相像比，可計算得圓臺中雨水的上底面半徑是60mm，下底面半徑是40mm，所以單位面積的積水厚度(mm)eq\f(\f(1,3)π×602×180－\f(1,3)π×402×120,π×802)＝eq\f(603,802)－eq\f(403,802)＝33.75－10＝23.75，故選B.9．(2024·天津河西區(qū)質(zhì)檢)已知三棱錐S－ABC的全部頂點(diǎn)都在球O的表面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此三棱錐的體積為(C)A.eq\f(1,4) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(2),6) D．eq\f(\r(2),12)[解析]依據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長CO1交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC.∵CO1＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，∴OO1＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3)，∴高SD＝2OO1＝eq\f(2\r(6),3)，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，∴VS－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).故選C.二、多選題10．(2024·廣東廣州三模)下列說法中正確的是(AC)A．長方體是直四棱柱B．兩個面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．平行六面體不是棱柱[解析]長方體是直四棱柱，A正確；兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體，當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點(diǎn)時，就不是棱臺，B錯；正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，C正確；平行六面體肯定是棱柱，D錯．故選AC.11．(2024·河北滄州模擬)三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2024年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號坑發(fā)覺了玉琮．玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器．假定某玉琮中間內(nèi)空，形態(tài)對稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長2cm，外徑長3cm，筒高4cm，中部為棱長是3cm的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則(BD)A．該玉琮的體積為18＋eq\f(3π,4)(cm3)B．該玉琮的體積為27－eq\f(7π,4)(cm3)C．該玉琮的表面積為54＋π(cm2)D．該玉琮的表面積為54＋9π(cm2)[解析]由圖可知，組合體的體積V＝π×4×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－12))＋3×3×3－π×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝27－eq\f(7π,4)(cm3)，組合體的表面積S＝3π×1＋2×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3×3－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2))＋3×3×4＋2π×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－12))＋2π×4＝54＋9π(cm2)．故選BD.12．(2024·山東濰坊期末)等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為(AB)A.eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))π[解析]繞直角邊旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓錐，其表面積S＝πrl＋πr2＝π×1×eq\r(2)＋π×12＝(eq\r(2)＋1)π.假如繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高eq\f(\r(2),2)，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，所以形成的幾何體的表面積S＝2×πrl＝2×π×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\r(2)π.故選AB.三、填空題13．(2024·海南)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)，則三棱錐A－NMD1的體積為eq\f(1,3).[解析]由題意可知＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).14．(2024·上海虹口區(qū)模擬改編)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的動點(diǎn)，滿意D1P與直線CC1所成角的大小為eq\f(π,6)，則線段D1P掃過的面積為eq\f(π,6).[解析]由題意可知，D1P掃過的曲面為一圓錐側(cè)面的eq\f(1,4)，由DD1＝1，∠DD1P＝eq\f(π,6)知DP＝eq\f(\r(3),3)，D1P＝eq\f(2\r(3),3).故所求面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(\f(\r(3),3)π,2)×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(π,6).15．(2024·河南洛陽統(tǒng)考)已知三棱錐P－ABC中，AB＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，當(dāng)該三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為_50π__.[解析]因?yàn)锳B＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，所以△ABC的面積為定值，所以當(dāng)PA⊥平面ABC時，該三棱錐體積最大，取AC的中點(diǎn)D，過D作OD⊥AC交PC于O，因?yàn)镻A⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PA⊥AC，所以O(shè)D∥PA，所以O(shè)為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)P＝OA＝OB＝OC，所以點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，因?yàn)镻A＝AC＝5，所以PC＝5eq\r(2)，所以O(shè)C＝eq\f(5\r(2),2)，即外接球的半徑R＝eq\f(5\r(2),2)，所以外接球的表面積為4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2＝50π.B組實(shí)力提升1．(2024·湖南統(tǒng)前考演練)若軸截面為等邊三角形的圓錐和與其共底面的圓柱體積相等，則該圓錐和圓柱的側(cè)面積的比值為(C)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\r(3) D．eq\f(3\r(5),5)[解析]不妨設(shè)圓錐的底面半徑為r1＝1，則圓錐的母線長l＝2，高h(yuǎn)1＝eq\r(3)，由題意得圓柱的底面半徑r2＝1，設(shè)其高為h2，依據(jù)圓錐和圓柱體積相等得eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝π×12×h2，解得h2＝eq\f(\r(3),3).故二者側(cè)面積的比值為eq\f(π×1×2,2π×1×\f(\r(3),3))＝eq\r(3)，故選C.2．(2024·全國甲卷)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面綻開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，則eq\f(V甲,V乙)＝(C)A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．eq\r(10) D．eq\f(5\r(10),4)[解析]設(shè)母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，則eq\f(S甲,S乙)＝eq\f(πr1l,πr2l)＝eq\f(r1,r2)＝2，所以r1＝2r2，又eq\f(2πr1,l)＋eq\f(2πr2,l)＝2π，則eq\f(r1＋r2,l)＝1，所以r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l，所以甲圓錐的高h(yuǎn)1＝eq\r(l2－\f(4,9)l2)＝eq\f(\r(5),3)l，乙圓錐的高h(yuǎn)2＝eq\r(l2－\f(1,9)l2)＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(\f(4,9)l2×\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2×\f(2\r(2),3)l)＝eq\r(10).故選C.3．(多選題)(2024·江蘇蘇州期中)如圖，正方形ABCD與正方形DEFC的邊長均為1，平面ABCD與平面DEFC相互垂直，P是AE上的一個動點(diǎn)，則(BD)A．CP的最小值為eq\f(\r(3),2)B．當(dāng)P在直線AE上運(yùn)動時，三棱錐D－BPF的體積不變C．PD＋PF的最小值為eq\r(2－\r(2))D．三棱錐A－DCE的外接球表面積為3π[解析]選項(xiàng)A：連接DP，CP，易得CP＝eq\r(CD2＋DP2)＝eq\r(DP2＋1)≥eq\f(\r(6),2)，錯誤；選項(xiàng)B：P運(yùn)動過程中，△BPF的面積不變，D到平面BPF的距離也不變，故體積不變，正確；選項(xiàng)C：如圖，將△ADE翻折到與平面ABFE共面，明顯當(dāng)D，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，PD＋PF取得最小值eq\r(1＋1－2cos135°)＝eq\r(2＋\r(2))，錯誤；選項(xiàng)D：將該幾何體補(bǔ)成正方體，易得：R＝eq\f(\r(3),2)，則S＝4πR2＝3π，