初中三角函數(shù)知識點總結(jié)及中考真題講解

銳角三角函數(shù)知識點總結(jié)

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊。、》的平方和等于斜邊。

222

的平方。a+b=c

2、如下圖，在RtaABC中，NC為直角，則NA的銳角三角

函數(shù)為（NA可換成NB）：

定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系

0<sinJ<1

正,4的對邊.,a

sin4=一（ZA為銳

弦斜邊C

角）sinJ=cosZ?

cosA=s\nB

0<cosA<1

余,4的鄰邊hsin2J+cos2A=1

cosA=——r------cosA=-（ZA為銳

弦斜邊c

角）

tanA>0

正44的對邊

tanA=----人一tan/1=-（ZA為銳tanA=cotB

切NA的鄰邊b

角）cotA=tanB

cotA>03"-8"（倒數(shù)）

余.,乙4的鄰邊,h

colA=-（ZA為銳

切4的對邊atanA?cotA=1

角）

由〃+儂9?！?/p>

----------->

|ZB=90°-ZA

3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值

等于它的余角的正弦值。

sin4=cosBcosA=sinB

sinA=cos(90°-A)

cosA=sin(90°-A)

-------->

|ZB=90°-ZA

4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值

等于它的余角的正切值。

tanA=cotB

cot4=tanB

tanA=cot(90°-A)

cotA=tan(90°-A)

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

1V2J3

sina0~2F1

1、，3V2i0

cosa222

J3—

tannr0亍1G

—J3

cota10

6、正弦、余弦的增減性:

當(dāng)0°WaW90°時，sina隨。的增大而增大，cosa隨。的增

大而減小。

7、正切、余切的增減性:

當(dāng)0°<?<90°時，tan。隨。的增大而增大，cota隨a的增大

而減小。

8、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個，其中必有一

邊）f所有未知的邊和角。

22

依據(jù)：①邊的關(guān)系：a+b=c\②角的關(guān)系：AB=90°；③

邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。（注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除

法）

9、應(yīng)用舉例:

（1）仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方

的角。

（2）坡面的鉛直高度〃和水平寬度/的比叫做坡度（坡比）。用字

母，表示，即‘二7。坡度一般寫成1：加的形式，如，=1：5等。

i="tana

把坡面與水平面的夾角記作a（叫做坡角），那么I

3、從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做

方位角。如圖3,OA、OB、OC、0D的方向角分別是：45°、

135°、225°o

4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平

角，叫做方向角。如圖4,0A、OB、0C、0D的方向角分別是：北偏

東30°（東北方向），南偏東45°（東南方向），

南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

要點一：銳角三角函數(shù)的基本概念（直角三角形求值）

一、選擇題

1.（西城）.在RtZ\ABC中，NC=90°,若BC=1,AB=v5,

則tanA的值為

叵275

A.~B.丁C.

]_

2D.2

3

2.（房山）.在aABC中，NC=90°,sinA=5,那么tanA的值

等于（）.

3434

A.5B.5C.4D.3

3.如圖，。。是△4BC的外接圓，4?是的直徑，若的半

徑為5,"=2,則sinB的值是（）

O

BC

23

A.3B.2C.

24

4D.3

4.(湖州中考)如圖，在RtA48C中，4CR=RlZ,BC=],

AB=2,則下列結(jié)論正確的是()

?/G+41nG

sinA=——tanJ=—>cosB=——八二

A.2B.2c.2D.tan6=j3

5.（溫州中考）如圖，在RtA48C中，C。是斜邊4〃上的中

線，已知6=2,AC=3,則sin〃的值是（）

2334

A.3B.2C.4D.3

6.(泰安中考)如圖，在八/BC中，乙1C8=9O。，。7)1成于

D,若AC=2￡,AB=3也,貝iJtanZffCD的值為()

x/2x/6V3

(A)近(B)~T(C)亍(D)T

二、填空題

7.(梧州中考)在AABC中，NC=90°,BC=6cm,

..=3

1-5,則AB的長是cm.

8.如圖，角。的頂點為0,它的一邊在X軸的正半軸上，另一

邊0A上有一點P(3,4),則sina=.

9.(慶陽中考)如圖，菱形ABCD的邊長為10cm,DE±AB,

..3

，n=則這個菱形的面積;ent

三、解答題

10.(河北中考)如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為

0,直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD〃AB,且CD=24m,

12

OEJ_CD于點E.已測得sinNDOE=13.

(1)求半徑OD；

(2)根據(jù)需要，水面要以每小時0.5m的速度下降,

則經(jīng)過多長時間才能將水排干?

IL（泰江中考）如圖，在矩形4BCD中，E是叱邊上的點,

AE=BC,DFLAE,垂足為八連接DE.

（1）求證：八4RE烏ADFA；

（2）如果40=10,小6,求sinN瓦加的值.

要點二、特殊角的三角函數(shù)值

一、選擇題

1.（欽州中考）sin30°的值為（）

唐旦

A.1"B.~C.2D.V

2.（長春中考）.菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖

所示，

ZAOC=45°,OC=6

,則點B的坐標(biāo)為()

A.（冉）B.（1，揚(yáng)C.（正+1，1）D.（1，亞+1）

3.（定西中考）某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾

斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°,否則就有危險，那么

梯子的長至少為（）

86

A.8米B.8b米C.丁米D.

473

丁米

—t乙、i皿Ilsin（a-10°）=——…十

4.（宿遷中考）已知a為銳角，且2,則a等于

（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.（畢節(jié)中考）A(cos60°，—tan30°）關(guān)于原點對稱的

點A,的坐標(biāo)是（）

（I⑸

C.「廣小D.

B.

6.（襄樊中考）計算:

cos245°+tan60°Lbos30°

等于（）

(A)I(B)&(C)2(D)G

二、填空題

7.（昌平）計算：

2cos30°+V2sin450-tan60°

（朝陽）計算：

tan600+sin2450-2cos30°

8.（2009?百色中考）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動中，測得

電線桿底部B與鋼纜固定點C的距離為4米，鋼纜與地面的夾角

為60°,則這條鋼纜在電線桿上的固定點A到地面的距離AB是

米.（結(jié)果保留根號）.

9.（江西中考）計算：（1）

sin60"?cos30c--=

2

-----------tan45°

10.（濟(jì)寧中考）計算COS30。的值是。

三、解答題

在

11.（黃石中考）計算：3一1（2n—1）°一丁tan30°-tan45°

12.（石景山）

；+及cos600+sin450-—tan30°

12

7

13.（義烏中考）計算：

氐in60-及cos45°+我

要點三、解直角三角形在實際問題中的運用

一、選擇題

1.（2012?泰安）如圖，為測量某物體AB的高度，在D點測

得A點的仰角為30°,朝物體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點C,再

次測得點A的仰角為60°,則物體AB的高度為（）

A.10遮米B.10米C.20匾米D.2073

藍(lán)一米

2.（衢州中考）為測量如圖所示上山坡道的傾斜度，小明測

得圖中所示的數(shù)據(jù)（單位：米），則該坡道傾斜角a的正切值是

（）

1]4

A.4B.4c.而D.后

3.（益陽中考）如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為。的山坡上栽樹,

要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距

禺AB為（）

5

A.5cosaB.磔^級C.5sinaD.sina

4.（2009?蘭州中考）如圖，在平地上種植樹木時，要求株

距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m.如果在坡度為0.75的山坡上

種樹，也要求株距為4m,那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）

A.5mB.6mC.

5.（濰坊中考）如圖，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路1的

距離，在A點測得N歷!〃=30。，在C點測得N8C〃=60。，又測得

AC=50米，則小島B到公路1的距離為（）米.

A.25B.25Vic.

100V3

3D.25+256

二、填空題

6.（沈陽中考）如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高AB=6m的過街

天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角NACB的正弦值為

3

―，則坡面AC的長度為m.

_____A

BC

7.（衡陽中考）某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了10米，此

時他與水平地面的垂直距離為26米，則這個坡面的坡度為

8.（南寧中考）如圖，一艘海輪位于燈塔。的東北方向，距

離燈塔40后海里的月處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位

于燈塔。的南偏東30°方向上的8處，則海輪行駛的路程移

北

，

為海里（結(jié)果保留B

根號）.

9（安徽中考）長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作

業(yè)時調(diào)整為60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了

m.

10.（中考）如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距

3

，一cosABAC=-“一I,、”

離AC=3米，4,則梯子長AB=米.

11.（湖州中考）小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以15°的

傾斜角斜靠在欄桿上，嚴(yán)重影響了同學(xué)們的行走安全。他自覺地

將拖把挪動位置，使其的傾斜角為75°,如果拖把的總長為

1.80m,則小明拓寬了行路通道m(xù).（結(jié)果保留三

個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sinl5°仁26,cosl5°^0.97）

三、解答題

12.（慶陽中考）如圖（1）,一扇窗戶打開后用窗鉤AB可將

其固定.如（2）是如圖（1）中窗子開到一定位置時的平面圖，

若NA0B=45°,Z0AB=30°,0A=60cm,求點B到0A邊的距離.

結(jié)果精確到整數(shù)）

圖⑴圖(2)

13.（郴州中考）如圖，數(shù)學(xué)活動小組來到校園內(nèi)的一盞路燈

下測量路燈的高度，測角儀AB的高度為1.5米，測得仰角a為

30°,點B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN

是多少米？（取后=1.414,囪=1.732,結(jié)果保留兩位小數(shù)）

14.（眉山中考）海船以5海里/小時的速度向正東方向行

駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時后船行

駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔

B到C處的距離。

15.（常德中考）如圖，某人在D處測得山頂C的仰角為

30°,向前走200米來到山腳A處，測得山坡AC的坡度為

i=l：0.5,求山的高度（不計測角儀的高度，出"L73,結(jié)果保留

整數(shù)）.

B

16.（廣安中考）如圖，某幼兒園為了加強(qiáng)安全管理，決定將