人教版高中數(shù)學全冊教案-07-直線和圓的方程-03

直線方程的點斜式、斜截式、兩點式和截距式

一、教學目標

（一）知識教學點

在直角坐標平面內(nèi)，已知直線上一點和直線的斜率或已知直線上兩點，會求直線的方

程；給出直線的點斜式方程，能觀察直線的斜率和直線經(jīng)過的定點；能化直線方程成截距式,

并利用直線的截距式作直線.

（二）能力訓練點

通過直線的點斜式方程向斜截式方程的過渡、兩點式方程向截距式方程的過渡，訓練

學生由一般到特殊的處理問題方法；通過直線的方程特征觀察直線的位置特征，培養(yǎng)學生的

數(shù)形結合能力.

（三）學科滲透點

通過直線方程的幾種形式培養(yǎng)學生的美學意識.

二、教材分析

1.重點：由于斜截式方程是點斜式方程的特殊情況，截距式方程是兩點式

方程的特殊情況，教學重點應放在推導直線的斜截式方程和兩點式方程上.

2.難點：在推導出直線的點斜式方程后，說明得到的就是直線的方程，即

直線上每個點的坐標都是方程的解；反過來，以這個方程的解為坐標的點在直線

上.

3.疑點.k="立不能算直線I的方程，因為直線Lt的點A

的坐標不滿足這個方程，但化為y-yi=k（x-xi）后，點P1的坐標滿足方程.

三、活動設計

分析、啟發(fā)、誘導、講練結合.

四、教學過程

（一）點斜式

已知直線1的斜率是k,并且經(jīng)過點Pl(xl,yl),直線是確定的，也就是可

求的，怎樣求直線1的方程(圖124)?

圖1-24

設點P(x,y)是直線1上不同于P1的任意一點，根據(jù)經(jīng)過兩點的斜率公式得

k-y-y1

x-j(1)

可訛為，

IrMEI(2)

注意方程(1)與方程(2)的差異：點P1的坐標不滿足方程(1)而滿足方程(2),

因此，點P1不在方程⑴表示的圖形上而在方程⑵表示的圖形上，方程⑴不能

稱作直線1的方程.

重復上面的過程，可以證明直線上每個點的坐標都是這個方程的解；對上面的過程逆

推，可以證明以這個方程的解為坐標的點都在直線1上，所以這個方程就是過點P1、

斜率為k的直線1的方程.

這個方程是由直線上一點和直線的斜率確定的，叫做直線方程的點斜式.

當直線的斜率為0°時(圖1-25),k=0,直線的方程是y=yi.

y

Q

圖1-25

當直線的斜率為90°時■（圖1-26）,直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜

式表示.但因1上每一點的橫坐標都等于xl,所以它的方程是x=xl.

圖1-26

（二）斜截式

已知直線1在y軸上的截距為b,斜率為b,求直線的方程.

這個問題，相當于給出了直線上一點（0,b）及直線的斜率k,求直線的方程，是

點斜式方程的特殊情況，代入點斜式方程可得：

y-b=k(x-0)

也就是

上面的方程叫做直線的斜截式方程.為什么叫斜截式方程？因為它是由宜線的斜率和

它在y軸上的截距確定的.

當k70時，斜截式方程就是直線的表示形式，這樣一次函數(shù)中k和b的兒

何意義就是分別表示直線的斜率和在y軸上的截距.

（三）兩點式

已知直線1上的兩點Pl（xl,yl）、P2（x2,y2）,（xlWx2）,直線的位置是確定

的，也就是直線的方程是可求的，請同學們求直線1的方程.

當yiWy2時，為了便于記憶，我們把方程改寫成

，-力_，-，t

-71!一。

請同學們給這個方程命名：這個方程是由直線上兩點確定的，叫做直線的兩點式.

對兩點式方程要注意下面兩點：（1）方程只適用于與坐標軸不平行的直線，當直

線與坐標軸平行（xl=x2或yl=y2）時，可直接寫出方程；（2）要記住兩點式方程，

只要記住左邊就行了，右邊可由左邊見y就用x代換得到，足碼的規(guī)律完全一樣.

（四）截距式

例1已知直線1在x軸和y軸上的截距分別是a和b（aWO,bWO）,求直

線1的方程.

此題由老師歸納成已知兩點求直線的方程問題，由學生自己完成.

解：因為直線1過A（a,0）和B（0,b）兩點，將這兩點的坐標代入兩點式，得

b-OO-■

就是

學生也可能用先求斜率，然后用點斜式方程求得截距式.

引導學生給方程命名：這個方程是由直線在x軸和y軸上的截距確定的，叫做直

線方程的截距式.

對截距式方程要注意下面三點：（1）如果已知直線在兩軸上的截距，可以直接代

入截距式求直線的方程；（2）將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x

軸和y軸上的截距，這一點常被用來作圖；（3）與坐標軸平行和過原點的直線不

能用截距式表示.

（五）例題

例2三角形的頂點是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(圖上27),求這個三

角形三邊所在直線的方程.

本例題要在引導學生靈活選用方程形式、簡化運算上多下功夫.

解：直線AB的方程可由兩點式得：

y-0.1-(-5)

-3-03-(-x)

即3x+8y+15=0

這就是直線AB的方程.

BC的方程本來也可以用兩點式得到，為簡化計算，我們選用下面途徑:

果

由斜截式得：

y.3+2.

即5x+3y-6=0.

這就是直線BC的方程.

山截距式方程得AC的方程是

即2x+5y+10=0.

這就是直線AC的方程.

(六)課后小結

⑴直線方程的點斜式、斜截式、兩點式和截距式的命名都是可以顧名思義的,

要會加以區(qū)別.

⑵四種形式的方程要在熟記的基礎上靈活運用.

⑶要注意四種形式方程的不適用范圍.

五、布置作業(yè)

1.(L5練習第1題)寫出下列直線的點斜式方程，并畫出圖形：

⑴經(jīng)過點A(2,5),斜率是4；

⑷經(jīng)過點B(3,-1),州率是百

經(jīng)過點C(-怎2),耐角是30*;

(4)經(jīng)過點D(0,3),傾斜角是0。；

(5)經(jīng)過點E(4,-2),傾斜角是120。.

解：

(l>-5=4(r-2)j

的+1=廊一如

所2=*+何

(4)y=3j

(切+2=5(”今.(*

2.(1.5練習第2題)已知下列直線的點斜方程，試根據(jù)方程確定各直線經(jīng)

過的已知點、直線的斜率和傾斜角：

(l?-2=*T

a>y+3=—l)

◎+2=-9+1).

解：

(1)(1>2),k=l,a=45°；

(2X4,ak=小,a=W?

(3)(1,-3),k=-l,a=135°；

(4X-1,-2),k=*,a=isr.

3.(1.5練習第3題)寫出下列直線的斜截式方程: