八年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)及答案 11 雙曲線

專題11雙曲線

閱疑與思考

形如y=V（kHO）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，這也是現(xiàn)實生活中普遍使用的模型，如通過改變電阻來

X

控制電流的變化，從而使舞臺的燈光達(dá)到變幻的效果；又如過濕地時，在地面上鋪上木板，人對地面的

壓強(qiáng)減小，從而使人不陷入泥中.

反比例函數(shù)的基本性質(zhì)有：

1.反比例函數(shù)圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，雙曲線向坐標(biāo)軸無限延伸，但不能與坐標(biāo)軸相交;

2.k的正負(fù)性，決定雙曲線大致位置及y隨x的變化情況；

3.雙曲線上的點(diǎn)是關(guān)于中心對稱的，雙曲線也是軸對稱圖形，對稱軸是直線丁=犬及丁=-x.

反比例函數(shù)與一次函數(shù)有著內(nèi)在的聯(lián)系.如在作圖時都要經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線的過程；研究它們

的性質(zhì)時，都是通過幾個具體的函數(shù)歸納出一般的規(guī)律，但它們畢竟不同.

反比例函數(shù)y中圖的幾何意義是：閨等于雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線所得的矩形的

面積，如圖：

（1）=2^1；

⑵S矩形ACCW=k|?

求兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，常通過解由這兩個函數(shù)解析式組成的方程組得到.

求符合某種條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，常根據(jù)問題的數(shù)量關(guān)系和幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于橫縱坐標(biāo)的方程

（組），解方程（組）求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).

解反比例函數(shù)有關(guān)問題時，應(yīng)充分考慮它的對稱性，這樣既能從整體上思考問題，又能提高思維的

周密性.

反比例函數(shù)是描述變量之間相互關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型之一，用反比例函數(shù)解決實際問題，既要分析

問題情景，建立模型，又要綜合方程、一次函數(shù)等知識.

例題與求努

【例1】（1）如圖，已知雙曲線y=4（x>0）經(jīng)過矩形OABC邊AB的中點(diǎn)F且交3c于點(diǎn)E,四邊

X

形OEBF的面積為2,則％=.

（蘭州市中考試題）

4

(2)如圖，△PiOA，2AA2都是等腰直角三角形，點(diǎn)修，P2在函數(shù)y=?(x>0)的圖象上，斜

X

邊OA\,A1A2都在x軸上，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是.

(南通市中考試題)

解題思路：對于(1),通過連線，把相關(guān)圖形的面積用A表示；對于(2),設(shè)OA=a，4A2=匕，

把A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)用”，。表示.

【例2】如圖，P是函數(shù)y=」-(x>0)圖象上一點(diǎn)，直線y=-犬+1交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,

2x

PM_Lx軸于交AB于E,PNJ_y軸于M交AB于F,則的值為.

(北京市競賽試題)

解題思路：設(shè)P(a,6),把AF,BE用處方的式子表示.

1k

【例3】如圖，已知直線y=-x與雙曲線y=2(x>0)交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.

2x

(1)求k的值；

k

(2)若雙曲線>=勺*>0)上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求△AOC的面積；

x

k

(3)過原點(diǎn)。的另一條直線/交y=t(x>0)于P、。兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限)，若由點(diǎn)A、B、P、

x

。為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(福州市中考試題)

解題思路：對于(2),有下列不同的解法：

對于(3),需要思考的是，四邊形AP8Q的形狀，P點(diǎn)與A點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系.

【例4】已知反比例函數(shù)>=人和一次函數(shù)y=2x-l,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(a,。)，(a+l,g%)

2x

兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如圖，已知A點(diǎn)在第一象限且同時在上述兩個函數(shù)的圖象上，求A點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)利用(2)的結(jié)果，請問：在x軸上是否存在點(diǎn)尸，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合

條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在，請說明理由.

解題思路：對于(3),應(yīng)分類討論，并注意A點(diǎn)坐標(biāo)隱含的信息.

k

【例5】一次函數(shù)y=or+6的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N,與反比例函數(shù)y=—的圖象相交

x

于點(diǎn)A、B,過點(diǎn)A分別作軸，軸，垂足分別為C,E；過點(diǎn)8分別作軸，BDLy

軸，垂足分別為凡D,AC與交于點(diǎn)K,連接CD

(1)若點(diǎn)A,8在反比例函數(shù)y='k的圖象的同一分支上，如圖1,試證明：

X

①S四邊形AEDK=S四邊形B8K；②處^=BM.

(2)若點(diǎn)4,3分別在反比例函數(shù)y=4的圖象的不同分支上，如圖2,則AN與還相等嗎？試

X

證明你的結(jié)論.

(威海市中考試題)

解題思路：對于(1),通過連線證明面積相等，進(jìn)而可證AB〃￡>C,則四邊形AM)C,OCMB為平

行四邊形：(2)方法同(1).

例5的拓展變化：

如圖，點(diǎn)M,N在反比例函數(shù)y=A的圖象上，過點(diǎn)例作ME_Lx軸，過點(diǎn)N作NF_Ly軸，垂足分

X

別為E、F,則MN〃EF.

【例6】點(diǎn),B（0,3）與點(diǎn)C構(gòu)成邊長是3,4,5的直角三角形，如果點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=A

x

的圖象上，求女可能取的一切值.

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：本題是與反比例函數(shù)相關(guān)的綜合題，運(yùn)用了代數(shù)化、勾股定理、消元降次、分類討論等

思想方法.

能力訓(xùn)練

A級

1.已知y-（m-2）x3-"是反比例函數(shù)，則m=.

2.若反比例函數(shù)y=〃3一3的圖象位于第二、四象限，則滿足條件的正整數(shù)％的值是.

x

（沈陽市中考試題）

3.已知雙曲線y='經(jīng)過點(diǎn)（一1,3）,如果A（q,偽），3（4也）兩點(diǎn)在該雙曲線上，且4VH<0,

X

那么ah2.（威海市中考試題）

—Z72—1

4.已知函數(shù)丁=----為常數(shù)）的圖象上有三點(diǎn)（3,y）,（-1,丫2），（2,%），則M，K，出的

x

大小關(guān)系是.

5.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A,2兩點(diǎn)，則圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的

x的取值范圍是.（荊門市中考試題）

6.如圖,8為雙曲線y=—（x〉0）上一點(diǎn)，直線A8平行于y軸交直線y=x于點(diǎn)A,若OB?-AB2=4,

x

則攵=（武漢市四月調(diào)考試題）

（第5題）（第6題）

k

7.如圖，直線y=與雙曲線》=一交于A、B兩點(diǎn),過點(diǎn)A作軸于M點(diǎn)，連接3M,若

x

5點(diǎn)=2,則出的值是（）

A.2B.m—2C.mD.4

（鄂州市中考試題）

（第7題）（第8題）

8.如圖，反比例函數(shù)y二-4二的圖象與直線y=1的交點(diǎn)為A、B,過A作y軸的平行線與過8作

x3

x軸的平行線相交于點(diǎn)C,則△A3。的面積為（）

A.8B.6C.4D.2

（深圳市中考試題）

k

9.函數(shù)y=Ax+Z?（Z工0）與y=—（%￥（））在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

x

.y

(山西省中考試題)

k

10.如圖，RtZXABO的頂點(diǎn)A是雙曲線y=—與直線y=-x+(4+1)在第四象限的交點(diǎn)，軸

x

3

于8,且54480=萬?

(1)求這兩個函數(shù)的解析式；

(2)求直線與雙曲線的兩個交點(diǎn)A,。的坐標(biāo)和△AOC的面積.

(黃岡市中考試題)

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線A3與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y='在

x

第一象限的圖象交于點(diǎn)C(l,6)、D(3,〃)，過C點(diǎn)作CEJ_y軸于E,過點(diǎn)。作。凡Lx軸于F.

(1)求機(jī)，n的值；

(2)求直線A3的函數(shù)解析式；

(3)求證：Z^AEC烏ADFB.

(溫州市中考試題)

12.如圖所示，已知雙曲線y=A(&>0,了>0)的圖象上有兩點(diǎn)［(%,%),8(X,,%),且分

x

別過6，鳥向x軸作垂線，垂足為B,。，過q，g向y軸作垂線，垂足分別為A,C.

（1）若記四邊形徵80和四邊形C￡OO的面積分別為S「邑，周長分別為C1,G，試比較5和S2,

q和G的大?。?/p>

（2）若尸是雙曲線y=A（Z>0,x>0）上一點(diǎn)，分別過尸向x軸、），軸作垂線，垂足分別為M,N.試

X

問當(dāng)P在何處時四邊形尸MON的周長最小，最小值為多少？

（黃岡市特長生選拔賽試題）

B級

1.已知y=y+%，且%與,成反比例，%與2%成反比例.且當(dāng)x=2時，y=l；當(dāng)工=一1時,

x

y=-5.當(dāng)x=-41時，y=.

3

2.直線y=ax（a>0）與雙曲線》=一交于A（%,y）,以馬,打）兩點(diǎn)，則4內(nèi)y-3x,y=.

x

（荊門市中考試題）

7

3.如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)），=-‘的圖象交于點(diǎn)A,C,自點(diǎn)A和點(diǎn)。作x軸的垂線,

x

垂足分別為3和。，則四邊形ABC。的面積等于.

（北京市競賽試題）

k

4.已知函數(shù)y=[r+l的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C,B,與雙曲線丫=—交于點(diǎn)A,D,若

x

AB+CD=BC,則％的值為.

（十堰市中考試題）

5.兩個反比例函數(shù)y=人和y=，在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)2在^=人的圖象上，PCLx

XXX

軸于點(diǎn)C,交y=L的圖象于點(diǎn)A,PO_Ly軸于點(diǎn)。，交y的圖象于點(diǎn)8,當(dāng)點(diǎn)尸在y=4的圖象上

XXX

運(yùn)動時，有以下結(jié)論：

①△008與△0C4的面積相等：

②四邊形物08的面積不會發(fā)生變化；

③以與PB始終相等；

④當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時，點(diǎn)B一定是的中點(diǎn).

其中一定正確的是.

（咸寧市中考試題）

6.如圖，正方形OABC,ADEF的頂點(diǎn)A,Q,C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)尸在AB上，點(diǎn)B,E在函數(shù)y=」（x>0）

x

的圖象上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（）

/石+16-1、,3+63-6、

AA.（——）Bn.（—

2222

V5-1V5+13-V53+坨

2222

（紹興市中考試題）

kk

7.如圖，兩個反比例函數(shù)y=土和y=匕>0）在第一象限內(nèi)的圖象依次是曲線q和g,設(shè)

xx

P點(diǎn)在q上，PE_Lx軸于點(diǎn)E,交C2于點(diǎn)4軸于點(diǎn)。，交c?于點(diǎn)B,則四邊形出OB的面積為

()

k

A.k[+k>B.匕一k]C.K,匕D.—-

h

（浙江省競賽試題）

8.等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角頂點(diǎn)A在直線y=x上，其中4點(diǎn)的橫

k

坐標(biāo)為1,且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y=勺（％*0）與△A8C有交點(diǎn)，則&

x

的取值范圍是（）

A.1<%<2B.14&43

C.l<Jt<4D.1<A:<4

（濟(jì)南市中考試題）

9.如圖，正方形0A3C的面積為9,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)。在y軸上，點(diǎn)8在函

kk

數(shù)y=—(A>0,x>0)的圖象上，點(diǎn)P(九九)是函數(shù)y=—(%>0,x>0)的圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別

xx

作X軸、y軸的垂線，垂足分別為E,F,并設(shè)矩形OEP/和正方形0A3C不重合部分的面積為5.

(1)求8點(diǎn)坐標(biāo)和人的值；

9

(2)當(dāng)5=—時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2

(3)寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.

(溫州市中考試題)

10.如圖，已知直線/:y=-6x+6交x軸于A,交y軸于B,P為反比例函數(shù)y=3(x>0)上一點(diǎn),

x

過戶作x軸平行線交直線/于E,過P作y軸平行線交直線/于￡求AE?斯的值.

k

11.已知一次函數(shù)y=ox+Z?與反比例函數(shù)y=—的圖象交于點(diǎn)M(2,3),N(-4,帆).

x

(1)求一次函數(shù)y=+h與反比例函數(shù)y二人的解析式；

x

(2)求△MON的面積.

（太原市競賽試題）

12.已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且

OA=OB=\.這條曲線是函數(shù)y=（的圖象在第一象限內(nèi)的一個分支，點(diǎn)P是這條曲線上任意一點(diǎn)，

它的坐標(biāo)是（。,力，由點(diǎn)P向x軸、y軸作垂線PM,PN（垂足分別為M,N）,分別與直線AB相交于點(diǎn)

E和點(diǎn)尸.

（1）設(shè)交點(diǎn)E和尸都在線段4B上（如圖），分別求E,尸的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示E點(diǎn)坐標(biāo)，用

〃的代數(shù)式表示F點(diǎn)坐標(biāo)，只需寫出答案，不要求寫出計算過程）；

（2）求△OEF的面積（結(jié)果用a,。的代數(shù)式表示）；

（3）△AOF與ABOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或者一定不相

似，請簡要說明理由；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動時，aOEF隨之變動，指出在△OEF的三個內(nèi)角中，是否有大小始終保

持不變的那個角和它的大小，并證明你的結(jié)論.

（上海市競賽試題）

專題11雙曲線

k

例1（1）連結(jié)。"則SMOr—SmOF=S&COE=S^OE=5.所以k=2

（2）作P|C_LOA于C,尸2。，。42于。，P1C=OC,P2D=A]D=A2Df

設(shè)OAi=a,A\A2=b,所以3?0=4,所以a=4.

22

又因為「2。?！?gt;=4,所以[。+^）?^=4.則匕=4痣-4,

所以O(shè)A2=OAI+AIA2=4+4V^-4=4后，貝UA2(472,0).

例21提示：作FG_Lx軸于G,EH_Ly軸于”，則4/=岳，BE=41a,

AF?BE=yf2a?42b=2ab=2x-=],

2

例3（1）Jt=8

（2）可試一試用圖2解答：C（l,8）,

^MOC=S矩形CZ）尸E-SkocD-SAQAE-ACFA==32-4-4-9=15.

（3）因為反比例函數(shù)圖像是關(guān)于原點(diǎn)。的中心對稱圖形，

所以O(shè)P=。。，OA=OB.

所以四邊形APBQ是平行四邊形，

S▽QA~zS平行四邊形=zx24=6.

Q

設(shè)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（m,—）（加＞0且/*4）,過點(diǎn)尸、A分別作x軸的垂線，垂足為樂F,

m

??,點(diǎn)P、4在雙曲線上，，SHOE=SMOF=4.

若0＜?。?（如圖a）

,SkpoE+S梯形PEFA=S8POA+S“o/

1Q

???5梯形°“4=5"〃=6即（2+一）（4—加）=6

2m

解得：m=2,加=-8（舍去）

若加＞4（如圖b）

?S^op+S梯形pRFA—5.0八+S&POE

1Q

???S梯形詆A=SAPQA=6即-（2+—）（m-4）=6

Zm

解得:m=8,m=?2（舍去）

故點(diǎn)P的坐標(biāo)是尸（2,4）或（8,1）

圖a圖b

例4（1）y=—

x

（2）解方程組《fT）一%得凡=1,/=-i一（舍去）

y=2x-l2

從而y=l,AA（1,1）

（3）符合條件的點(diǎn)P存在，有下列情況（如圖）：

①若0A為底，則乙4。尸尸45。，04=0,由0Pi=PiA,得Pi（l,0）；

②若。4為腰，4P為底，則由。尸=。4=收，得P2（-收，0）,入（血，0）；

③若04為腰，。尸為底，貝IJ由AO=AP=0,得。尸=2,P?2,0）

例5(1)S矩形AEOC=S矩形B0OF=k

,,S矩形AEOC—S矩形OOCK=S矩形B0OF-S矩形。QCK

,'S矩形AEDK=S矩形CFBK

②連"＞、AO、BC、BO.

,S,MOC-^MOC'SgCD=SMOD

?,=SABCD

CD//MN.

又,：AC//DN,BD//CM,

四邊形ANCC、B￡>CM為平行四邊形，

:.AN=DC=BM

（2）AN與8M仍然相等，證法同（1）.

例6點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離是5,則它們之間的連線是直角三角形的斜邊.

設(shè)點(diǎn)C（mb）,則

(iz-4)2+b2=9(0-4)2+/=16

22①②

"2+3—3)2=16a2+(b-3)2=9

28

”4實a=一

解①得425

b=3,21

b=—

25

OQ91CQQ

所以c的坐標(biāo)是（4,3）或（上，--）對應(yīng)的k的值是12或-生.

2525625

72

<2=0a=一

解②得4或，25

b=Q,96

b=—

25

因為原點(diǎn)不可能在反比例函數(shù)圖像上，

所以C的坐標(biāo)是（必，絲）對應(yīng)的上的值是竺上

2525625

綜上所述，々的值是12或-?或空U

625625

4級

1.-22.1、23.<4.y2>yl>y35.x<-l或0<x<26.27.A8.A9.A10.(1)設(shè)A

313

點(diǎn)坐標(biāo)為（工，y）,由5加0=彳，得5I盯1=：，伙1=3,k=±3.

???A點(diǎn)在第四象限內(nèi)，.?.七-3,兩個函數(shù)的解析式分別為y=-3,y=-x-2.

X

3

y=%=-3*-1,AA(1,-3),C(-3,I).

（2）由，"7，得

)=1*=-3

y=-x-2

=SAOD+SCOD=-x2xl+lx2x3=4(平方單

設(shè)直線AC與y軸交于點(diǎn)D,則。（0,-2）.故Loe

22

位）.

11.(1)m=6,n=2(2))=-2x+8(3)A(0,8),B(4,0)AE=DF=2,CE=BF=l,又NAEC=/￡>FB=900,故

4AEC絲4DFB.

12.(1)S,=2x-xy=xy,而點(diǎn)尸(即，yi)在y=—圖象上，，xiyi=2,即S產(chǎn)女.同理S=2x—xy)=k,