2023-2024學(xué)年江西省新余市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年江西省新余市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x+1≥0}，B={x|x2?x?6<0}，則A∩B=A.{x∈Z|x≥?1} B.{x|?1≤x≤3} C.{?1,0,1,2,3} D.{?1,0,1,2}2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1?2i)z=4+2i，則z?=(

)A.3i B.?3i C.2i D.?2i3.已知向量a=(?2,23),b=(1,3A.14a B.?14a 4.已知某正四棱錐的高為3，體積為64，則該正四棱錐的側(cè)面積為(

)A.48 B.64 C.80 D.1445.若a，b，c為空間中的不同直線，α，β，γ為不同平面，則下列為真命題的個數(shù)是(

)

①a⊥c，b⊥c，則a//b

②a⊥α，b⊥α，則a//b

③α⊥γ，β⊥γ，則α//β

④a⊥α，a⊥β，則α//βA.0 B.1 C.2 D.36.下列結(jié)論錯誤的是(

)A.在△ABC中，若a>b，則cosA<cosB

B.在銳角△ABC中，不等式b2+c2?a2>0恒成立

C.在△ABC中，若C=π4，a2?c2=bc，則△ABC為等腰直角三角形

7.已知A為銳角，tan2A=cosA2?sinA，tan(A?B)=2A.?1517 B.1517 8.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),f(?π8)=0,|f(3π8A.1 B.3 C.5 D.7二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列正確的是(

)A.在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則AB+DC=2EF

B.復(fù)數(shù)z=1+i1?i(i是虛數(shù)單位)，則10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是(

)A.φ=π3

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=512π對稱

C.函數(shù)f(x)圖象向左平移π6個單位可得函數(shù)y=2sin2x的圖象

D.若方程f(x)=m(m∈R)在[?11.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M，NA.平面AMC1⊥平面CB1D1

B.若M是A1B1中點，則異面直線AM與DD1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某校辯論賽小組共有5名成員，其中3名女生2名男生，現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取2名成員去參加外校交流活動，則抽到2名男生的概率為______．13.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C=60°，c=7，若a?b=3，D為AB中點，則CD=______．14.如圖，在三棱錐A?BCD中，AB=AC=BC=BD=CD，二面角A?BC?D的余弦值為?13，若三棱錐A?BCD的體積為13，則三棱錐A?BCD外接球的表面積為______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，BC=6，∠ACB=60°，邊AB，BC上的點M，N滿足BM=13MA，BN=2NC，P為AC中點．

(1)設(shè)NM=λCB+μCA，求實數(shù)λ，μ16.(本小題15分)

文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；

(3)已知落在[50,60)的平均成績是61，方差是7，落在[60,70)的平均成績?yōu)?0，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)z?和總方差s2．17.(本小題15分)

高郵某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設(shè)計如圖所示，該工藝品由直角三角形ABC和以BC為直徑的半圓拼接而成，點P為半圓上一點(異于B，C)，點H在線段AB上，且滿足CH⊥AB.已知∠ACB=90°，AB=10cm，設(shè)∠CAB=θ．

(1)為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足∠ABC=∠PCB，CA+CP達(dá)到最大.當(dāng)θ為何值時，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；

(2)為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足∠PBA=60°，且CH+CP達(dá)到最大.當(dāng)θ為何值時，CH+CP取得最大值，并求該最大值．18.(本小題17分)

如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=12BC=2，E是BC的中點，AE?BD=M，將△BAE沿著AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD．

(1)求證：CD⊥平面B1DM；

(2)求B1E與平面B1MD所成的角；

19.(本小題17分)

對于函數(shù)f(x)，g(x)，若存在實數(shù)m，n，使得函數(shù)?(x)=mf(x)+ng(x)，則稱?(x)為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”．

(1)已知f(x)=x?3，g(x)=3?2x，試判斷?(x)=x?6是否為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”？若是，求實數(shù)m，n的值；若不是，說明理由；

(2)已知f(x)=sin(x?π4)，g(x)=cosx，?(x)為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”，且m=1，n=2，若關(guān)于x的方程f(x+π4)?g(x)+k?(x)=0在x∈[0,π2]上有解，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)已知f(x)=x，g(x)=3x，?(x)為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”(其中m>0，n>0)，?(x)的定義域為(0,+∞)，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，?(x)取得最小值答案解析1.D

【解析】解：因為A={x∈Z|x+1≥0}={x∈Z|x≥?1}，B={x|x2?x?6<0}={x|?2<x<3}，

所以A∩B={?1,0,1,2}．

故選：2.D

【解析】解：z=4+2i1?2i=4+2i1+2i1?2i1+2i=2i，3.A

【解析】解：由已知條件可得，|a|=(?2)2+(23)2=4,a?4.C

【解析】解：設(shè)該正四棱錐的底面邊長為a，則V=13a2??=13a2×3=64，解得a=8．

設(shè)該正四棱錐的斜高為?′，則?′=5.C

【解析】解：a，b，c為空間中的不同直線，α，β，γ為不同平面，

對于①，a⊥c，b⊥c，則a與b相交、平行或異面，故①錯誤；

對于②，a⊥α，b⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)得a/?/b，故②正確；

對于③，α⊥γ，β⊥γ，則α與β平行或相交，故③錯誤；

對于④，a⊥α，a⊥β，則由面面平行的判定定理得α/?/β，故④正確．

故選：C．

6.D

【解析】解：A中，因為a>b，所以π>A>B>0，

由余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得cosA<cosB，所以A正確；

B中，在銳角三角形中，因為A∈(0,π2)，所以cosA=b2+c2?a22bc>0，

所以b2+c2>a2恒成立，所以B正確；

C中，因為C=π4，a2?c2=bc，①

由余弦定理可得a2+b2?c2=2abcosπ4，②，

②?①可得b2=2ab?bc，可得b=2a?c，③

將③代入①可得a2?c2=(2a?c)c，

可得a=2c，在代入7.A

【解析】解：因為tan2A=cosA2?sinA，所以sin2Acos2A=cosA2?sinA，

所以2sinAcosA1?2sin2A=cosA2?sinA，

又A為銳角，cosA>0，

所以2sinA(2?sinA)=1?2sin2A，

解得sinA=14，

因為A8.B

【解析】解：由f(?π8)=0，得?π8ω+φ=k1π(k1∈Z)，

由|f(3π8)|=1，得3π8ω+φ=k2π+π2(k2∈Z)，

兩式作差，得ω=2(k2?k1)+1(k1,k2∈Z)，

因為f(x)在區(qū)間(?π12,π24)上單調(diào)，所以π24+π12≤12?2πω，得ω≤8．

當(dāng)ω=7時，?7π8+φ=k1π(k1∈Z)，因為|?|<π2，所以φ=?π8，

所以f(x)=sin(7x?π8)．

x∈(?9.ABD

【解析】解：對于A，∵在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，

∴AE=ED，BF=FC，

∵AB=AE+EF+FB，DC=DE+EF+FC，

∴AB+DC=AE+EF+FB+DE+EF+FC=(AE+DE)+(FB+FC)+2EF=2EF，故A10.ACD

【解析】解：對于A，根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象，

得A=2，T4=π2ω=π3?π12=π4，則ω=2，

根據(jù)五點法作圖，得2×π3+φ=π，

所以φ=π3，故f(x)=2sin(2x+π3)，故A正確；

對于B，f(5π12)=2sin7π6=?1，不是最值，

則函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x=512π對稱，故B錯誤；

對于C，把函數(shù)f(x)圖象向右平移π6個單位，

得到函數(shù)y=2sin[2(x?11.ACD

【解析】解：對于A，由正方體ABCD?A1B1C1D1，得A1C1⊥B1D1，

因為AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，

所以AA1⊥B1D1，

由AA1∩A1C1=A1，AA1，A1C1?平面AA1C1，

所以B1D1⊥平面AA1C1，

又AC1?平面AA1C1，

所以B1D1⊥AC1，同理得AC1⊥CD1，

又CD1∩B1D1=D1，CD1，B1D1?平面CB1D1，

所以AC1⊥平面CB1D1，12.110【解析】解：設(shè)3名女生為A，B，C，2名男生為a，b，

則有(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)，共10種抽法，

其中抽到2名男生的抽法有(a,b)，

所以抽到2名男生的概率為110．

故答案為：11013.129【解析】解：因為△ABC中，C=60°，c=7，a?b=3，

由余弦定理得，c2=a2+b2?2abcos60°=(a?b)2+ab，

即49=9+ab，

所以ab=40，

D為AB中點，則CD=12(CA14.4π

【解析】解：取BC的中點E，連接AE，DE，過點A作AH⊥DE，垂足為H，

所以∠AED為二面角A?BC?D的平面角，

設(shè)AB=2a，則AE=DE=3a，cos∠AED=?13，

所以sin∠AEH=sin∠AED=223，

所以AH=263a，

因為三棱錐A?BCD的體積為13，

所以13×34×(2a)2×263a=13，解得a=22，

設(shè)△BCD外接圓的圓心為15.解：(1)因為BM=13MA，BN=2NC，所以BN=23BC，BM=14BA，

所以NM=BM?BN=14BA?23BC=14(BC+CA)?23BC=512【解析】(1)根據(jù)平面的線性運算法則及平面向量基本定理的計算求出結(jié)果；

(2)用CB，CA表示BP和NM，然后代入BP?NM=?8，列方程求出16.解：(1)∵每組小矩形的面積之和為1，

∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

∴a=0.030；

(2)成績落在[40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65<0.75，

成績落在[40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9>0.75，

所以第75百分位數(shù)落在[80,90)內(nèi)，

設(shè)第75百分位數(shù)為m，則0.65+(m?80)×0.025=0.75，

解得m=84，

即第75百分位數(shù)為84；

(3)由圖可知，成績在[50,60)的市民人數(shù)為100×0.1=10，

成績在[60,70)的市民人數(shù)為100×0.2=20，

故z?=10×61+20×7010+20=67，

設(shè)成績在[50,60)中10人的分?jǐn)?shù)分別為x1，x2，x3，?，x10；成績在[60,70)中20人的分?jǐn)?shù)分別為y1，y2，y3，?，y20，

則x12+x22+x32+?+17.解：(1)∵三角形ABC為直角三角形，∠CAB=θ，∴∠ABC=∠PCB=π2?θ，

在直角△ABC中，∵AB=10，∴AC=10cosθ，BC=10sinθ，

∵點P為半圓上一點，∴∠CPB=π2，又∵∠ABC=∠PCB，

∴∠PBC=θ，∴PC=BC?sinθ=10sin2θ，CA+CP=10cosθ+10sin2θ=10cosθ+10(1?cos2θ)=?10(cosθ?12)2+252，

∵θ∈(0,π2)，∴當(dāng)cosθ=12，即θ=π3時，CA+CP達(dá)最大值，

(2)在直角△ABC中，∵S△ABC=12CA?CB=12AB?CH，

【解析】(1)利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出CA+CP的解析式，從而可得CA+CP取得最大值時θ的值；

(2)由等積法求出CH的值，再計算CH+CP的最大值以及對應(yīng)的θ值．

18.(1)證明：∵AD/?/BC，E是BC的中點，∴AB=AD=BE=12BC=2，

故四邊形ABED是菱形，從而AE⊥BD，

∴△BAE沿著AE翻折成△B1AE后，AE⊥B1M，AE⊥DM，

又∵B1M∩DM=M，

∴AE⊥平面B1MD，

由題意，易知AD/?/CE，AD=CE，

∴四邊形AECD是平行四邊形，故AE//CD，

∴CD⊥平面B1DM；

(2)解：∵AE⊥平面B1MD，

∴B1E與平面B1MD所成的角為∠EB1M，

由已知條件，可知AB=AE=CD，AB=AD=BE=12BC=2，

∴△B1AE是正三角形，∴∠EB1M=30°，

∴B1E與平面B1MD所成的角為30°；

(3)假設(shè)線段B1C上是存在點P，使得MP/?/平面B1AD，

過點P作PQ/?/CD交B1D于Q，連結(jié)MP，AQ，如下