新人教版高二暑期數(shù)學銜接第11講直線的方程講義(學生版+解析)

第11講直線的方程【學習目標】1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式，兩點式及一般式)2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標【基礎知識】一、直線的點斜式方程1.直線的點斜式方程點斜式已知條件點P0(x0,y0)和斜率k

圖示?方程形式

y-y0=k(x-x0)

適用條件斜率存在

2.點斜式方程的應用(1)經(jīng)過點P0(x0,y0),且斜率不存在的直線不能用點斜式方程表示,其方程為x=x0.(2)經(jīng)過點P0(x0,y0),且斜率為0的直線能用點斜式方程表示,其方程為y=y0.(3)過定點P0(x0,y0)的直線系方程:我們可設直線的方程為y-y0=k(x-x0),由于過點P0(x0,y0)且與x

軸垂直的直線不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直線系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中沒有直線x=x0.二、直線的斜截式方程1.把直線l與y軸的交點(0,b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距

(1)直線l在y軸上的截距,就是直線l與y軸交點的縱坐標

.(2)直線l在y軸上的截距存在,等價于直線l的斜率存在.2.直線的斜截式方程斜截式已知條件斜率k和直線在y軸上的截距

b圖示?方程形式

y=kx+b

適用條件斜率存在

3.斜截式方程的應用(1)斜率為k的直線系方程:若直線的斜率存在,則可設直線的方程為y=kx+b,當b取不同值時,

這個方程表示斜率為k的直線系方程.(2)對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1.4.截距不是距離,截距是一個點的橫(縱)坐標,是一個實數(shù),可以是正數(shù),也可以是負數(shù)和

零,而距離是一個非負數(shù).三、直線的兩點式方程1.直線的兩點式方程名稱已知條件圖形方程適用條件兩點式直線上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)?直線不垂直于x軸

和y軸2.對直線的兩點式方程的理解(1)直線的兩點式方程不能表示與坐標軸垂直的直線.(2)直線的兩點式方程也可以寫成(y-y2)(x1-x2)=(x-x2)(y1-y2)的形式,則可表示任意的直線,但不再稱其為直線的兩點式方程.3.寫直線的兩點式方程的步驟(1)已知直線上的兩點,首先判斷直線是否垂直于坐標軸.(2)若直線垂直于坐標軸,則直接寫出方程.(3)若直線不垂直于坐標軸,則可根據(jù)兩點式求出直線的方程.4.運用直線的兩點式方程時的注意事項(1)當已知兩點坐標,求過這兩點的直線方程時,首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條

件:兩點的連線不垂直于坐標軸,若滿足,則考慮用兩點式求方程.(2)由于減法是有序的,所以用兩點式求直線方程時常因字母或數(shù)字的順序錯位而導致錯誤.四、直線的截距式方程1.直線的截距式方程名稱已知條件圖形方程適用條件截距式在x,y軸上的截距

分別為a,b,且a≠0,

b≠0?直線不垂直于x軸

和y軸,且不過原點2.對直線的截距式方程的理解(1)若直線與x軸相交于點(a,0),則稱a為直線在x軸上的截距,也稱橫截距;若直線與y軸相交

于點(0,b),則稱b為直線在y軸上的截距,也稱縱截距.(3)在方程中,要求a、b存在,且a≠0,b≠0,即兩個截距存在且都不為0,因此它不能表示過坐標原點和垂直于x軸、y軸的直線.3.運用直線的截距式方程時的注意事項題目中出現(xiàn)直線在兩坐標軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上截距的m倍(m>0)”等條件時,若采用截距式求直線的方程,一定要注意考慮“零截距”的情況.五、直線的一般式方程1.概念在平面直角坐標系中,任意一條直線都可以用一個關于x,y的二元一次方程表示出來,每一

個關于x,y的二元一次方程都表示一條直線,我們把關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0

(其中A,B不同時為0)叫做直線的一般式方程

,簡稱一般式.2.在Ax+By+C=0中,若B=0,A≠0,則x=,它表示一條與y軸平行或重合的直線;若A=0,B≠0,則y=,它表示一條與x軸平行或重合的直線.3.直線方程的五種形式的比較名稱方程形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直線上一定點,

k是斜率不垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率,b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸的直線兩點式(x1≠x2,y1≠y2)(x1,y1),(x2,y2)是直線上兩定點不垂直于x軸和y軸的直線截距式?(a≠0,b≠0)a是直線在x軸上的非零截距,b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸,且不過原點的直線一般式Ax+By+C=0(A,B不同時為0)A,B,C為系數(shù)任何位置的直線【考點剖析】考點一：直線的點斜式方程例1．(2023-2021學年廣西高二上學期學業(yè)水平考試)已知直線l的斜率為2，且經(jīng)過點，那么直線l的方程為(

)A． B．C． D．考點二：直線的斜截式方程例2．已知，，則下列直線的方程不可能是的是(

)A． B．C． D．考點三：直線的兩點式方程例3．(2023-2022學安徽省合肥市六校聯(lián)考高二上學期期末)已知直線過點，，則直線的方程為(

)A． B． C． D．考點四：直線的截距式方程例4．(2023學年廣東省佛山市第一中學高二上學期段考)已知直線過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則滿足條件的直線有(

)條A．1 B．2 C．3 D．4考點五：直線的一般式方程例5．(2023學年山東省青島第十九中學高二上學期10月月考)過點且與直線平行的直線方程為(

)A． B．C． D．考點六：直線的平行問題例6．(2023學年廣東省名校聯(lián)盟高二下學期大聯(lián)考)若直線與直線平行，則m=(

)A．4 B． C．1 D．考點七：直線的垂直問題例7．(2023學年廣東省茂名市五校聯(lián)盟高二上學期期末聯(lián)考)若直線與直線垂直，則a=(

)A．-2 B．0 C．0或-2 D．1考點8：直線的方程與其他知識的交匯例8．過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.【真題演練】1.(2023學年河北省臨城中學高二下學期開學考試)已知直線l的傾斜角為120°，則下列直線中，與直線l垂直的是(

)A． B．C． D．2.(2023學年湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體高二上學期11月期中)過點且方向向量為的直線的方程為(

)A． B．C． D．3.(2023學年浙江省杭州學軍中學高二上學期期末)直線的傾斜角的取值范圍是(

)A． B．C． D．4.(2023學年上海市復興高級中學高二上學期期末)已知直線過點，且與坐標軸分別相交于點A?B，若的面積為24，其中O為坐標原點，則這樣的直線有(

)A．1條 B．2條 C．3條 D．4條5.(2023學年云南省昆明市第三中學高二上學期期中)已知直線l∶x+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值可以是(

)A．0 B．1 C．-1 D．-2.6.(2023學年浙江省紹興市上虞區(qū)高二上學期期末)下列說法正確的是(

)A．直線的傾斜角范圍是B．若直線與直線互相垂直，則C．過兩點，的直線方程為D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為7.(2023學年湖北省部分重點學校聯(lián)考高三上學期12月月考)已知某直線滿足以下兩個條件，寫出該直線的一個方程：________．(用一般式方程表示)①傾斜角為；②不經(jīng)過坐標原點．8.(2023-2021學年重慶市青木關中學高二上學期第二次月考)如圖，在平行四邊形中，邊所在直線方程為，點.(1)求直線的方程；(2)求邊上的高所在直線的方程.【過關檢測】1.(2023學年吉林省白山市高二上學期期末)與直線平行，且經(jīng)過點(2，3)的直線的方程為(

)A． B． C． D．2.(2023學年河北省張家口市宣化第一中學高二上學期期末)如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知直線，直線，且，則的值為()A． B． C．-2或-1 D．4.已知的三個頂點，則的高CD所在的直線方程是(

)A． B．C． D．5.(多選)下列說法正確的是(

)A．＝k不能表示過點M(x1，y1)且斜率為k的直線方程B．在x軸，y軸上的截距分別為a，b的直線方程為C．直線y＝kx+b與y軸的交點到原點的距離為bD．過兩點A(x1，y1)B(x2，y2)的直線方程為6.(多選)直線的方程分別為，，它們在坐標系中的位置如圖所示，則下列結論中正確的是(

)A． B．C． D．7.(2023學年浙江省杭州第二中學濱江校區(qū)高二上學期期中)過點且與直線垂直的直線的方程是___________.8.經(jīng)過點)且在x軸上的截距為3的直線方程是______．9.(2023學年河北省滄州市高二上學期期末)已知直線過點．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標軸的截距相等，求直線的方程．10．(2023學年湖北省荊州市石首市高二上學期期中)(1)求過點且在兩坐標軸上截距相等的直線l的方程；(2)設直線l的方程為，若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求面積取最小值時，直線l的方程．第11講直線的方程【學習目標】1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式，兩點式及一般式)2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標【基礎知識】一、直線的點斜式方程1.直線的點斜式方程點斜式已知條件點P0(x0,y0)和斜率k

圖示?方程形式

y-y0=k(x-x0)

適用條件斜率存在

2.點斜式方程的應用(1)經(jīng)過點P0(x0,y0),且斜率不存在的直線不能用點斜式方程表示,其方程為x=x0.(2)經(jīng)過點P0(x0,y0),且斜率為0的直線能用點斜式方程表示,其方程為y=y0.(3)過定點P0(x0,y0)的直線系方程:我們可設直線的方程為y-y0=k(x-x0),由于過點P0(x0,y0)且與x

軸垂直的直線不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直線系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中沒有直線x=x0.二、直線的斜截式方程1.把直線l與y軸的交點(0,b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距

(1)直線l在y軸上的截距,就是直線l與y軸交點的縱坐標

.(2)直線l在y軸上的截距存在,等價于直線l的斜率存在.2.直線的斜截式方程斜截式已知條件斜率k和直線在y軸上的截距

b圖示?方程形式

y=kx+b

適用條件斜率存在

3.斜截式方程的應用(1)斜率為k的直線系方程:若直線的斜率存在,則可設直線的方程為y=kx+b,當b取不同值時,

這個方程表示斜率為k的直線系方程.(2)對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1.4.截距不是距離,截距是一個點的橫(縱)坐標,是一個實數(shù),可以是正數(shù),也可以是負數(shù)和

零,而距離是一個非負數(shù).三、直線的兩點式方程1.直線的兩點式方程名稱已知條件圖形方程適用條件兩點式直線上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)?直線不垂直于x軸

和y軸2.對直線的兩點式方程的理解(1)直線的兩點式方程不能表示與坐標軸垂直的直線.(2)直線的兩點式方程也可以寫成(y-y2)(x1-x2)=(x-x2)(y1-y2)的形式,則可表示任意的直線,但不再稱其為直線的兩點式方程.3.寫直線的兩點式方程的步驟(1)已知直線上的兩點,首先判斷直線是否垂直于坐標軸.(2)若直線垂直于坐標軸,則直接寫出方程.(3)若直線不垂直于坐標軸,則可根據(jù)兩點式求出直線的方程.4.運用直線的兩點式方程時的注意事項(1)當已知兩點坐標,求過這兩點的直線方程時,首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條

件:兩點的連線不垂直于坐標軸,若滿足,則考慮用兩點式求方程.(2)由于減法是有序的,所以用兩點式求直線方程時常因字母或數(shù)字的順序錯位而導致錯誤.四、直線的截距式方程1.直線的截距式方程名稱已知條件圖形方程適用條件截距式在x,y軸上的截距

分別為a,b,且a≠0,

b≠0?直線不垂直于x軸

和y軸,且不過原點2.對直線的截距式方程的理解(1)若直線與x軸相交于點(a,0),則稱a為直線在x軸上的截距,也稱橫截距;若直線與y軸相交

于點(0,b),則稱b為直線在y軸上的截距,也稱縱截距.(3)在方程中,要求a、b存在,且a≠0,b≠0,即兩個截距存在且都不為0,因此它不能表示過坐標原點和垂直于x軸、y軸的直線.3.運用直線的截距式方程時的注意事項題目中出現(xiàn)直線在兩坐標軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上截距的m倍(m>0)”等條件時,若采用截距式求直線的方程,一定要注意考慮“零截距”的情況.五、直線的一般式方程1.概念在平面直角坐標系中,任意一條直線都可以用一個關于x,y的二元一次方程表示出來,每一

個關于x,y的二元一次方程都表示一條直線,我們把關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0

(其中A,B不同時為0)叫做直線的一般式方程

,簡稱一般式.2.在Ax+By+C=0中,若B=0,A≠0,則x=,它表示一條與y軸平行或重合的直線;若A=0,B≠0,則y=,它表示一條與x軸平行或重合的直線.3.直線方程的五種形式的比較名稱方程形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直線上一定點,

k是斜率不垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率,b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸的直線兩點式(x1≠x2,y1≠y2)(x1,y1),(x2,y2)是直線上兩定點不垂直于x軸和y軸的直線截距式?(a≠0,b≠0)a是直線在x軸上的非零截距,b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸,且不過原點的直線一般式Ax+By+C=0(A,B不同時為0)A,B,C為系數(shù)任何位置的直線【考點剖析】考點一：直線的點斜式方程例1．(2023-2021學年廣西高二上學期學業(yè)水平考試)已知直線l的斜率為2，且經(jīng)過點，那么直線l的方程為(

)A． B．C． D．答案:D解析：依題意，直線l的斜率為2，且經(jīng)過點，所以直線的方程為.故選D考點二：直線的斜截式方程例2．已知，，則下列直線的方程不可能是的是(

)A． B．C． D．答案:B解析：，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當時，軸上的截距為2，故D正確，當時，,故B不正確，當時，或，由圖象知AC正確.故選B考點三：直線的兩點式方程例3．(2023-2022學安徽省合肥市六校聯(lián)考高二上學期期末)已知直線過點，，則直線的方程為(

)A． B． C． D．答案:C解析：由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即．故選C．考點四：直線的截距式方程例4．(2023學年廣東省佛山市第一中學高二上學期段考)已知直線過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則滿足條件的直線有(

)條A．1 B．2 C．3 D．4答案:C解析：設直線l過原點，則l的方程為，將點(2,1)坐標代入，得，即l的方程為；若直線l不過原點，設其為，將點(2,1)坐標代入，得……①，由于，分別代入①，解得，即直線l的方程為，；共有3條；故選C.考點五：直線的一般式方程例5．(2023學年山東省青島第十九中學高二上學期10月月考)過點且與直線平行的直線方程為(

)A． B．C． D．答案:D解析：由題可得，設平行于直線的直線的方程為，因為直線過點，所以，解得，所以直線的方程為.故選D.考點六：直線的平行問題例6．(2023學年廣東省名校聯(lián)盟高二下學期大聯(lián)考)若直線與直線平行，則m=(

)A．4 B． C．1 D．答案:A解析：因為直線與直線平行，所以，解得．故選A考點七：直線的垂直問題例7．(2023學年廣東省茂名市五校聯(lián)盟高二上學期期末聯(lián)考)若直線與直線垂直，則a=(

)A．-2 B．0 C．0或-2 D．1答案:C解析：因為兩直線垂直，所以，解得：或.故選C考點8：直線的方程與其他知識的交匯例8．過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.解析：(1)因為過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A、B，且是等腰直角三角形，所以直線l的傾斜角為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即；(2)設，，直線l的方程為，代入點可得，若選①：，當且僅當時等號成立，此時直線l的斜率，所以直線l的方程為，即；若選②：由，可得，當且僅當時等號成立，所以，即面積最小為4，此時直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.【真題演練】1.(2023學年河北省臨城中學高二下學期開學考試)已知直線l的傾斜角為120°，則下列直線中，與直線l垂直的是(

)A． B．C． D．答案:A解析：直線l的傾斜角為120°，則其斜率為tan120°＝，則與l垂直的直線斜率為.A、B、C、D選項中的直線斜率分別為，，，，故選A.2.(2023學年湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體高二上學期11月期中)過點且方向向量為的直線的方程為(

)A． B．C． D．答案:C解析：由方向向量得直線的斜率為－，所以得直線方程為，即．故選C.3.(2023學年浙江省杭州學軍中學高二上學期期末)直線的傾斜角的取值范圍是(

)A． B．C． D．答案:A解析：∵直線的斜率,，設直線的傾斜角為，則，解得.故選A.4.(2023學年上海市復興高級中學高二上學期期末)已知直線過點，且與坐標軸分別相交于點A?B，若的面積為24，其中O為坐標原點，則這樣的直線有(

)A．1條 B．2條 C．3條 D．4條答案:C解析：由題知直線的斜率存在，且不過原點，所以設直線方程為，，所以直線與軸交點坐標為，直線與軸交點坐標為所以面積為，即，所以或,解方程，即，解得，解方程，即，解得所以這樣的直線有3條.故選C5.(2023學年云南省昆明市第三中學高二上學期期中)已知直線l∶x+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值可以是(

)A．0 B．1 C．-1 D．-2.答案:ABCD解析：令y＝0，得到直線在x軸上的截距是，令x＝0，得到直線在y軸上的截距為2＋a，∴不論a為何值，直線l在x軸和y軸上的截距總相等，故選ABCD.6.(2023學年浙江省紹興市上虞區(qū)高二上學期期末)下列說法正確的是(

)A．直線的傾斜角范圍是B．若直線與直線互相垂直，則C．過兩點，的直線方程為D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為答案:AC解析：對A：直線，其斜率，設直線傾斜角為，故可得，則，故A正確；對B：直線與直線互相垂直，則，解得或，故錯誤；對：過兩點，的直線方程為，故C正確；對D：經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為和，故D錯誤；故選AC.7.(2023學年湖北省部分重點學校聯(lián)考高三上學期12月月考)已知某直線滿足以下兩個條件，寫出該直線的一個方程：________．(用一般式方程表示)①傾斜角為；②不經(jīng)過坐標原點．答案:(答案不唯一).解析：由題意得，斜率，又直線不經(jīng)過坐標原點，即一般式方程中的常數(shù)項非零，所以，直線的一個一般式方程為.故答案為：(答案不唯一).8.(2023-2021學年重慶市青木關中學高二上學期第二次月考)如圖，在平行四邊形中，邊所在直線方程為，點.(1)求直線的方程；(2)求邊上的高所在直線的方程.解析：(1)∵四邊形為平行四邊形，∴.∴.∴直線的方程為，即.(2)∵，∴.∴直線的方程為，即.【過關檢測】1.(2023學年吉林省白山市高二上學期期末)與直線平行，且經(jīng)過點(2，3)的直線的方程為(

)A． B． C． D．答案:C解析：與直線平行，且經(jīng)過點(2，3)的直線的方程為，整理得．故選C2.(2023學年河北省張家口市宣化第一中學高二上學期期末)如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案:A解析：由題設，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選A.3.已知直線，直線，且，則的值為()A． B． C．-2或-1 D．答案:C解析：因為，所以且，解得：或，且，綜上：的值為或.故選C4.已知的三個頂點，則的高CD所在的直線方程是(

)A． B．C． D．答案:D解析：由題意知：，則，故CD所在的直線方程為，即.故選D.5.(多選)下列說法正確的是(

)A．＝k不能表示過點M(x1，y1)且斜率為k的直線方程B．在x軸，y軸上的截距分別為a，b的直線方程為C．直線y＝