查補易混易錯點03含參類分式方程的解的幾種情況(原卷版+解析)

查補易混易錯03含參類分式方程的解幾種情況分式方程因為含有分式，方程的解需要有意義，即分母≠0，所以分式方程需要驗根。也正因為這個特性，所以分式方程的解的問題經常出現參數字母，再根據解的情況求解參數字母的值或者范圍。而此類分式方程的解的情況主要包括：有增根、無解、解為正數/負數等，不同的問題采用的應對方法也不相同。中考五星高頻考點，在全國各地中考試卷中出現幾率較大，出現則難度中等偏上。易錯01：含參類分式方程有增根時求解步驟：①讓最簡公分母為0確定增根；②去分母，將分式方程轉化為整式方程；③將增根帶入（當有多個增根時，注意分類，不要漏解）；④解含參數字母的方程的解。 易錯02：含參類分式方程無解時求解步驟：①解出的x的值是增根，須舍去，無解②解出的x的表達式中含參數，而表達式無意義，無解③同時滿足①和②，無解特別注意：1.解分式方程的第一步是“去分母”，不是“通分”2.解分式方程必須驗根，在應用題里也一樣【中考真題練】1．(2023?牡丹江）若關于x的方程＝3無解，則m的值為（）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或32．(2023?通遼）若關于x的分式方程：2﹣＝的解為正數，則k的取值范圍為（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠03．(2023?德陽）如果關于x的方程＝1的解是正數，那么m的取值范圍是（）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣24．(2023?重慶）關于x的分式方程+＝1的解為正數，且關于y的不等式組的解集為y≥5，則所有滿足條件的整數a的值之和是（）A．13 B．15 C．18 D．205．(2023?黃石）已知關于x的方程+＝的解為負數，則a的取值范圍是．6．(2023?齊齊哈爾）若關于x的分式方程+＝的解大于1，則m的取值范圍是．7．(2023?瀘州）若方程+1＝的解使關于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，則實數a的取值范圍是．【中考模擬練】1．（2023?金牛區(qū)模擬）若關于x的分式方程有增根，則a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（2023?齊齊哈爾一模）若關于x的方程的解為非負數，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m＞1且 C．m＞1 D．m≥1且m≠53．（2023?東勝區(qū)模擬）若關于x的分式方程無解，則a的值為（）A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或14．（2023?新泰市一模）若關于x的方程的解是正數，則m的取值范圍為（）A．m＞﹣7 B．m＞﹣7且m≠﹣3 C．m＜﹣7 D．m＞﹣7且m≠﹣25．（2023?京口區(qū)校級一模）關于x的分式方程有正數解，則符合條件的負整數m的和是．6．（2023?瀘縣校級二模）若整數a使關于x的分式方程的解為整數，且使關于x的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數a的值之和為．7．（2023?富裕縣模擬）若關于x的分式方程無解，則m＝．8．（2023?西城區(qū)校級模擬）若關于x的分式方程有增根，則m的值是．查補易混易錯03含參類分式方程的解幾種情況分式方程因為含有分式，方程的解需要有意義，即分母≠0，所以分式方程需要驗根。也正因為這個特性，所以分式方程的解的問題經常出現參數字母，再根據解的情況求解參數字母的值或者范圍。而此類分式方程的解的情況主要包括：有增根、無解、解為正數/負數等，不同的問題采用的應對方法也不相同。中考五星高頻考點，在全國各地中考試卷中出現幾率較大，出現則難度中等偏上。易錯01：含參類分式方程有增根時求解步驟：①讓最簡公分母為0確定增根；②去分母，將分式方程轉化為整式方程；③將增根帶入（當有多個增根時，注意分類，不要漏解）；④解含參數字母的方程的解。 易錯02：含參類分式方程無解時求解步驟：①解出的x的值是增根，須舍去，無解②解出的x的表達式中含參數，而表達式無意義，無解③同時滿足①和②，無解特別注意：1.解分式方程的第一步是“去分母”，不是“通分”2.解分式方程必須驗根，在應用題里也一樣【中考真題練】1．(2023?牡丹江）若關于x的方程＝3無解，則m的值為（）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3分析：先去分母，再根據條件求m．【解答】解：兩邊同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，∴（m﹣3）x＝﹣2．當m﹣3＝0時，即m＝3時，原方程無解，符合題意．當m﹣3≠0時，x＝，∵方程無解，∴x﹣1＝0，∴x＝1，∴m﹣3＝﹣2，∴m＝1，綜上：當m＝1或3時，原方程無解．故選：B．2．(2023?通遼）若關于x的分式方程：2﹣＝的解為正數，則k的取值范圍為（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0分析：先解分式方程可得x＝2﹣k，再由題意可得2﹣k＞0且2﹣k≠2，從而求出k的取值范圍．【解答】解：2﹣＝，2（x﹣2）﹣（1﹣2k）＝﹣1，2x﹣4﹣1+2k＝﹣1，2x＝4﹣2k，x＝2﹣k，∵方程的解為正數，∴2﹣k＞0，∴k＜2，∵x≠2，∴2﹣k≠2，∴k≠0，∴k＜2且k≠0，故選：B．3．(2023?德陽）如果關于x的方程＝1的解是正數，那么m的取值范圍是（）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2分析：先去分母將分式方程化成整式方程，再求出方程的解x＝﹣1﹣m，利用x＞0和x≠1得出不等式組，解不等式組即可求出m的范圍．【解答】解：兩邊同時乘（x﹣1）得，2x+m＝x﹣1，解得：x＝﹣1﹣m，又∵方程的解是正數，且x≠1，∴，即，解得：，∴m的取值范圍為：m＜﹣1且m≠﹣2．故答案為：D．4．(2023?重慶）關于x的分式方程+＝1的解為正數，且關于y的不等式組的解集為y≥5，則所有滿足條件的整數a的值之和是（）A．13 B．15 C．18 D．20分析：解分式方程得得出x＝a﹣2，結合題意及分式方程的意義求出a＞2且a≠5，解不等式組得出，結合題意得出a＜7，進而得出2＜a＜7且a≠5，繼而得出所有滿足條件的整數a的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2，∵x＞0且x≠3，∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，∴a＞2且a≠5，解不等式組得：，∵不等式組的解集為y≥5，∴＜5，∴a＜7，∴2＜a＜7且a≠5，∴所有滿足條件的整數a的值之和為3+4+6＝13，故選：A．5．(2023?黃石）已知關于x的方程+＝的解為負數，則a的取值范圍是a＜1且a≠0．分析：先求整式方程的解，然后再解不等式組即可，需要注意分式方程的分母不為0．【解答】解：去分母得：x+1+x＝x+a，解得：x＝a﹣1，∵分式方程的解為負數，∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，∴a＜1且a≠0，∴a的取值范圍是a＜1且a≠0，故答案為：a＜1且a≠0．6．(2023?齊齊哈爾）若關于x的分式方程+＝的解大于1，則m的取值范圍是m＞0且m≠1．分析：先解分式方程，再應用分式方程的解進行計算即可得出答案．【解答】解：，給分式方程兩邊同時乘以最簡公分母（x+2）（x﹣2），得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，去括號，得x+2+2x﹣4＝x+2m，解方程，得x＝m+1，檢驗：當m+1≠2，m+1≠﹣2，即m≠1且m≠﹣3時，x＝m+1是原分式方程的解，根據題意可得，m+1＞1，∴m＞0且m≠1．故答案為：m＞0且m≠1．7．(2023?瀘州）若方程+1＝的解使關于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，則實數a的取值范圍是a＜﹣1．分析：先解分式方程，再將x代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x＝1，∵x﹣2≠0，2﹣x≠0，∴x＝1是分式方程的解，將x＝1代入不等式（2﹣a）x﹣3＞0，得：2﹣a﹣3＞0，解得：a＜﹣1，∴實數a的取值范圍是a＜﹣1，故答案為：a＜﹣1．【中考模擬練】1．（2023?金牛區(qū)模擬）若關于x的分式方程有增根，則a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1分析：根據增根的定義，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．【解答】解：關于x的分式方程，去分母可化為x﹣1＝a﹣2（x+1），又因為關于x的分式方程，即有增根x＝﹣1，所以x＝﹣1是方程x﹣1＝a﹣2（x+1）的根，所以a＝﹣2，故選：A．2．（2023?齊齊哈爾一模）若關于x的方程的解為非負數，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m＞1且 C．m＞1 D．m≥1且m≠5分析：根據解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根據解為非負數即可求解．【解答】解：，分式變形得，，分式加減得，，合并同類項得，，去分母得，（m﹣2）x+1＝3﹣x且x≠3，移項得，（m﹣1）x＝2，∴，且m﹣1≠0，即m≠1，∵解為非負數，∴，∴m﹣1＞0，∴m＞1，∵x≠3，∴，解得：，∴m＞1且，故選：B．3．（2023?東勝區(qū)模擬）若關于x的分式方程無解，則a的值為（）A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或1分析：先解方程得2ax＝3a+1，再由方程無解可得2a＝0或＝2，分別求出a的值即可．【解答】解：，方程兩邊同時乘以x﹣2，得1﹣a＝2ax﹣4a，移項、合并同類項，得2ax＝3a+1，∵方程無解，∴2a＝0或＝2，解得a＝0或a＝1．故選：D．4．（2023?新泰市一模）若關于x的方程的解是正數，則m的取值范圍為（）A．m＞﹣7B．m＞﹣7且m≠﹣3C．m＜﹣7D．m＞﹣7且m≠﹣2分析：先解分式方程，得x＝．再根據分式方程的解的定義解決此題．【解答】解：，去分母，得2x+m﹣x+1＝3（x﹣2）．去括號，得2x+m﹣x+1＝3x﹣6．移項，得2x﹣x﹣3x＝﹣6﹣1﹣m．合并同類項，得﹣2x＝﹣7﹣m．x的系數化為1，得x＝．∵關于x的方程的解是正數，∴x＝＞0且x＝≠2．∴m＞﹣7且m≠﹣3．故選：B．5．（2023?京口區(qū)校級一模）關于x的分式方程有正數解，則符合條件的負整數m的和是﹣7．分析：解出關于x的分式方程的解為，解為正數解，進而確定m的取值范圍，注意增根時m的值除外，再根據m為負整數，確定m的所有可能的整數值，求和即可．【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，，∵關于x的分式方程有正數解，∴，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，當x＝1時，，即m＝﹣3，∴m≠﹣3，∴m＞﹣5且m≠﹣3，∴符合條件的負整數m有﹣4，﹣2，﹣1，其和為﹣4﹣2﹣1＝﹣7，故答案為：﹣7．6．（2023?瀘縣校級二模）若整數a使關于x的分式方程的解為整數，且使關于x的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數a的值之和為2．分析：利用一元一次不等式組的解集，得到關于a的取值范圍，利用解分式方程的方法求得分式方程的解，并依據已知條件確定a的取值，將所有滿足條件的整數a的值相加即可得出結論．【解答】解：關于x的一元一次不等式組的解集為a﹣5＜x≤﹣，∵關于x的一元一次不等式組有解，∴a﹣5＜﹣，∴a＜4．關于x的分式方程的解為為x＝，∵原分式方程有可能產生增根3，∴≠3，∴a≠1．∵整數a使關于x的分式方程的解為整數，a＜4，∴a＝﹣1或3，∴所有滿足條件的整數a的值之和為﹣1+3＝2．故答案為：2．7．（2023?富裕縣模擬）若關于x的分式方程無解，則m＝﹣1或3或．分析：分式方程無解分兩種情況分析：（1）原方程存在增根；（2）原方程去掉分母后，整式方程無解．【解答】解：，方程兩邊都乘（x+3）（x﹣3）得：（x+3）+m（x﹣3）＝3+m，化簡得得：（m+1）x＝4m，當m＝﹣1時，方程無解；當x＝±3時