試驗數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗、數(shù)據(jù)的轉換及卡方檢驗

試驗數(shù)據(jù)的正態(tài)檢驗、數(shù)據(jù)的轉換和卡方檢驗

目錄

一、符合正態(tài)分布的例子..............................................................1

二、不符合正態(tài)分布的例子...........................................................6

三、不符合正態(tài)分布數(shù)據(jù)的轉換及轉換后數(shù)據(jù)的方差分析...............................11

四、次數(shù)分布資料的卡方檢驗........................................................14

在對試驗數(shù)據(jù)進行方差分析前，應對數(shù)據(jù)的三性（即同質性、獨立性和正態(tài)性）進行檢驗。本

文介紹對資料的正態(tài)性進行檢驗的方法，主要介紹3種檢驗方法：（1）頻數(shù)檢驗一一作頻率分布圖、

看偏度系數(shù)和峰度系數(shù)，（2）作Q-Q圖檢驗，（3）非參數(shù)檢驗——單個樣本K-S檢驗。

下面以兩個試驗數(shù)據(jù)為例，例1為84頭育肥豬的體重數(shù)據(jù)，通常符合正態(tài)分布。例2為生長育

肥豬7個試驗處理組的腹瀉率（百分數(shù)資料）統(tǒng)計結果，這類資料往往不符合正態(tài)，而大多數(shù)人以

為是符合正態(tài)分布，進行方差分析的，因而不能得出正確的結論，卻可能得出錯誤結論。

一、符合正態(tài)分布的例子

【例1】84頭生長育肥豬的“體重”數(shù)據(jù)如表1-1,檢驗該數(shù)據(jù)是否呈正態(tài)分布。

表84頭育肥豬的“體重"數(shù)據(jù)（排序后）

No.體重No.體重No.體重No.體重No.體重No.體重No.體重No.體重No.體重

155.31171.62178.33181.24184.65188.66192.07199.481107.4

258.21272.12278.73282.24284.75288.86292.072100.782109.0

360.21372.82378.83382.44384.75389.26392.273102.483112.8

464.81473.62479.13482.84485.05489.96493.074103.084113.2

565.81575.92579.33582.84585.35590.46594.275105.4

666.71676.12679.73682.84685.75690.96695.376105.4

767.91777.02780.23783.54786.45791.06797.077105.4

868.41877.12880.63883.74886.85891.16897.878106.0

970.11977.22981.13984.34987.35991.26998.479106.2

1070.82078.13081.14084.45087.46091.47098.580107.3

檢驗方法一：頻數(shù)檢驗一一作頻率分布圖、看偏度系數(shù)和峰度系數(shù)

步驟1：數(shù)據(jù)錄入SPSS中，如圖1-1。

NO體重變量變量］

1155.30

2258.20

3360.20

446480

5565.80

6666.70

7767.90

8868.40

997010

10107080

111171.60

121272.10

圖1-1體重數(shù)據(jù)錄入SPSS中

步驟2:在SPSS里執(zhí)行“分析一＞描述統(tǒng)計一＞頻率”，然后彈出“頻率”對話框（圖l-2a）,變

量選擇“體重”；再點右邊的“統(tǒng)計量”按鈕，彈出圖“頻率：統(tǒng)計量”對話框（圖l-2b）,選

擇“偏度”和“豐度”（圖l-2b）；再點右邊的“圖表”按鈕，彈出圖“頻率：圖表”對話框（圖

l-2c）,選擇“直方圖”，并選中“在直方圖顯示正態(tài)曲線”

圖l-2a“頻率”對話框

集中趨勢

均值圖）

□中位數(shù)

□眾數(shù)（2）

口合計

值為組的中點也）

「分布?

囹偏度

囹蟾度

［繼續(xù)］取消j幫助

圖l-2b“頻率:統(tǒng)計量”對話框圖l-2c"頻率:圖表”對話框

設置完后點“確定”后，就會出來一系列結果,包括2個表格和一個圖，我們先來看看“統(tǒng)計

量”表，如下：

統(tǒng)計量

體重

N有效84

缺失0

偏度.040

偏度的標準誤.263

峰度-.202

峰度的標準誤.520

偏度系數(shù)=0.040,峰度系數(shù)-0.202；兩個系數(shù)都小于1,可認為近似于正態(tài)分布。再看直方圖（圖

1-3）,如下:

體重

圖1-384頭育肥豬體重的頻數(shù)分布直方圖

圖1-3中橫坐標為“增重”，縱坐標為增重出現(xiàn)的“頻數(shù)”。根據(jù)直方圖及繪出的曲線，可以

認為該數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布。

檢驗方法二：Q-Q圖檢驗

步驟1：數(shù)據(jù)錄入SPSS中，如圖1-1。

步驟2：在SPSS里執(zhí)行“描述統(tǒng)計一＞Q-Q圖”，彈出“Q-Q圖”對話框，變量選擇“體重”，檢

驗分布選擇“正態(tài)”（見圖1-4）,其他選擇默認，然后“確定”。

Q-Q圖

,變量在）：檢臉分布CD

夕NO夕體重

df-

分布參數(shù)

囹從數(shù)據(jù)中估計（巨）

位留.I0

刻度：；1

-轉換

比例估計公式

□自然對數(shù)轉換（N）

@BlomCRankit?Tukey

口標準值g）

OVanderWaerden

0差分但）

為結指定的秩

IH季節(jié)性差分@）：1

@均值（M）c高但）o低也）

當前周期：無

。強制打開結（K）

［確定［粘貼（g）重置回［取消幫助，

圖1-4“Q-Q圖”對話框

最后可以得到Q-Q圖檢驗結果，結果很多，我們只需要看最后一個圖，見圖1-5o所有數(shù)據(jù)

幾乎在一條直線上，表明近似正態(tài)分布。

體重的正態(tài)Q-Q圖

120-

期

望110-

100-

正90-

態(tài)80-

值70-

60-

圖1-584頭生長育肥豬的正態(tài)Q-Q圖

檢驗方法三：非參數(shù)檢驗——單個樣本K-S檢驗

步驟1：數(shù)據(jù)錄入SPSS中，如圖1-1。

步驟2:在SPSS里執(zhí)行“分析一＞非參數(shù)檢驗一＞舊對話框一〉單個樣本K-S檢驗”，彈出對話框,

檢驗變量選擇“期初平均分”，檢驗分布選擇“常規(guī)”（即正態(tài)分布），然后點“確定”（圖1-6）0

圖1一6單樣本K-S檢驗對話框

從以下結果可以看出，K-S檢驗中,Z值為0.563,漸近顯著性（雙側）（即P值）=0.909＞0.05,

因此數(shù)據(jù)呈近似正態(tài)分布。

單樣本Kolmogorov-Smirnov檢驗

體重

N84

正態(tài)參數(shù)”均值85.9654

標準差12.67824

最極端差別絕對值,061

正,061

負-.056

Kolmogorov-SmirnovZ.563

漸近顯著性（雙側）.909

a.檢驗分布為正態(tài)分布。

b.根據(jù)數(shù)據(jù)計算得到。

二、不符合正態(tài)分布的例子

【例2】7個處理組，每個處理4個重復，每重復3頭生長育肥豬全期（98天）的腹瀉次數(shù)統(tǒng)計結

果見表1-2?！案篂a率”統(tǒng)計結果，檢驗其是否符合正態(tài)分布？（腹瀉指數(shù)為每天有1頭豬發(fā)生腹

瀉，記為1頭次）。

表2-1生長育肥豬全期98天腹瀉次數(shù)統(tǒng)計及腹瀉率計算表

總指數(shù)（總頭數(shù)）全期腹瀉率“

分組重復（頭數(shù)）飼養(yǎng)天數(shù)腹瀉指數(shù)（腹瀉頭次）

（=3*98）（二腹瀉頭次/總頭次）

139832941.02

1398112943.74

139822940.68

139852941.70

2

2398102943.40

239862942.04

239862942.04

3398122944.08

339872942.38

33985529418.71

3398122944.08

4398232947.82

439812940.34

439822940.68

4398112943.74

53987429425.17

53984529415.31

53988329428.23

539842941.36

639872942.38

6398142944.76

639862942.04

6398222947.48

73987329424.83

739832941.02

739842941.36

73983629412.24

檢驗方法一：頻數(shù)檢驗一一作頻率分布圖、看偏度系數(shù)和峰度系數(shù)

步驟1：數(shù)據(jù)錄入SPSS中，如圖2-1。

分組重復飼養(yǎng)天數(shù)腹瀉指數(shù)總指數(shù)腹瀉率自然對數(shù)轉

后的腹瀉率

1139832941.02.02

21398112943.741.32

313982294.68-.39

4139852941.70.53

52

62398102943.401.22

7239862942.04.71

8239862942.04.71

93398122944.081.41

10339872942.3887

1133985529418.712.93

圖2-1腹瀉率數(shù)據(jù)錄入SPSS中

步驟2:在SPSS里執(zhí)行“分析一＞描述統(tǒng)計一＞頻率”，然后彈出“頻率”對話框（圖2-2a）,變

量選擇“腹瀉率”；再點右邊的“統(tǒng)計量”按鈕，彈出圖“頻率：統(tǒng)計量”對話框（圖2-2b）,

選擇“偏度”和“豐度”（圖2?2b）；再點右邊的“圖表”按鈕，彈出圖”頻率：圖表”對話框（圖

2-2c）,選擇“直方圖”，并選中“在直方圖顯示正態(tài)曲線”

回頻率（F）a

變量（丫）：統(tǒng)計量@）.j

夕分組6腹瀉率

,圖表?|

夕重復

,飼養(yǎng)天數(shù)?格式（￡）—j

夕腹'瀉指數(shù)Bootstrap(B)...)

夕總指數(shù)

囹顯示頻率表格Q）

［確定］拈貼（E）J重置（E）［取消幫助

圖2-2a“頻率”對話框

B頻率:統(tǒng)計量

百分位值集中趨勢一

四分位數(shù)（2）均值（M）

害9點相等組中位數(shù)

百分位數(shù)宅）：二眾數(shù)（9）

|添加（&匚合計

【更逅

；剜除（艮）

值為組的中點?）

高敬分布

標準差Q）「最小值9偏度

U方差￡最大值，峰度

范圍均值的標準誤（￡）

［繼續(xù)I取消幫助I

圖2-2b“頻率:統(tǒng)計量”對話框圖2-2c"頻率:圖表”對話框

設置完后點“確定”，就后會出來一系列結果，包括2個表格和一個圖，我們先來看看“統(tǒng)計

量”表，如下：

統(tǒng)計量

腹瀉率

N有效27

缺失1

偏度1.623

偏度的標準誤.448

峰度1.433

峰度的標準誤.872

偏度系數(shù)=1.623,峰度系數(shù)1.433；兩個系數(shù)都大于1,可認為不服從正態(tài)分布。再看直方圖（圖

2-3）,如下：

圖2-3腹瀉率的頻數(shù)分布直方圖

圖2-3中橫坐標為“腹瀉率”，縱坐標為增重出現(xiàn)的“頻數(shù)”。根據(jù)直方圖可以看出，分布顯

然是偏態(tài)的，與正態(tài)分布曲線相差甚遠。

檢驗方法二：Q-Q圖檢驗

步驟1：數(shù)據(jù)錄入SPSS中，如圖2-1。

步驟2:在SPSS里執(zhí)行“描述統(tǒng)計一＞Q-Q圖”，彈出“Q-Q圖”對話框，變量選擇“腹瀉率”，

檢驗分布選擇“正態(tài)”（見圖2-4）,其他選擇默認，然后“確定”。

Q-Q圖

一檢蛤分布(I)一

8分組正哀▼

“重復

df

6飼養(yǎng)天數(shù)

岑腹瀉指數(shù)分布參數(shù)

6總指數(shù)

SI從數(shù)據(jù)中估計(￡)

位置0

刻度|7

比例估計公式

?BlomORankitOTukey

?VanderWaerden

「為結指定的秩一

@均值(M)?*(H)?低&)

o強制打開結(K)

［確F］fcfe(p)］重麗,|飛歪：癡助

圖2-4“Q-Q圖”對話框

最后可以得到Q-Q圖檢驗結果，結果很多，我們只需要看最后一個圖，見圖2-5。腹瀉率數(shù)

據(jù)不在一條直線上，表明不符合正態(tài)分布。

腹巧率的出態(tài)Q?Q圖

期

望

正

態(tài)

俏

'1%06102030

觀測值

圖2-5腹瀉率的正態(tài)Q-Q圖

檢驗方法三：非參數(shù)檢驗一一單個樣本K-S檢驗

步驟1：數(shù)據(jù)錄入SPSS中，如圖2?1。

步驟2:在SPSS里執(zhí)行“分析一＞非參數(shù)檢驗一＞舊對話框一〉單個樣本K-S檢驗”，彈出對話框,

檢驗變量選擇“腹瀉率”，檢驗分布選擇“常規(guī)”（即正態(tài)分布），然后點“確定”（圖2-6）。

圖2-6單樣本K-S檢驗對話框

檢驗結果為從結果可以看出，K-S檢驗中,Z值=1.544,漸近顯著性（雙側）（即P值）=0.016＜0.05,

因此數(shù)據(jù)分布不符合正態(tài)分布。

單樣本Kolmogorov-Smirnov檢驗

腹瀉率

N27

正態(tài)參數(shù)""均值6.7641

標準差8.30213

最極端差別絕對值.299

正.299

負-.220

Kolmogorov-SmirnovZ1.554

漸近顯著性（雙側）.016

a.檢驗分布為正態(tài)分布。

b,根據(jù)數(shù)據(jù)計算得到。

后記：對于以上腹瀉率百分數(shù)資料的正態(tài)性檢驗，結果表明不符合正

態(tài)分布，因此不能用方差分析進行檢驗?？蛇M行數(shù)據(jù)轉換（對數(shù)轉換等），

然后再對轉換后的數(shù)據(jù)進行正態(tài)性檢驗，或采用其他檢驗方法（如卡方檢

驗）。

數(shù)據(jù)的轉換和卡方檢驗方法介紹如下:

三、不符合正態(tài)分布數(shù)據(jù)的轉換及轉換后數(shù)據(jù)的方差分析

3.1“自然對數(shù)轉換”后的Q-Q圖

對于以上【例2】的腹瀉率數(shù)據(jù)進行自然對數(shù)轉換，可在Q-Q圖檢驗時，選擇“自然對

數(shù)轉換”，步驟如下：

在SPSS里執(zhí)行“描述統(tǒng)計一＞Q-Q圖”，彈出“Q-Q圖”對話框，變量選擇“腹瀉率”，檢

驗分布選擇“正態(tài)”，在轉換中選擇“自然對數(shù)轉換”（見圖3-1）,其他選擇默認，然后“確定”。

Q-Q圖

變量（Y）：檢險分布CD—

夕分組夕腹瀉率正態(tài)

夕重復

df:

,飼養(yǎng)天數(shù)

,腹瀉指數(shù)分布參數(shù)

,總指數(shù)

畫從數(shù)據(jù)中估計（目

夕VAR00015

位匿叵二

刻度匚

-轉換

比例估計公式

M自然對數(shù)轉換型）

⑥Blom?Rankit?Tukey

0標準值?

◎VanderWaerden

0差分但）：

-為結指定的秩一

目季節(jié)性差分（§）：

◎均值（M）◎寓電）o低&）

當前周期：無。強制打開結（9

［確定］|粘貼也）||重力坦）j［取藪j|幫助j

圖3-1腹瀉率自然對換轉換后的“Q-Q圖”對話框

輸出結果見圖3-2?？梢娝袛?shù)據(jù)幾乎在一條直線上，可認為近似正態(tài)分布。

腹瀉率的正態(tài)Q-Q圖

A

2-L

期

望

正

態(tài)

值0-

o12

觀測值

轉換：自然對數(shù)

圖3-2腹瀉率自然對換轉換后的“Q-Q圖”

3.2對自然對數(shù)轉換后的數(shù)據(jù)作頻率分布圖、看偏度系數(shù)和峰度系數(shù)

將以上【例2】的腹瀉率數(shù)據(jù)時行自然對數(shù)轉換，結果如下表。

腹瀉指數(shù)總指數(shù)自然對數(shù)轉換后的

分組重復（頭數(shù)）飼養(yǎng)天數(shù)全期腹瀉率

（腹瀉頭次）（總頭數(shù)）腹瀉率

139832941.020.02

1398112943.741.32

139822940.68-0.39

139852941.700.53

2

2398102943.401.22

239862942.040.71

239862942.040.71

3398122944.081.41

339872942.380.87

33985529418.712.93

3398122944.081.41

4398232947.822.06

439812940.34-1.08

439822940.68-0.39

4398112943.741.32

53987429425.173.23

53984529415.312.73

53988329428.233.34

539842941.360.31

639872940.024-3.738

6398142940.048-3.045

639862940.020-3.892

6398222940.075-2.593

7398732940.248-1.393

739832940.010-4.585

739842940.014-4.297

7398362940.122-2.100

自然對數(shù)轉換后腹瀉率的頻率分布圖（直方圖）、偏度系數(shù)和峰度系數(shù)如下：

圖3-3自然對數(shù)轉換后的腹瀉率的直方圖（近似正態(tài)分布）

統(tǒng)計量

自然對數(shù)轉后的腹瀉率

N有效27

缺失57

偏度.212

偏度的標準誤.448

峰度-.656

峰度的標準誤.872

自然對數(shù)轉換后的腹瀉率的偏度系數(shù)=0.213,峰度系數(shù)=-。656,均小于1。表明符合正態(tài)分

布。

3.3數(shù)據(jù)轉換前后的方差分析結果的比較

腹瀉率數(shù)據(jù)轉換前與轉換后的各組平均數(shù)如下：

描述性統(tǒng)計量

分組均值標準偏差N

腹瀉率11.78501.370584

22.4933,785203

37.31257.640484

43.14503.471504

517.517512.100364

64.16502.519604