實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析及數(shù)據(jù)處理

第二章實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析和數(shù)據(jù)處理

第一節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析

由于實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不完善,周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力,測量程序等限制，實(shí)

驗(yàn)觀測值和真值之間，總是存在一定的差異。人們常用絕對誤差、相對誤差或者有效數(shù)字來說明

一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度。為了評定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性或者誤差,認(rèn)清誤差的來源及其影響,需

要對實(shí)驗(yàn)的誤差進(jìn)行分析和討論。由此可以判定哪些因素是影響實(shí)驗(yàn)精確度的主要方面，從而

在以后實(shí)

驗(yàn)中,進(jìn)一步改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案,縮小實(shí)驗(yàn)觀測值和真值之間的差值,提高實(shí)驗(yàn)的精確性。

一、誤差的基本概念

測量是人類認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過測量和實(shí)驗(yàn)?zāi)苁谷藗儗κ挛铽@得定量的

概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性?？茖W(xué)上不少新的發(fā)現(xiàn)和突破都是以實(shí)驗(yàn)測量為基礎(chǔ)的。測量就是用

實(shí)驗(yàn)的方法,將被測物理量與所選用作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較,從而確定它的大小。

1.真值與平均值

真值是待測物理量客觀存在的確定值，也稱理論值或者定義值。通常真值是無法測得的。若

在實(shí)驗(yàn)中，測量的次數(shù)無限多時(shí)，根據(jù)誤差的分布定律,正負(fù)誤差的浮現(xiàn)幾率相等。再經(jīng)過細(xì)致

地消除系統(tǒng)誤差,將測量值加以平均,可以獲得非常接近于真值的數(shù)值。但是實(shí)際上實(shí)驗(yàn)測量

的次數(shù)

總是有限的。用有限測量值求得的平均值只能是近似真值,常用的平均值有下列幾種：

<1>算術(shù)平均值算術(shù)平均值是最常見的一種平均值。

設(shè)X、X、……、X為各次測量值,n代表測量次數(shù)，則算術(shù)平均值為

12n

Tn

4X

X+X+…+Xi-

X=12n=-ud—<2-1>

nn

<2>幾何平均值幾何平均值是將一組n個(gè)測量值連乘并開n次方求得的平均值。即

X=Q；X?X???X<2-2>

幾V12n

(3均方根平均值

X2+X2+...+X2

X2-------------------<2-3>

均nn

<4〉對數(shù)平均值在化學(xué)反應(yīng)、熱量和質(zhì)量傳遞中，其分布曲線多具有對數(shù)的特性,在這種

情況下表征平均值常用對數(shù)平均值。

設(shè)兩個(gè)量X、X,其對數(shù)平均值

12

cx-Xx

又=12x-2<2-4>

對Inx-Inx,x

12In1

x

2

應(yīng)指出，變量的對數(shù)平均值總小于算術(shù)平均值。當(dāng)X/XW2時(shí)-,可以用算術(shù)平均值代替對數(shù)

12

平均值。

當(dāng)X/X=2,X=1.443,大二1.50,〈X-大〉/X=4.2%,即X/XW2,引起的誤差不超

一12對對對12

過4.2%。

以上介紹各平均值的目的是要從一組測定值中找出最接近真值的那個(gè)值。在化工實(shí)驗(yàn)和科

學(xué)研究中，數(shù)據(jù)的分布較多屬于正態(tài)分布,所以通常采用算術(shù)平均值。

2.誤差的分類

根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因,普通分為三類：

(1系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在測量和實(shí)驗(yàn)中未發(fā)覺或者未確認(rèn)的因素所引起的誤差，而這

些因素影響結(jié)果永遠(yuǎn)朝一個(gè)方向偏移,其大小及符號在同一組實(shí)驗(yàn)測定中徹底相同，當(dāng)實(shí)驗(yàn)條

件一

經(jīng)確定,系統(tǒng)誤差就獲得一個(gè)客觀上的恒定值。

當(dāng)改變實(shí)驗(yàn)條件時(shí),就能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。

系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：測量儀器不良,如刻度不許，儀表零點(diǎn)未校正或者標(biāo)準(zhǔn)表本身存在偏

差等；周圍環(huán)境的改變，如溫度、壓力、濕度等偏離校準(zhǔn)值；實(shí)驗(yàn)人員的習(xí)慣和偏向,如讀數(shù)

偏高或者偏低等引起的誤差。針對儀器的缺點(diǎn)、外界條件變化影響的大小、個(gè)人的偏向，待分

別加以校

正后,系統(tǒng)誤差是可以清除的。

(2偶然誤差在已消除系統(tǒng)誤差的一切量值的觀測中,所測數(shù)據(jù)仍在末一位或者末兩位數(shù)

字上有差另U,而且它們的絕對值和符號的變化,時(shí)而大時(shí)而小，時(shí)正時(shí)負(fù),沒有確定的規(guī)律,這種

誤差稱為偶然誤差或者隨機(jī)誤差。偶然誤差產(chǎn)生的原因不明，于是無法控制和補(bǔ)償。但是，倘

若對某一量值作足夠多次的等精度測量后,就會(huì)發(fā)現(xiàn)偶然誤差徹底服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律,誤差的大小

或者正負(fù)的出現(xiàn)徹底由概率決定。因此,隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于

零,所以多次測量

結(jié)果的算數(shù)平均值將更接近于真值。

(3過失誤差過失誤差是一種顯然與事實(shí)不符的誤差,它往往是由于實(shí)驗(yàn)人員粗心大意、

過度疲勞和操作不正確等原因引起的。此類誤差無規(guī)則可尋，只要加強(qiáng)責(zé)任感、多方警惕、細(xì)心

操作，過失誤差是可以避免的。

3、精密度、準(zhǔn)確度和精確度

反映測量結(jié)果與真實(shí)值接近程度的量，稱為精度(亦稱精確度。它與誤差大小相對應(yīng)，測量

的精度越高,其測量誤差就越小。精度應(yīng)包括精密度和準(zhǔn)確度兩層含義。

(1精密度：測量中所測得數(shù)值重現(xiàn)性的程度,稱為精密度。它反映偶然誤差的影響程度，精

密度高就表示偶然誤差小。

(2準(zhǔn)確度測量值與真值的偏移程度,稱為準(zhǔn)確度。它反映系統(tǒng)誤差的影響精度，準(zhǔn)確度高

就表示系統(tǒng)誤差小。

(3精確度(精度它反映測量中所有系統(tǒng)誤差和偶然誤差綜合的影響程度。

在一組測量中,精密度高的準(zhǔn)確度不一定高,準(zhǔn)確度高的精密度也不一定高,但精確度高,則

精密度和準(zhǔn)確度都高。

為了說明精密度與準(zhǔn)確度的區(qū)別,可用下述打靶子例子來說明。如圖2T所示。

圖2T〈a＞中表示精密度和準(zhǔn)確度都很好,則精確度高；圖2-l〈b＞表示精密度很好,但準(zhǔn)確

度卻不高；圖2-Kc〉表示精密度與準(zhǔn)確度都不好。在實(shí)際測量中沒有像靶心那樣明確的真值，而

是設(shè)法去測定這個(gè)未知的真值。

14/11

學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中,往往滿足于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的重現(xiàn)性,而忽略了數(shù)據(jù)測量值的準(zhǔn)確程度。絕對

真值是不可知的,人們只能訂出一些國際標(biāo)準(zhǔn)作為測量儀表準(zhǔn)確性的參考標(biāo)準(zhǔn)。隨著人類認(rèn)識(shí)運(yùn)

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動(dòng)的推移和發(fā)展,可以逐步逼近絕對真值。

(a(b(c

圖2-1精密度和準(zhǔn)確度的關(guān)系

4、誤差的表示方法

利用任何量具或者儀器進(jìn)行測量時(shí)，總存在誤差,測量結(jié)果總不可能準(zhǔn)確地等于被測量的真

值，而只是它的近似值。測量的質(zhì)量高低以測量精確度作指標(biāo)，根據(jù)測量誤差的大小來估計(jì)測量

的精

確度。測量結(jié)果的誤差愈小,則認(rèn)為測量就愈精確。

(1絕對誤差測量值X和真值A(chǔ)之差為絕對誤差，通常稱為誤差。記為：

0

D=X-A<2-5>

0

由于真值A(chǔ)普通無法求得，于是上式惟獨(dú)理論意義。常用高一級標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值作為實(shí)際

值A(chǔ)以代替真值入。由于高一級標(biāo)準(zhǔn)儀器存在較小的誤差，于是A不等于A,但總比X更接近于

A。X與A之差麻為儀器的示值絕對誤差。記為

0

d=X-A<2-6>

與d相反的數(shù)稱為修正值,記為

C=-d=A-X<2-7>

通過檢定，可以由高一級標(biāo)準(zhǔn)儀器給出被檢儀器的修正值Co利用修正值便可以求出該儀

器的實(shí)際值A(chǔ)。即

A=X+C<2-8>

(2相對誤差衡量某一測量值的準(zhǔn)確程度，普通用相對誤差來表示。示值絕對誤差d與被

測量的實(shí)際值A(chǔ)的百分比值稱為實(shí)際相對誤差。記為

8=dx100%<2-9>

AA

以儀器的示值X代替實(shí)際值A(chǔ)的相對誤差稱為示值相對誤差。記為

5=dx100%〈2T0〉

xx

普通來說，除了某些理論分析外,用示值相對誤差較為適宜。

(3引用誤差為了計(jì)算和劃分儀表精確度等級,提出引用誤差概念。其定義為儀表示值的

絕對誤差與量程范圍之比。

8=示值絕對誤差x100%=dxioo%<2T1>

A量程范圍X

d一示值絕對誤差；

X-標(biāo)尺上限值-標(biāo)尺下限值。

(4算入闞娛性算術(shù)平均誤差是各個(gè)測量點(diǎn)的誤差的平均值。

§=ii=1,2,n<2-12>

平n

n—測量次數(shù)；

d—為第i次測量的誤差。

(5底準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差亦稱為均方根誤差。其定義為

15/11

o<2-13>

\n

上式使用于無限測量的場合。實(shí)際測量工作中,測量次數(shù)是有限的,則改用下式

H<2-14>

\n-1

標(biāo)準(zhǔn)誤差不是一個(gè)具體的誤差,。的大小只說明在一定條件下等精度測量集合所屬的每一個(gè)

觀測值對其算術(shù)平均值的分散程度,如果O的值愈小則說明每一次測量值對其算術(shù)平均值分散度

就小,測量的精度就高,反之精度就低。

在化工原理實(shí)驗(yàn)中最常用的U形管壓差計(jì)、轉(zhuǎn)子流量計(jì)、秒表、量筒、電壓等儀表原則上

均取其最小刻度值為最大誤差,而取其最小刻度值的一半作為絕對誤差計(jì)算值。

5、測量儀表精確度

測量儀表的精確等級是用最大引用誤差（又稱允許誤差來標(biāo)明的。它等于儀表示值中的最

大絕對誤差與儀表的量程范圍之比的百分?jǐn)?shù)。

最大示值絕對誤差<2-15>

5x100%=X100%

nmax量程范圍

式中：5——儀表的最大測量引用誤"差；

max

d——儀表示值的最大絕對誤差；

max

X——標(biāo)尺上限值一標(biāo)尺下限值。

通常福況下是用標(biāo)準(zhǔn)儀表校驗(yàn)較低級的儀表。所以,最大示值絕對誤差就是被校表與標(biāo)準(zhǔn)表

之間的最大絕對誤差。

測量儀表的精度等級是國家統(tǒng)一規(guī)定的，把允許誤差中的百分號去掉,剩下的數(shù)字就稱為儀

表的精度等級。儀表的精度等級常以圓圈內(nèi)的數(shù)字標(biāo)明在儀表的面板上。例如某臺(tái)壓力計(jì)的允

許誤差為L5%,這臺(tái)壓力計(jì)電工儀表的精度等級就是1.5,通常簡稱1.5級儀表。

儀表的精度等級為a,它表明儀表在正常工作條件下,其最大引用誤差的絕對值8不能超過

max

的界限,即

8=dmaxXWO%<3%<2~16>

nmaxX

由式<2T6>可全口,在應(yīng)用儀表進(jìn)行測量時(shí)所能產(chǎn)生的最大絕對誤差（簡稱誤差限為

d<a%.X<2-17>

maxn

而用儀表測量的最大值相對誤差為

dX<2-18>

“max-X水a(chǎn)%.X。

由上式可以善出，用只是儀表測量某一被測量所能產(chǎn)生的最大示值相對誤差,不會(huì)超過儀表

允許誤差a%乘以儀表測量上限可與測量值X的比。在實(shí)際測量中為可靠起見，可用下式對儀表

的測量誤差進(jìn)行估計(jì)?,即

6=a%Xn〈2T9〉

mX

［例2-1］用量限為5A,精度為0.5級的電流表,分別測量兩個(gè)電流,I=5A,I=2.5A,試求測

I2

量I和I的相對誤差為多少？

12

16/11

由此可見,當(dāng)儀表的精度等級選定時(shí),所選儀表的測量上限越接近被測量的值,則測量的誤差

的絕對值越小。

［例2-2］欲測量約90V的電壓,實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有0.5級0-300V和1.0級0-100V的電壓表。問選

用哪一種電壓表進(jìn)行測量為好？

用0.5級0-300V的電壓表測量90V的相對誤差為

用1.0級0-100V的電壓表測量90V的相對誤差為

上例說明,如果選擇得當(dāng)，用量程范圍適當(dāng)?shù)腖0級儀表進(jìn)行測量，能得到比用量程范圍大的

0.5級儀表更準(zhǔn)確的結(jié)果。因此,在選用儀表時(shí)，應(yīng)根據(jù)被測量值的大小，在滿足被測量數(shù)值范圍

的前提下，盡可能選擇量程小的儀表，并使測量值大于所選儀表滿刻度的三分之二，即X>

2X/3o這樣就可以達(dá)到滿足測量誤差要求，又可以選擇精度等級較低的測量儀表,從而降低儀表

n

的成本。

二、有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則

在科學(xué)與工程中，該用幾位有效數(shù)字來表示測量或者計(jì)算結(jié)果，總是以一定位數(shù)的數(shù)字來

表示。不是說一個(gè)數(shù)值中小數(shù)點(diǎn)后面位數(shù)越多越準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)中從測量儀表上所讀數(shù)值的位數(shù)

是有限的，而取決于測量儀表的精度，其最后一位數(shù)字往往是儀表精度所決定的估計(jì)數(shù)字。即

普通應(yīng)

讀到測量儀表最小刻度的十分之一位。數(shù)值準(zhǔn)確度大小由有效數(shù)字位數(shù)來決定。

1、有效數(shù)字

一個(gè)數(shù)據(jù)，其中除了起定位作用的外，其他數(shù)都是有效數(shù)字。如0.0037惟獨(dú)兩位有效數(shù)

字,而370.0則有四位有效數(shù)字。普通要求測試數(shù)據(jù)有效數(shù)字為4位。要注意有效數(shù)字不一定都

是可靠數(shù)字。如測流體阻力所用的U形管壓差計(jì)，最小刻度是1mm,但我們可以讀到0.1mm,如

342.4mmHgo又如二等標(biāo)準(zhǔn)溫度計(jì)最小刻度為0.1℃,我們可以讀到0.01C,如15.16℃o此時(shí)有

效數(shù)字為4位,而可靠數(shù)字惟獨(dú)三位,最后一位是不可靠的,稱為可疑數(shù)字。記錄測量數(shù)值時(shí)只保

留一位可疑數(shù)字。

為了清晰地表示數(shù)值的精度,明確讀出有效數(shù)字位數(shù),常用指數(shù)的形式表示,即寫成一個(gè)小數(shù)

與相應(yīng)10的整數(shù)幕的乘積。這種以10的整數(shù)塞來記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。

如75200有效數(shù)字為4位時(shí),記為7.520*10；,

有效數(shù)字為3位時(shí),記為7.52*10

有效數(shù)字為2位時(shí),記為7.5*103

0.00478有效數(shù)字為4位時(shí),記為4.780*10-3

有效數(shù)字為3位時(shí),記為4.78*103

有效數(shù)字為2位時(shí),記為4.7*10-3

2、有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則

(1記錄測量數(shù)值時(shí),只保留一位可疑數(shù)字。

(2當(dāng)有效數(shù)字位數(shù)確定后,其余數(shù)字一律舍棄。舍棄辦法是四舍六入，即末位有效數(shù)字后邊

第一位小于5,則舍棄不計(jì)；大于5則在前一位數(shù)上增1；等于5時(shí)，前一位為奇數(shù),則進(jìn)1為偶

數(shù),前一位為偶數(shù),則舍棄不計(jì)。這種舍入原則可簡述為：小則舍,大則入,正好等于奇變偶。

如：保留4位有效數(shù)字3.71729-3.717;

5.14285—5.143

7.62356f7.624

17/11

9.37656—9.376

(3在加減計(jì)算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，應(yīng)與各數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)至少的相同。例如將24.65

0.00821.632三個(gè)數(shù)字相加時(shí),應(yīng)寫為24.65+0.01+1.63=26.29<>

(4在乘除運(yùn)算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，以各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)至少的那個(gè)數(shù)為準(zhǔn)；其結(jié)果的

有效數(shù)字位數(shù)亦應(yīng)與原來各數(shù)中有效數(shù)字至少的那個(gè)數(shù)相同。例如：

0.0121X25.64X1.05782應(yīng)寫成0.0121X25.64X1.06=0.328。上例說明,雖然這三個(gè)數(shù)的乘積

為0.3281823,但只應(yīng)取其積為0.328。

(5在對數(shù)計(jì)算中,所取對數(shù)位數(shù)應(yīng)與真數(shù)有效數(shù)字位數(shù)相同。

三、誤差的基本性質(zhì)

在化工原理實(shí)驗(yàn)中通常直接測量或者間接測量得到有關(guān)的參數(shù)數(shù)據(jù),這些參數(shù)數(shù)據(jù)的可靠程度

如何？如何提高其可靠性？因此，必須研究在給定條件下誤差的基本性質(zhì)和變化規(guī)律。

1、誤差的正態(tài)分布

如果測量數(shù)列中不包括系統(tǒng)誤差和過失誤差，從大量的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)偶然誤差的大小有如下幾

個(gè)特征：

(1絕對值小的誤差比絕對值大的誤差浮現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，即誤差的概率與誤差的大小有關(guān)。這

是誤差的單峰性。

(2絕對值相等的正誤差或者負(fù)誤差浮現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)，即誤差的概率相同。這是誤差的對稱

性。

(3極大的正誤差或者負(fù)誤差浮現(xiàn)的概率都非常小,即大的誤差普通不會(huì)浮現(xiàn)。這是誤差的有

界性。

(4隨著測量次數(shù)的增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。這叫誤差的低償性。

根據(jù)上述的誤差特征，可疑的出誤差浮現(xiàn)的概率分布圖，如圖2-2所示。圖中橫坐標(biāo)表示偶

然誤差,縱坐標(biāo)表示個(gè)誤差浮現(xiàn)的概率，圖中曲線稱為誤差分布曲線，以y=f(x)表示。其數(shù)學(xué)表

達(dá)式有高斯提出,具體形式為：

y=-L—e與2<2—20>

、2nn

或者yqJe—(12x2<2--21>

上式稱為高斯誤差分布定律亦稱為誤差方程。式中。為標(biāo)準(zhǔn)誤差,h為精確度指數(shù)，。和h的

關(guān)系為v=1<2—22>

、，務(wù)

若誤差按函數(shù)關(guān)系分布,則稱為正態(tài)分布。。

越小,測量精度越高,分布曲線的峰越高切窄；。

越大，分布曲線越平整且越寬，如圖卜3所示。由

此可知，。越小，小誤差占的比重越大,測量精度越

高。反之，則大誤差占的比重越大，測量精度越

低。

2、測量集合的最佳值

在測量精度相同的情況下，測量一系列觀測值

18/11

M,M，M，……,M所組成的測量集合，假設(shè)圖2-2誤差分布

123n

其平均值為M，則各次測量誤差為

m.re

x=M-M,1=1、2…n,

iim

當(dāng)采用不同的方法計(jì)算平均值時(shí),所得到誤差

值不同，誤差浮現(xiàn)的概率亦不同。若選取適當(dāng)?shù)挠?jì)

算方法，使誤差最小,而概率最大，由此計(jì)算的平均

值為最佳值。根據(jù)高斯分布定律，惟獨(dú)各點(diǎn)誤差平

方和最小，才干實(shí)現(xiàn)概率最大。這就是最小乘法

值。由此可見,對于一組精度相同的觀測值，采用

算術(shù)平均得到的值是該組觀測值的最佳值。

圖2-3不同。的誤差分布曲線

3、有限測量次數(shù)中標(biāo)準(zhǔn)誤差。的計(jì)算

由誤差基本概念知,誤差是觀測值和真值之差。在沒有系統(tǒng)誤差存在的情況下，以無限多次

測量所得到的算術(shù)平均值為真值。當(dāng)測量次數(shù)為有限時(shí),所得到的算術(shù)平均值近似于真值,稱最

佳值。因此,觀測值與真值之差不同于觀測值與最佳值之差。

令真值為A,計(jì)算平均值為a,觀測值為M,并令d=M-a,D=M-A,則

因?yàn)閆M—na=0ZM=na

代入?D=-nA中，即得

yi?

a=A+°.(2—23

n

將式(2—23式代入d=M-a中得

ZDED(9—?4

d=(M-A)-i=D-jl乙乙4

??n>n

將式(2—24兩邊各平方得

對i求和Ey(?D)2ZD

JdTd2=^-D2—2■+n(j)2

因在測量中正負(fù)誤全浮現(xiàn)而機(jī)會(huì)相簿故將12口?展開后,立.口2、D「D3…，為正為負(fù)的數(shù)目相

等，彼此相消，故得

從上式可以看出，在有限測量次數(shù)中，自算數(shù)平均值計(jì)算的誤差平方和永遠(yuǎn)小于自真值計(jì)算的

誤差平方和。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義

式中2D口代表觀測次數(shù)為無限多時(shí)誤差的平方和,故當(dāng)觀測次數(shù)有限時(shí)，

rV—

0=,_±(2—25

\n-1

4.可疑觀測值的舍棄

由概率積分知，隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線下的全部積分,相當(dāng)于全部誤差同時(shí)浮現(xiàn)的概率，

即(2—26

19/11

若誤差X以標(biāo)準(zhǔn)誤差。的倍數(shù)表示,即X=t。，則在土t。范圍內(nèi)浮現(xiàn)的概率為2①《>,超出

這個(gè)范圍的概率為1-2中<t>。6<t>稱為概率函數(shù)，表示為

<1>(1)=Jte-Tdt(2—27

\2no

2①<t>與t的對應(yīng)值在數(shù)學(xué)手冊或者專著中均附有此類積分表，讀者需要時(shí)可自行查取。在

使用積分表時(shí),需已知t值。由表2T和圖［2-4給出幾個(gè)典型及其相應(yīng)的超出或者不超出

|x|的概率。

由表2-1知，當(dāng)t=3,1x|=3。時(shí)，在370次觀測中惟獨(dú)一次測量的誤差超過3。范圍。在有

限次的觀測中,普通測量次數(shù)不超過十次,可以認(rèn)為誤差大于3。，可能是由于過失誤差或者實(shí)驗(yàn)

條件變化未被發(fā)覺等原因引起的。因此,凡是誤差大于3。的數(shù)據(jù)點(diǎn)予以舍棄。這種判斷可疑

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則稱為3。準(zhǔn)則。

5.函數(shù)誤差

上述討論主要是直接測量的誤差計(jì)算問題，但在許多場合下往往涉及間接測量的變量，所謂

間接測量是通過直接測量的量之間有一定的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)函數(shù)被測的量,如傳熱問題中的傳熱

速率。因此，間接測量值就是直接測量得到的各個(gè)測量值的函數(shù)。其測量誤差是各個(gè)測量值誤差

的函數(shù)。

圖2-4誤差分布曲線的積分

表2T誤差概率和浮現(xiàn)次數(shù)

不超出|x|的超出lx的概率測量次數(shù)超出|x|的

t|x|=to

概率2力<t〉l-24)<t>n測量次數(shù)

0.670.67。0.4971421

11o0.682690.3173131

22。0.954500.04550221

33o0.997300.002703701

44o0.999910.00009111111

(1)函數(shù)誤差的普通形式在間接測量中，普通為多元函數(shù),而多元函數(shù)可用下式表示:

y=f<xvx2...,xn>(2—28

式中y—間接測量值；

X1—直接測量值。

由臺(tái)勞級數(shù)展開得

△y=&Ax+*Ax+...+&Ax(2―29

6X116x226xnn

或者Ay=Zn6fAx

8xi

它的最大絕對點(diǎn)基由Ay=￡8加(2-30

15x>

式中5f—誤差傳遞系數(shù)；

8x

△x—直接疝量值的誤差；

Ay-間接測量值的最大絕對誤差。

函數(shù)的相對誤差3為

20/11

(2—31

(2某些函數(shù)誤差的計(jì)算

①函數(shù)y=x±z絕對誤差和相對誤差

由于誤差傳遞系數(shù)&=19=士1,則函數(shù)最大絕對誤差

8x8z

Ay=±(|Ax|+|Az(232

相對窿6=3=士國+㈤

(2-^33

ryX+z

②函數(shù)形式為y=KXZ,x、z、W為變量

w

誤差傳遞系數(shù)為：Sy=Kz

5xw

函數(shù)的最大絕對誤差為

&Ax0Az監(jiān)Aw

△y=++(2—34

wwW2

函數(shù)的最大相對誤差為

"=汴|圖利+圖(2—35

現(xiàn)將某些常用函數(shù)的最大絕對誤差和相對誤差列于表2-2中。

t

［例2-3］用量熱器測定固體比熱容時(shí)采用的公式C=乂4°)C

Pm(t-t)PH2O

12

式中M—量熱器內(nèi)水的質(zhì)量

m2測物體的質(zhì)量

t0—測量前水的溫度

t-放入量熱器前物體的溫度

t2—測量時(shí)水的溫度

CpH空—水的熱容,4.187Kj/<kg.?K>

測量結(jié)果如下：

M=250±0.2gm=62.31±0.02g

to=13.52±O.O1℃t1=99.32±0.04℃

j=17.79±0.01C

試求測量物的比熱容之真值，并確定能否提高測量精度。

解：根據(jù)題意，計(jì)算函數(shù)之真值，需計(jì)算各變量的絕對誤差和誤差傳遞系數(shù)。為了簡化計(jì)算,

令0O=t2-to=4.27℃,。=t—12=81.53℃,.

方程改寫為C=M0oC

pm0］PH2O

表2-2某些函數(shù)的誤差傳遞公式

21/11

誤差傳遞公式

函數(shù)式

最大絕對誤差A(yù)y最大相對誤差5

r

y=x+x+xAy二±(|Ax|+|Ax|+|AxD8=Ay/y

y=x+x△y=±(|Ax|+1Ax|)6=Ay/y

1212

6=胎+用

y=xx△y二土(|xAx|+|xAx|)

121221rXX

ei.AxAxAx.

y=xxxAy二±(|xxAx|+|xxZkx+|xxAx|)0=±|-1+-r+—T)

123123132231r1XXX

in>