漫談空間與圖形教學(xué)市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

漫談空間與圖形教學(xué)臨海市教育局教研室蔣依寶E-mail：jybao88@163.com第1頁(yè)漫談空間與圖形教學(xué)歷史回顧“課程標(biāo)準(zhǔn)”中“空間與圖形”從“眼中之竹”到“手中之竹”第2頁(yè)歷史回顧第3頁(yè)一、“幾何”發(fā)展史及在小學(xué)數(shù)學(xué)中地位1、“幾何”—起源于希臘文，原意是土地測(cè)量。2、多年前《九章算術(shù)》記載■把許多平面圖形稱之為“田”：正方形——方田長(zhǎng)方形——直田三角形——圭田梯形——斜田在一系列測(cè)田畝、定四時(shí)農(nóng)業(yè)活動(dòng)中逐步形成一些幾何形體概念。第4頁(yè)●三角形面積計(jì)算：半廣以乘正從“廣”——矩形“正從”——高把三角形割補(bǔ)成矩形，取其底長(zhǎng)二分之一再乘高便是三角形面積。（等積變形）●圓面積計(jì)算：半周半徑相乘得積步∏R·R=∏R2

“積步”——當(dāng)初面積單位“平方步”■祖沖之圓周率

早出印度半個(gè)世紀(jì)，早出歐洲一千多年?！龀Ｒ?jiàn)圖形求積計(jì)算第5頁(yè)3、“幾何”進(jìn)入我國(guó)基礎(chǔ)教育——相當(dāng)晚■19，《奏定學(xué)堂章程》正式要求在中學(xué)要開(kāi)設(shè)幾何、代數(shù)和三角，小學(xué)只設(shè)算術(shù)，而其中有一章叫“求積”，就是田畝計(jì)算?！?9世紀(jì)末，清朝官立學(xué)堂、私立學(xué)堂和教會(huì)學(xué)堂開(kāi)始使用教科書(shū)《形學(xué)備旨》中才包含了幾何。第6頁(yè)4、建國(guó)以來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)綱領(lǐng)幾經(jīng)修訂，“幾何初步知識(shí)”在小學(xué)數(shù)學(xué)中有了明確地位，內(nèi)容也在逐步增加。第7頁(yè)■1952年《小學(xué)算術(shù)教學(xué)綱領(lǐng)（草案）》

幾何教學(xué)內(nèi)容只包含：直線、線段、直角、長(zhǎng)方形和正方形（包含面積）、長(zhǎng)方體和正方體（包含體積）等內(nèi)容。■1956年《小學(xué)算術(shù)教學(xué)綱領(lǐng)（修訂草案）》

增加：角、三角形及其面積等內(nèi)容。第8頁(yè)■1963年《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)綱領(lǐng)（草案）》又增加：垂線、平行線、平行四邊形、梯形和圓（包含周長(zhǎng)和面積）、圓柱、棱柱、圓錐（包含體積）等內(nèi)容，同時(shí)還學(xué)習(xí)一些簡(jiǎn)單測(cè)量和作圖。

這是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)最多一個(gè)綱領(lǐng)。第9頁(yè)■1978年《全日制十年制學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)綱領(lǐng)

（試行草案）》對(duì)1963年綱領(lǐng)作了調(diào)整，刪去了棱柱、棱錐，增加了扇形。■1986年《全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)綱領(lǐng)》要求幾何學(xué)習(xí)內(nèi)容與1978年相同。第10頁(yè)■1992年《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)綱領(lǐng)（試用）》

●明確小學(xué)幾何(初步知識(shí))性質(zhì)——直觀幾何“在小學(xué)是經(jīng)過(guò)直觀學(xué)習(xí)一些幾何初步知識(shí)”，強(qiáng)調(diào)“幾何初步知識(shí)教學(xué)要充分利用和創(chuàng)造各種條件，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)對(duì)物體、模型觀察、測(cè)量、拼擺、畫(huà)圖、制作、試驗(yàn)等活動(dòng)，掌握形體基本特征和面積、體積計(jì)算方法，并注意在實(shí)際中應(yīng)用，以利于培養(yǎng)初步空間觀念?！薄裰赋隹臻g觀念形成主要路徑第11頁(yè)●突破“以求積為中心”框子，加強(qiáng)空間觀念培養(yǎng)63綱領(lǐng)：幾何知識(shí)內(nèi)容雖多，但還是提出“以四則計(jì)算為中心”，與其對(duì)應(yīng)幾何初步知識(shí)是“以求積為中心”，對(duì)空間觀念培養(yǎng)仍較忽略。92綱領(lǐng)：首先回答了什么是空間觀念，又明確指出在小學(xué)階段培養(yǎng)初步空間觀念“標(biāo)高”：一是要求學(xué)生聽(tīng)到某一學(xué)過(guò)幾何圖形名稱，就能在頭腦中正確地再現(xiàn)它形象；二是能獨(dú)立地看懂所畫(huà)出已學(xué)過(guò)平面和立體圖形，正確掌握他們名稱；三是能夠在各種圖形或模型中，正確地找出自己所需要圖形，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類。使空間觀念培養(yǎng)任務(wù)得到落實(shí)。第12頁(yè)●從低年級(jí)起合理安排對(duì)幾何形體認(rèn)識(shí)從一年級(jí)起，每年都安排了幾何知識(shí)內(nèi)容，知識(shí)由淺入深，要求從低到高，逐步積累空間觀念。小學(xué)生對(duì)幾何圖形認(rèn)識(shí)都基本屬于表象階段，所以，普通只描述其一些特征，不作理論性證實(shí)，不下嚴(yán)格邏輯定義。為了便于掌握教學(xué)要求，把它們由低到高分為：“直觀認(rèn)識(shí)”、“初步認(rèn)識(shí)”、“認(rèn)識(shí)”和“掌握特征”四個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。第13頁(yè)

“直觀認(rèn)識(shí)”:看到相關(guān)圖形、實(shí)物或模型，能初步認(rèn)識(shí)其外形，說(shuō)知名稱。

“初步認(rèn)識(shí)”:較前者略高一些，能略知圖形一、兩個(gè)簡(jiǎn)單特征?！罢J(rèn)識(shí)（知道）”:較“初步認(rèn)識(shí)”又略高一些，知道圖形普通特征。

“掌握”:知道圖形本質(zhì)特征。這是認(rèn)識(shí)最高層次，但仍不要求對(duì)概念下定義。第14頁(yè)■年《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)綱領(lǐng)（試用修訂版）》

使學(xué)生逐步形成簡(jiǎn)單幾何形體形狀、大小和相互位置關(guān)系表象，能夠識(shí)別所學(xué)幾何形體，并能依據(jù)幾何形體名稱再現(xiàn)它們表象，培養(yǎng)初步空間觀念?！衩鞔_了幾何初步知識(shí)教學(xué)目標(biāo)：第15頁(yè)●對(duì)教學(xué)內(nèi)容作了確定和安排：

幾何初步知識(shí)內(nèi)容應(yīng)親密聯(lián)絡(luò)學(xué)生生活實(shí)際，遵照兒童認(rèn)識(shí)規(guī)律，按照立體——平面——立體次序安排，經(jīng)過(guò)觀察、測(cè)量、拼擺、畫(huà)圖等實(shí)際活動(dòng)，認(rèn)識(shí)常見(jiàn)簡(jiǎn)單幾何體特征，會(huì)計(jì)算它們周長(zhǎng)、面積和體積，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念。求積計(jì)算數(shù)據(jù)不應(yīng)過(guò)繁。組合圖形作為選學(xué)內(nèi)容，只限于兩個(gè)圖形組合。幾何形體要從低年級(jí)起逐步認(rèn)識(shí)，合理安排。第16頁(yè)二、幾何初步知識(shí)教學(xué)意義1、有利于培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，為深入學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)打下基礎(chǔ)把一個(gè)體積為64立方厘米正方體，切割成8個(gè)體積相等小正方體，這些小正方體表面積比原來(lái)正方體表面積多多少平方厘米？解法一：2×2×6×8－4×4×6＝96（平方厘米）解法二：4×4×6＝96（平方厘米）第17頁(yè)2、有利于提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題能力規(guī)劃耕作面積時(shí)，首先要丈量土地；繪制圖紙時(shí)，要考慮到合理用料；選擇最近路線時(shí)，要會(huì)看地圖；布置房間時(shí)，要預(yù)計(jì)各種家俱體積；鐵道部要求每位旅客攜帶行李外形大小……在教學(xué)中應(yīng)多給學(xué)生一些結(jié)合實(shí)際題目，以提升處理實(shí)際問(wèn)題能力。第18頁(yè)3、有利于培養(yǎng)學(xué)生初步邏輯思維能力小學(xué)幾何即使是直觀幾何，不過(guò)，小學(xué)生在建立空間觀念、掌握?qǐng)D形特征時(shí)，都是在積累感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、綜合、抽象、概括實(shí)現(xiàn)。尤其在經(jīng)過(guò)幾何變換求面積、體積公式以及利用求積公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，都必須進(jìn)行一定推理。第19頁(yè)三、不愿看到現(xiàn)實(shí)

例1、有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)5尺，寬和高都是3尺，它體積是（），棱長(zhǎng)之和是（）。（北京市1980年小學(xué)畢業(yè)和升學(xué)考試試題）例2、以下哪一個(gè)圖形能夠折成立方體？

全市抽樣統(tǒng)計(jì)，第一問(wèn)絕大多數(shù)都對(duì)，第二問(wèn)正確率僅31.9％.第20頁(yè)

例3、下列圖是一個(gè)大正方形內(nèi)挖去一個(gè)邊長(zhǎng)是4.8厘米小正方形后形成圖形。已知它周長(zhǎng)是52厘米，求原來(lái)大正方形周長(zhǎng)。學(xué)生（共52人）：（1）52－4.8×3＋4.8（43人）（2）52－4.8×2（5人）（3）52÷4（2人）（4）空著不做（2人）第21頁(yè)

例4、用立方塊搭成立體，從左邊看，形狀是，從正面看，形狀是，要搭成這么立體最少需要（）個(gè)立方塊。第22頁(yè)案例——長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算2、想一想，你測(cè)量幾次就能求出它們周長(zhǎng)？為何？1、測(cè)量計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)。12+8+12+812×2+8×2（12+8）×29+9+9+9（9+9）×29×4（長(zhǎng)+寬）×2C=（a+b）×2?李華家想靠西墻圍一個(gè)長(zhǎng)8米，寬4米長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)（如圖）需要籬笆多長(zhǎng)？人數(shù)49人17人2人30人答題情況（8+6）×2-88×2+6多數(shù)是（8+6）×2失分率61.2%得分率38.8%過(guò)分強(qiáng)調(diào)C=（a+b）×2，對(duì)學(xué)生合理、靈活地處理實(shí)際問(wèn)題沒(méi)有多少幫助，反而束縛了其思維。第23頁(yè)案例——平行四邊形面積計(jì)算8厘米8厘米8厘米6厘米6厘米6厘米5厘米長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬平行四邊形面積=底×高8分米12分米1.5米2.8米9厘米7厘米12米5米6米10米＝第24頁(yè)平行四邊形面積計(jì)算利用1、測(cè)量計(jì)算下面平行四邊形面積。2、計(jì)算下面圖形陰影部分面積。你想到了什么？18厘米9厘米22分米40分米30分米第25頁(yè)復(fù)習(xí)課（全冊(cè)回顧）案例——平面圖形面積計(jì)算1、想一想：你會(huì)求哪些平面圖形面積？

請(qǐng)各做一個(gè)平面圖形，測(cè)量計(jì)算它們面積。2、在紙上按一定關(guān)系畫(huà)出這些圖形，并把

相關(guān)系圖形用線連起來(lái)。想一想：怎樣

連最簡(jiǎn)單、明白？3、動(dòng)動(dòng)腦筋：

①當(dāng)梯形上底為0時(shí)是什么圖形？

②當(dāng)梯形上底等于下底時(shí)又是什么圖形？長(zhǎng)=寬割補(bǔ)拼湊第26頁(yè)“課程標(biāo)準(zhǔn)”中“空間與圖形”第27頁(yè)■年，教育部正式公布《全日制義務(wù)教育國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）》，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容劃分為四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合應(yīng)用?！鲈诳偨Y(jié)以往經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，《標(biāo)準(zhǔn)》提出“幾何”（空間與圖形）學(xué)習(xí)最主要目標(biāo)是使學(xué)生更加好地了解自己所生存世界，形成空間觀念，提出實(shí)現(xiàn)直觀幾何、坐標(biāo)幾何和論證幾何并舉存在格局。因此，對(duì)傳統(tǒng)幾何內(nèi)容進(jìn)行了較大幅度改革。第28頁(yè)一、課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

要發(fā)展學(xué)生空間觀念空間觀念主要表現(xiàn)：1、能由物體形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開(kāi)圖之間轉(zhuǎn)化；2、能依據(jù)條件做出立體模型或畫(huà)出圖形；3、能從較復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，并能分析其中基本元素及其關(guān)系；4、能描述實(shí)物或幾何圖形運(yùn)動(dòng)改變；5、能采取適當(dāng)方式描述物體位置關(guān)系；6、能利用圖形形象地描述問(wèn)題，利用直觀來(lái)進(jìn)行思索。第29頁(yè)二、課程設(shè)計(jì)特點(diǎn)1、新《課標(biāo)》在“空間與圖形”課程設(shè)計(jì)上有以下特點(diǎn)：⑴以“立體——平面——立體”為主要線索展開(kāi)。⑵強(qiáng)調(diào)與學(xué)生生活聯(lián)絡(luò)。⑶適當(dāng)拓寬活動(dòng)領(lǐng)域：包含圖形認(rèn)識(shí)、圖形變換、圖形與位置等方面。⑷以實(shí)際操作、測(cè)量、簡(jiǎn)單推理為詳細(xì)處理方式，強(qiáng)調(diào)了學(xué)生直觀體驗(yàn)。⑸重視發(fā)展學(xué)生空間觀念。⑹發(fā)展對(duì)圖形審美意識(shí)。第30頁(yè)2、與《綱領(lǐng)》相比，《標(biāo)準(zhǔn)》發(fā)生巨大改變《標(biāo)準(zhǔn)》加強(qiáng)地方：⑴加強(qiáng)平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱現(xiàn)象認(rèn)識(shí)。⑵增加對(duì)圖形相對(duì)位置認(rèn)識(shí)。⑶增加認(rèn)識(shí)方向與路線圖。⑷增加認(rèn)識(shí)不規(guī)則圖形（如：土豆體積計(jì)算）《標(biāo)準(zhǔn)》減弱地方：?jiǎn)渭儙缀芜\(yùn)算。第31頁(yè)三、課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)“空間與圖形”內(nèi)容主要包括現(xiàn)實(shí)世界中物體、幾何體和平面圖形形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，它是人們更加好地認(rèn)識(shí)和描述生活空間并進(jìn)行交流主要工具。各個(gè)學(xué)段內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)不一樣（詳見(jiàn)“課程標(biāo)準(zhǔn)”）第32頁(yè)從“眼中之竹”到“手中之竹”第33頁(yè)

1、鄭板橋畫(huà)竹：經(jīng)歷“眼中之竹”—“胸中之竹”—“手中之竹”三個(gè)階段。一、由鄭板橋畫(huà)竹而想到“眼中之竹”——對(duì)創(chuàng)作對(duì)象意象積累；“胸中之竹”——將積累意象重新組合、內(nèi)化于心，做到胸有成竹；“手中之竹”——畫(huà)家創(chuàng)造性思維物化，注意形似，力爭(zhēng)神似。第34頁(yè)2、小學(xué)生要學(xué)好幾何初步知識(shí)，也必須經(jīng)歷這三個(gè)階段?！鰧W(xué)生：從“眼中之竹”到“手中之竹”是學(xué)習(xí)“空間與圖形”必由之路?！鼋處煟阂獜闹性O(shè)法引導(dǎo)，促成學(xué)生從“眼中之竹”過(guò)渡到“手中之竹”。●幫助學(xué)生豐富“眼中之竹”●引導(dǎo)學(xué)生形成“胸中之竹”●誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造“手中之竹”第35頁(yè)二、幫助學(xué)生豐富“眼中之竹”

學(xué)生“眼中之竹”指是空間觀念，它是現(xiàn)實(shí)世界中物體、幾何體和平面圖形形狀、大小、位置關(guān)系及其變換在人腦中表象。豐富以下各空間觀念：1、形狀——形體本質(zhì)特征及對(duì)應(yīng)表象。2、大小——對(duì)平面或空間在數(shù)量上占有。第36頁(yè)例5、教學(xué)面積和面積單位（案例）⑴比較左邊兩個(gè)圖形大小A、肉眼看B、用單位度量⑵學(xué)習(xí)了面積和面積單位以后。B、預(yù)計(jì)以上兩個(gè)圖形面積，再用單位測(cè)量，比較兩次得到結(jié)果。A、不用尺，畫(huà)一個(gè)面積大約是2平方分米圖形（外化）3、結(jié)構(gòu)—形體基本元素及其組成方式。4、位置關(guān)系—形體間相對(duì)空間關(guān)系（方位、次序）。第37頁(yè)例6、第38頁(yè)

例7、認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體以后，安排連線找朋友練習(xí)：

圖形

側(cè)面

上面

正面第39頁(yè)

例8、一個(gè)立體，由10塊立方塊堆成，從正面看，形如，這個(gè)形體能夠怎么堆放？若增加1塊，但從正面看形狀不變，能夠怎么放？第40頁(yè)例9：商店貨架上放著各種各樣茶杯(大小、形狀、顏色各異)，選出圖中你所喜歡杯子，并說(shuō)出位置。第41頁(yè)例10、模擬活動(dòng)：到電影院看電影⑴怎樣表示圖中打位置。⑵給你一張電影票：在“電影院”中找位置。小機(jī)靈電影院47⑶假如你去看電影，你以為買(mǎi)哪個(gè)位置電影票比很好？第42頁(yè)例11：方向和路線如圖，電影院在永春街哪面？第43頁(yè)例12、下面是一幅農(nóng)場(chǎng)平面圖。依據(jù)圖上信息，回答以下問(wèn)題：(1)與牛棚占有土地面積幾乎相等是A、果園B、牧牛場(chǎng)C、麥田D、橄欖園

第44頁(yè)(2)農(nóng)場(chǎng)主兒子在圖正中央畫(huà)了一條線，并把經(jīng)過(guò)物體畫(huà)了下來(lái)，下面哪幅圖最能顯示他所畫(huà)哪條線？第45頁(yè)5、變換—形體運(yùn)動(dòng)、改變過(guò)程、結(jié)果與聯(lián)絡(luò)。例13：經(jīng)過(guò)怎樣變換得到？例14：將對(duì)稱軸右邊圖形畫(huà)出來(lái)。……對(duì)稱軸第46頁(yè)

例15、要使下列圖成為上下對(duì)稱、左右對(duì)稱圖案，能夠怎樣增加彩色圓點(diǎn)？第47頁(yè)三、引導(dǎo)學(xué)生形成“胸中之竹”1、及時(shí)對(duì)比，突出差異，增強(qiáng)空間觀念清楚性。例17、哪只小兔最先拿到蘿卜？

例16、面積單位與長(zhǎng)度單位比較第48頁(yè)第49頁(yè)第50頁(yè)2、及時(shí)類比，異中求同，突出幾何圖形之間邏輯關(guān)系。例18、

⑴設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生揭示新舊知識(shí)之間聯(lián)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，從而順利地掌握新知。第51頁(yè)

⑵用聯(lián)絡(luò)改變觀點(diǎn)及時(shí)對(duì)知識(shí)進(jìn)行組塊，引導(dǎo)學(xué)生揭示知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，建立起比較完整知識(shí)體系。h例19、ahbb=0=abh21S=(a+0)h=ah21S=(a+b)h2121S=(a+a)h=ahaa第52頁(yè)3、經(jīng)過(guò)求積計(jì)算，反過(guò)來(lái)鞏固和加深對(duì)幾何形體認(rèn)識(shí)。第53頁(yè)

四、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造“手中之竹”1、重視教給學(xué)習(xí)策略。例20、等積變形第54頁(yè)例21：如圖，正方形邊長(zhǎng)是5厘米，空白部分梯形面積比空白部分三角形面積大12平方厘米，CE＝3厘米，求CF長(zhǎng)度。第55頁(yè)2、培養(yǎng)預(yù)計(jì)能力例