高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識技法精細(xì)過（9）：解析幾何（直線與圓）

高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識技法精細(xì)過（九）第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程一、必記2個(gè)知識點(diǎn)1．直線的傾斜角和斜率(1)直線的傾斜角的定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸①________與直線l②________之間所成的③__________α叫做直線的傾斜角．當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°，因此，直線傾斜角α的取值范圍是④____________.(2)斜率的定義傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的⑤________叫做這條直線的斜率，常用k表示，即⑥________.傾斜角是90°的直線，斜率k不存在．(3)斜率公式當(dāng)直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)時(shí)，l的斜率k＝⑦_(dá)___________.(4)直線的方向向量經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的方向向量的坐標(biāo)可記為⑧____________，當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，方向向量的坐標(biāo)可記為⑨________.2．直線方程的幾種基本形式名稱方程適用范圍斜截式⑩____________不能表示垂直于x軸的直線點(diǎn)斜式?____________不能表示垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式?____________不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式?____________不能表示垂直于坐標(biāo)軸及過原點(diǎn)的直線一般式?____________能表示平面上任何直線二、必明4個(gè)易誤點(diǎn)1．利用兩點(diǎn)式計(jì)算斜率時(shí)易忽視x1＝x2時(shí)斜率k不存在的情況．2．用直線的點(diǎn)斜式求方程時(shí)，在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論，否則會造成失誤．3．直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當(dāng)截距為0時(shí)可用點(diǎn)斜式．4．由一般式Ax＋By＋C＝0確定斜率k時(shí)易忽視判斷B是否為0，當(dāng)B＝0時(shí)，k不存在；當(dāng)B≠0時(shí)，k＝－eq\f(A,B).三、技法1.斜率的求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tanα求斜率．(α≠90°)(2)公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．2．斜率取值范圍的三種求法(1)數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定．(2)構(gòu)建不等式法：利用不等式所表示的平面區(qū)域的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為線線、線面的位置關(guān)系，構(gòu)造不等式求范圍．(3)利用斜率關(guān)于傾斜角的函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可.3.求直線方程的關(guān)注點(diǎn)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線．故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.4.直線方程的綜合應(yīng)用(1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時(shí)要能夠整理成過兩條定直線交點(diǎn)的直線系，即能夠看出“動中有定”．(2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值.參考答案①正向②向上方向③最小正角④0°≤α＜180°⑤正切值⑥k＝tanα⑦eq\f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)⑧(x2－x1，y2－y1)⑨(1，k)⑩y＝kx＋b?y－y0＝k(x－x0)?eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)?eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1?Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系與距離公式一、必記3個(gè)知識點(diǎn)1．平行與垂直若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則：(1)直線l1∥l2的充要條件是①____________.(2)直線l1⊥l2的充要條件是②____________.若l1和l2都沒有斜率，則l1與l2平行或重合．若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0，則l1⊥l2.2．兩直線相交(1)交點(diǎn)：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應(yīng)．(2)相交?方程組有③________，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．(3)平行?方程組④________.(4)重合?方程組有⑤________.3．三種距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝⑥____________.特別地，原點(diǎn)(0,0)與任意一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝⑦_(dá)_______.(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝⑧______.(3)兩條平行線的距離兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝⑨____________.二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可據(jù)條件進(jìn)行判斷，若無斜率，要單獨(dú)考慮．2．運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時(shí)易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯．三、技法1.由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)2.處理距離問題的3種方法(1)點(diǎn)到直線的距離問題可直接代入點(diǎn)到直線的距離公式去求，注意直線方程為一般式．(2)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離相等，一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)在兩定點(diǎn)所在線段的垂直平分線上，從而計(jì)算簡便．(3)兩平行直線間的距離①利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；②利用兩平行線間的距離公式．提醒：在應(yīng)用兩條平行線間的距離公式時(shí)，應(yīng)把直線方程化為一般形式，且使x，y的系數(shù)分別相等.3.中心對稱問題的2個(gè)類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，y＝2b－y1，))進(jìn)而求解．(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱，主要求解方法是：①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；②求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．4．軸對稱問題的2個(gè)類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱：若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直線關(guān)于直線的對稱：一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行.參考答案①k1＝k2且b1≠b2②k1·k2＝－1③唯一解④無解⑤無數(shù)個(gè)解⑥eq\r(x1－x22＋y1－y22)⑦eq\r(x2＋y2)⑧eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))⑨eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))第三節(jié)圓的方程一、必記3個(gè)知識點(diǎn)1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圓心為①________，半徑為②________的圓．2．圓的一般方程對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，表示圓心為③____________，半徑為④____________________的圓；(2)當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)⑤____________；(3)當(dāng)D2＋E2－4F＜0時(shí)，它不表示任何圖形．3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑r，若點(diǎn)M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；若點(diǎn)M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2⑦_(dá)_______；若點(diǎn)M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.二、必明1個(gè)易誤點(diǎn)對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時(shí)易忽視D2＋E2－4F>0這一成立條件．三、技法1.求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．2．確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上．(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線．提醒：解答圓的有關(guān)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).3.與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)的代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問題.參考答案①(a，b)②r③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))④eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)⑤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))⑥r(nóng)2⑦＞r2⑧＜r2第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、必記4個(gè)知識點(diǎn)1．直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：(1)代數(shù)法：利用判別式eq\o(→,\s\up7(判別式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?①,Δ＝0?②,Δ＜0?③))(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系d＜r?④______；d＝r?⑤______；d＞r?⑥______.2．圓的切線方程若圓的方程為x2＋y2＝r2，點(diǎn)P(x0，y0)在圓上，則過P點(diǎn)且與圓x2＋y2＝r2相切的切線方程為⑦_(dá)___________.3．直線與圓相交直線與圓相交時(shí)，若l為弦長，d為弦心距，r為半徑，則有r2＝⑧____________，即l＝2eq\r(r2－d2)，求弦長或已知弦長求解問題，一般用此公式．4．兩圓位置關(guān)系的判斷兩圓(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0)的圓心距為d，則(1)d＞r1＋r2?兩圓⑨________；(2)d＝r1＋r2?兩圓⑩________；(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)?兩圓?________；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓?________；(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓?________.二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．對于圓的切線問題，尤其是圓外一點(diǎn)引圓的切線，易忽視切線斜率k不存在情形．2．兩圓相切問題易忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形．三、技法1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．注：上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.2.求過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的方法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程．3．求過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的兩種