四川省雅安市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)開學(xué)考試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第8，9，10章，選擇性必修第一冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．33．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．4．一組數(shù)據(jù)3，5，6，8，12，10，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A．6 B．8 C．9 D．75．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長為（）A．24 B．12 C．36 D．487．一圓臺(tái)上、下底面的直徑分別為4，12，高為10，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A． B． C． D．8．某學(xué)校開展關(guān)于“飲食民俗”的選修課程，課程內(nèi)容分為日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個(gè)模塊，甲、乙兩名學(xué)生準(zhǔn)備從中各選擇2個(gè)模塊學(xué)習(xí)，則甲、乙選修的模塊中至少有1個(gè)模塊相同的概率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知橢圓，則（）A．橢圓的長軸長為 B．橢圓的焦距為12C．橢圓的短半軸長為 D．橢圓的離心率為10．2023年春節(jié)影市非常火爆，其中有三部電影票房不斷刷新以往記錄，為了解某校3000名學(xué)生（其中高一1200人，高二1000人，高三800人）的觀影情況，按年級(jí)采用分層抽樣的方式隨機(jī)調(diào)查了300名在校學(xué)生，看過這三部電影的學(xué)生共有240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，據(jù)統(tǒng)計(jì)觀看過這二部電影的學(xué)生對(duì)這三部電影的綜合評(píng)分的平均數(shù)和方差如下：高一高二高三平均數(shù)987方差321則下列說法正確的是（）A．抽取的300名學(xué)生中高三學(xué)生有80人B．估計(jì)該校高一學(xué)生觀看這三部電影的概率為C．估計(jì)該校學(xué)生對(duì)這三部電影的綜合評(píng)分的平均數(shù)為8D．該校高三學(xué)生對(duì)這三部電影的綜合評(píng)分波動(dòng)最小11．已知圓，直線，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線與圓可能相切C．直線被圓截得的弦長的最小值為4D．當(dāng)時(shí)，圓上到直線距離為2的點(diǎn)恰有三個(gè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．一圓柱側(cè)面展開圖是邊長為8的正方形，則該圓柱的體積為______．13．已知，則在方向上的投影向量的模為______．14．在三棱錐中，和是邊長為2的正三角形，且平面平面，是棱上一點(diǎn)，點(diǎn)是三棱錐外接球上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知直線，直線．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．16．（15分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．17．（15分）鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世．現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示．（1）請(qǐng)估計(jì)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在和內(nèi)的板栗中抽取5顆，再從這5顆板栗中隨機(jī)抽取2顆，求抽取到的2顆板栗中至少有1顆的質(zhì)量在內(nèi)的概率．18．（17分）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，平面．（1）求三棱錐的體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值．19．（17分）已知焦點(diǎn)在軸上的等軸雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，且到的漸近線的距離為，直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）．（1）當(dāng)時(shí)，證明：以為直徑的圓經(jīng)過兩點(diǎn)．（2）設(shè)直線的斜率分別為，若點(diǎn)在雙曲線上，證明為定值，并求出該定值．?dāng)?shù)學(xué)開學(xué)考試卷參考答案1．A直線的斜率為，所以其傾斜角為．2．B雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)?，所以，所以離心率為．3．C拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為．4．B因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為8．5．D設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則解得6．A因?yàn)?，所以的周長為24．7．D將圓臺(tái)補(bǔ)形為圓錐，可得圓錐的底面半徑為6．因?yàn)閳A臺(tái)的高為10，所以圓錐的高為15，母線長為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．8．C記6個(gè)模塊分別為，則甲從中選擇2個(gè)共有，種不同的選擇，而甲每種的選擇中乙與甲都不同有6種，所以甲、乙各選2個(gè)共有種不同選擇，而甲、乙選擇都不同有種不同選擇，所以甲、乙選修的模塊中至少有1個(gè)相同的概率．9．AD因?yàn)?，且橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的長軸長為，焦距為，短半軸長為，離心率．10．AD因?yàn)?000人中抽取300人，所以按抽取，所以抽取的300人中高三有80人，故A正確；因?yàn)槌槿〉母咭粚W(xué)生人數(shù)為120，其中觀看這三部電影的有100人，所以觀看這三部電影的頻率為，所以估計(jì)該校高一學(xué)生觀看這三部電影的概率為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橛^看這三部電影的學(xué)生共240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，設(shè)高一、高二、高三學(xué)生對(duì)這三部電影的綜合評(píng)分的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，所以該校學(xué)生對(duì)這三部電影的綜合評(píng)分的平均數(shù)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵撔８呷龑W(xué)生對(duì)這三部電影的綜合評(píng)分的方差最小，所以D正確．11．ACD直線的方程整理可得，由，得即直線恒過定點(diǎn)，故A正確．因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓不可能相切，故B不正確．設(shè)點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長最?。?yàn)椋灾本€被圓截得的弦長的最小值為，故C正確．圓心，半徑為3，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以圓上到直線距離為2的點(diǎn)恰有三個(gè)，故D正確．12．設(shè)該圓柱的底面半徑為，則，所以，故該圓柱的體積為．13．因?yàn)?，所以，所以在方向上的投影向量的模為?4．如圖1，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，的周長最?。藭r(shí)，且．三棱錐的外接球?yàn)閳D2中右側(cè)長方體的外接球，因?yàn)樵撻L方體的長寬高分別為，所以外接球的半徑為．建立空間直角坐標(biāo)系，可知，則，所以．15．解：（1）因?yàn)?，所以，整理得，解得或．?dāng)時(shí)，，重合；當(dāng)時(shí)，，符合題意．故．（2）因?yàn)?，所以，解得?6．解：（1）因?yàn)?，所以，故拋物線的方程為．（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即．17．解：（1）因?yàn)椋栽摪謇鯃@的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，解得，即該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5．（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，分別記為；從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，分別記為．從這5顆板栗中隨機(jī)抽取2顆的情況有，共10種，其中符合條件的情況有，共7種，故所求概率．18．解：（1）在直角梯形中，因?yàn)椋赃B接（圖略）．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以令，得．設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以令，得．因?yàn)椋云矫媾c平面夾角的余弦值為．19