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文檔簡介
專題12空間向■及其坐標表示
★★★★學習目標★★★★
1.理解空間向量坐標的概念,會確定一些簡單幾何體的頂點坐標.
2.掌握空間向量的坐標運算規(guī)律,會判斷兩個向量的共線或垂直.
3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間距離公式,并能運用這些知識解決一些相關問
題.
★★★★問題導學★★★★
知識點一空間向量的坐標運算
思考設機=3,yD,〃=3,刈),那么加+小m-n,力n,機?"如何運算?
答案m+n=(x\+x2,yi+y2),m—n=(x\—X2,川一以),Am=(AXi,Ayi),mn=x\X2-\-y\y2.
梳理(1)空間向量a,b,其坐標形式為:a=(〃”。2,。3),b=(b\,bz,左),
則。+5=(4]+力|,〃2+82,內(nèi)+必),
a-b=Q-bi,。2-岳,俏—左),
癡=(九7],力。2,2々3),
+。282+〃363.
(2)a.a=|a|2=a;
知識點二空間向量的平行、垂直及模、夾角
設。=(。1,。2,。3),b=(h\,M①),則
滿足條件
名稱
向量表示形式坐標表示形式
a//ba=WeR)cii=/b1,。2=壯>2,〃3=2Z?3(2£R)
a-Lbab=01+a2b2+。3優(yōu)=0
模\a\=\la-a\u\=yjQ;+Q;+dy
cos〈a,b)=
/a,b
夾角cos(a,b)---------
⑷聞a}b]+612b2+a3b3
+a;+a;?J廳+房+片
★★★★典型例題★★★★
類型一空間直角坐標系與空間向量的坐標表示
例1設正四棱錐SPP2P3P4的所有棱長均為2,建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求可卜由>3的坐標.
解如圖所示,建立空間直角坐標系,其中。為底面正方形的中心,PiP21Oy
軸,PI「4_L0X軸,5。在Oz軸上.;|PIP2|=2,而PI、生、尸3、Rj均在xOy平
面上,
P2(-1,1,0).
在xOy平面內(nèi),P.3與尸I關于原點O對稱,2與尸2關于原點。對稱,.?.尸3(-1,-1,0),
巴(1,-1,0).
又|SP|=2,|OPi|=0,
在RtASOP,中,|SO|=y/2,
/.5(0,0,&).
SP?=OPi—OS=(1,1,--\/2),
P2Pi=OP3—OP2=(0,—2,0).
反思與感悟建立適當?shù)目臻g直角坐標系,以各點的坐標表示簡單方便為宜.
向量的坐標即終點坐標減去起點坐標對應的坐標.求點的坐標時,一定要注.意向量的起點是否在原
點,在原點時,向量的坐標與終點坐標相同;不在原點時,向量的坐標加上起點坐標才是終點坐標.
跟蹤訓練1如圖所示的空間直角坐標系中,正方體ABCD-A山iGOi的棱長為
1,則屈1等于()
4
A.(0,卜1)
B.J—,0?1
I4
1、
C.0,——,1
4
D.0,-1
4
答案C
3—■1
解析仇1,1,0)、Ei(l,1),BEi=(0,1).
44
類型二空間向量平行、垂直的坐標表示
例2己知空間三點4(-2,0,2).,5(-1,1,2),C(一3,0,4),設片通,b=AC.
(1)設|c|=3,c//BC.求c;
⑵若ka~\~b與ka-2b互相垂直,求k.
解(1)因為方C=(—2,—1,2),且?!↗BC,
所以設c=ZBC=(—2A,—z,2z),
得|c|=J(-21)~+(2))~=3|A|=3,
解得2=±1.即c=(—2,—1,2)或c=(2,l,-2).
(2)因為a=AB=(1,1,0),b=AC=(—1,0,2),
所以&r+b=(A—1,Z,2),ka—25=(&+2,k,-4).
又因為(布+b)_L(ki-2b),所以(而+b)?(Za—2〃)=0.
即(%—1,k,2)-(k+2,k,-4)=2/+2—10=0.
解得k—2或——.
2
反思與感悟向量平行與垂直問題的三種題型
題型1:空間向量平行與垂直的判斷,利用空間向量平行.與垂直的條件進行判斷.題型2:利用平行
與垂直求參數(shù)或其他問題,,即平行與垂直的應用,解題時要注意:①適當引入?yún)?shù)(比如向量a,b
平行,可設a=M),建立關于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標形式,以達到簡化運算的目的.題型3:
利用向量坐標處理空間中的平行與垂直:①向量化:即將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與
平行;②向量關系代數(shù)化:即寫出向量的坐標;③求解:利用向量的坐標運算列出關系式求解.
跟蹤訓練2(2020?宜賓市敘州區(qū)第二中學校高三一模(理))如圖,已知三棱柱ABC-中,
側(cè)棱與底面垂直,且A4,=AB=AC=2,ABYAC,M>N分別是CG、8c的中點,點P在
線段上,且第=丸函.
(1)求證:不論X取何值,總有
(2)當2=1時,求平面PMV與平面ABC所成二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)叵.
14
【解析】以點A為坐標原點,以AB、AC.A4所在直線分別為x、y、z軸,建立如下圖所示
的空間直角坐標系A—孫z,則4(0,0,2),B,(2,0,2),M(0,2,1),N(l,l,0).
_____________1_____0()/
(1)?.?平=4西=4(刎一F),=2,0,0)=1J-J,0,0
+邛=(0,0,2)+[三,0,0]=1二,0,2
麗=瓶一/=(][,0)一(思,0,2)(修」,一2
?.,加=(0,2,1),.?.府.麗=0+2-2=0,
因此,無論2取何值,AMA.PN;
(2)當4=1時,P(l,0,2),麗=(0,1,—2),PM=(-1,2,-1),
而平面ABC的法向量3=(0,0,1),設平面PMN的法向量為而=(x,y,l),
in-PM=-x+2y-l=0
,解得c,則肩=(3,2,1),
m-PN=y-2=0y=2
設a為平面PMN與平面ABC所成的銳二面角,則cosa=
因此,平面PMV與平面ABC所成二面角的余弦值是巫
14
類型三空間向量的夾角與長度的計算
例3(2020?廣東省高三其他(?理))已知幾何體45CD£下中,AB//CD,FC//EA,AD±AB,
AEJ_面ABCD>AB=AD=EA-2,CD-CF=4.
(1)求證:平面皮肥_L平面BCf;
(2)求二面角E-BO-F的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
3
【解析】(1)證明:在直角梯形ABCD中由已知可得
'.'FC//EA,且面ABCD,
.?.R7_L平面ABC。,
BC(^ABCD,:.BDLFC,
FC[}BC=C,BCu面BCF,FCu面8CF
且BDu面BDF,故面面BCR;
(2)分別以D4、QC所在直線為x軸、>軸,以。為垂足作面D4c的垂線。Z為z軸,建系如圖
0(0,0,0),8(2,2,0),E(2,0,2)戶(0,4,4),
則加=(2,2,0),詼=(2,0,2),方=(0,4,4),
設面DEB的法向量為m-(x,y,z),
伍?麗=012x+2y=0
則〈一口〈c?八,
、m-DE=0I2x+2z=0
取X=l,則y=z=-l,故而=(1,一1,一1)
、、_n-DB-02x+2y=0
設面QB/7的法向量為〃=(x,y,z),則<---,八,
而?DF=U[4y+4z=0
取1=[,則y=-l,z=l,故3=(1,-1,1)
m-n_1+1-1_1
則cos<m,n>-
Im|?|n|V3x733
由圖可得二面角E-BO-F的余弦值為;.
反思與感悟通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征,建立適當?shù)淖鴺讼?,使盡可能多的點落在坐標軸上,以
便寫點時便捷.建立坐標系后,寫出相關點的坐標,然后再寫出相應向量的坐標表示,把向量坐標
化,然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題.
跟蹤訓練3(2020?江蘇省高二期中)在直三棱柱ABC-45C中,ABLAC,
AB=AC=2,AA=4,點。是8C的中點.
B
(1)求異面直線48,AG所成角的余弦值;
(2)求直線AB】與平面GAO所成角的正弦值;
(3)求異面直線48與AQ的距離.
【答案】(1)£.(2)(3)-
5153
【解析】以入月,AC>-為X,y,z軸建立按直角坐標系4一孫Z,
則各點的坐標為3(2,0,0),4(0,0,4),G(0,2,4),£>(1,1,0).如圖:
(1)所以常=(2,0,—4),元=(0,2,4),
--------164
所以cos<AB,AC,>=—j=——7==一一
G1720x7205
4
故異面直線AB和AC,所成角的余弦值為y.
(2)涵=(2,0,4),AP=(l,l,0),設平面GA。的法向量為3=(x,y,z).
n-AC.=02y+4z=0
則《-1即<,取x=i,得〃
n-AD=0x+y=0
福4石
設直線A⑸與平面GA。所成角為仇則sin8=卜os<鬲,3>卜
所以直線A片與平面所成角的正弦值為也I.
15
(3)連接4。交于點M,連接DM,易得。
所以4BII平面GA。,故點A1到平面C,AD的距離即為所求異面直線距離.
0xl+0x(-l)+4xl2
陽臼3,
記點A到平面GAO的距離為d,則"=邛「2~3?
4
所以異面直線A/與A。的距離為一.
3
★★★★綜合訓練★★★★
一、單選題
1.(2020.上海高三專題練習)已知向量M=(1,O,—1),則下列向量中與1成60,的是()
A.(-1,1,0)B.(l,-l,0)C.(O,-l,l)D.(-1,0,1)
【答案】B
【解析】對于A選項中的向量[=(-1,0,1),COS〈且7〉=百百一11一
^7^=一萬,則〈24〉=120。;
.-―\。?生11
對于B選項中的向量Z=(l,-1,0),…〉=麗"萬丁5,■?則〈2〃2〉=6();
Cl-—1
對于C選項中的向量Z=(O,—1,1),cosVZq〉-2)則3,Z〉=120°;
|a|-|a2|近,近
對于D選項中的向量%=(—1,0,1),止匕時£=一夕,兩向量的夾角為180°.故選B.
2.(2020?寧夏回族自治區(qū)賀蘭縣景博中學高二月考(理))已知向量不=(1』,0),5=(一1,0,2),且
布+B與2萬-日互相垂直,則%=()
73-1
-C-
A.5B.5D.
-
5
【答案】A
【解析】因為。=(1,1,0),力=(一1,0,2)
:.kci+b=(k—1,左,2),2a—~=(3,2,—2)
又因為女方+B與2l—坂互相垂直,所以+方>(2£—6)=0,
7
,3左一3+2攵-4=0,解得z=§,故選:A.
3.(2020?寧夏回族自治區(qū)賀蘭縣景博中學高二月考(理))已知£=(—5,6,1),B=(6,5,0),則Z與
b()
A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向
【答案】A
【解析】a=(-5,6,1),^=(6,5,0),
B=—5x6+6x5+1x0=0,Q_L反故選:A.
4.(2020?延安市第一中學高二月考(理))已知萬=(2,—3,1),弓=(4,—6,幻,若],B,則1等于
()
A.-26B.-10C.2D.10
【答案】A
【解析】根據(jù)題意,由于M=(2,—3,1),5=(4,—6/),且有則可知
a-b=0<=>2x4+(-3)x(-6)+lxx=0<=>x=-26,故可知選A.
rr
5.(2020.宜賓市敘州區(qū)第一?中學校高二月考(理))若向量2=(1,-1,2),^=(2,1,-3),則2a+b=
()
A.近B.2&C.3D.3亞
【答案】D
【解析】由于向量2=(1,—1,2),7(2,1,—3),所以2:+力=(4,—1,1).
故+1=〃2+(—ly+F=而=3五.故選:D.
6.(2020?綏德中學高二期末(理))已如向量1=(1,1,0),K=(-l,0,l)Kfca+石與日互相垂直,則k=()
A-拉打一竺?
【答案】B
【解析】根據(jù)題意,kd+b=fc(l,l,0)+(-1,0,2)=(/c-1,k,2).因為(k五+私1d,所以(/cd+?)?
2=0,則lx(k-l)+kx1+0x2=0,即上=也故選B
7.(2020?安徽省高二期中(理))已知互=(1T,1T"),5=(2,fj),則隆-5|的最小值為()
A.逑B.且C.—D.亞
5555
【答案】A
【解析】已知1=(1—//一,,/),b=(2,t,t\5-^=(-l-M-2r,0).
\a-b\^^(l+r)2+(l-202=產(chǎn)-2f+2=^5(Z-1)2+|>手.
當f時,忖一司有最小值之叵.故選A.
8.(2020?浙江省高三其他)平面2的法向量五=(2,-2,2),平面夕的法向量爐=(1,2,1),則下列命
題正確的是()
A.a、£平行B.a、£垂直C.&、£重合D.a、/不垂直
【答案】B
【解析】平面a的法向量力=(2,-2,2),平面夕的法向量/=(1,2,1),
因為萬.口=2-4+2=0,所以兩個平面垂直.故選:B.
9.(2020?江蘇省祁江中學高一期中)若向量&=(0,1,—1),6=(1,1,0),且0+播)"則實數(shù)4的
值是()
A.-IB.0C.-2D.1
【答案】C
【解析】由已知£+%萬=(0,1,-1)+2(1,1,0)=(2,1+2,-1),
由(Z+/iB),£得:0+力6%=(;1,1+/1,—1)?(0,1,—1)=1+/1+1=0,
/.A--2,故選:C.
10.(2020?浙江省杭州第二中學高三月考)己知長方體—中,45=4,BC=3,
AA=2,空間中存在一動點P滿足|印卜1,記/1=福?麗,I2^ADAP,,3=菊.麗,
則().
A.存在點P,使得4=//.存在點產(chǎn),使得/|=A
C.對任意的點P,有對任意的點P,有/2>八
【答案】C
【解析】以片4為X軸,4G為y軸,為z軸,用為坐標原點、建立如圖所示的空間直角坐
標系,
則3(0,0,2),4(4,0,2),£>(4,3,2),C,(0,3,0),設點P(x,y,z),
所以方=(T,0,0),麗=(x—4,y,z-2),而=(0,3,0),乃=(Y,3,-2),即=(x,y,z),
因為|耳尸|=1,所以,x2+y2+z2=l,y,z,
=A6AP=^(x-4),I2=ADAP=3y,
I3—AC1,A.P=-4(x—4)+3y-2(z-2),
,—,2=T(尤—4)-3y=16—4x—3y>。恒成立,故C正確,A不正確;
乙-,3=—3y+2(z—2)=T—3y+2z,令人=人,則y=~,
即卜次+2=/+(^<+z2=卜,—尸6Ng[6z+16
/4xl3xl6-
\4x134/矛盾,所以B不正確;
3V13
1、—13=4(x—4)+2(z—2)——20+4x+2z<。恒成立,所以D不正確.
故選:C.
11.(2020?北京高三期末)若點N為點M在平面。上的正投影,則記N=£(M).如圖,在棱長
為1的正方體—中,記平面AgCQ為夕,平面438為7,點尸是棱CG上一
動點(與c、q不重合)2=力[為(尸)[,Q2=^[4(P)]?給出下列三個結(jié)論:
「1
①線段P02長度的取值范圍是不,:;
②存在點「使得PQ"平面£;
③存在點p使得P0八PQ2.
其中,所有正確結(jié)論的序號是()
A.①②③B.②③C.①③D.①②
【答案】D
【解析】取G。的中點。2,過點P在平面A4G。內(nèi)作PELG。,再過點E在平面CGR。內(nèi)
作EQ_LC。,垂足為點2.
在正方體ABCD—ABGR中,AZ)J_平面CCQQ,/>£匚平面?!?。,;.尸£:_1_4),
又;PELCQ,A£>nCQ=。,,?.PE_L平面ABC。,即PE_L£,.(P)=E,
同理可證鳳2”,CQ±/3,則4力(尸)卜力(E)=0,方[%(P)]=%(C)=2.
以點。為坐標原點,DA、OC、所在直線分別為X軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。一孫z,
設CP=a(O<a<l),則P(0,l,a),C(0,l,0),弓0,彳,,
,等q
0m?
、2
1I,?.?0<?<1,則一;<"g<g,則0411
對于命題①,|P0|=a——<—,
2274
「I0
所以,|PQ|,命題①正確;
22)
對于命題②,-:CQ2Lp,則平面夕的一個法向量為恒=(o,—g,g),
甩=(0,—令函.甩=號一畀子=0,解得"生(0,1),
所以,存在點p使得尸。1〃平面£,命題②正確;
對于命題③,而;=(0,-1,D,令地?.皿=三+e。-1)=0,
(Z2.)42
整理得46—3a+l=0,該方程無解,所以,不存在點P使得PQJP2,命題③錯誤.
故選:D.
12.(2017?臺州市書生中學高二開學考試)如圖,在長方體ABCD-A|B|C|D|中,AB=1,BC=JL
點M在棱CCi上,且MD】_LMA,則當aMADi的面積最小時,棱CC1的長為()
A.^1B.典C.2D.垃
22
【答案】A
【解析】
如圖所示,建立空間直角坐標系,0(0,0,0),設"(0,1,。,2(0,0,Z),
A(V3,0,0),(z>/>0,z^0),M^=(0,-l,z-/),W=(-V3,l,r),
?.?函_L麗.?.西.麗=T+1z-r)=0,即z—/=;,
S“MD、J1>I函卜;XJ12+M『+/X'+(ZT)2=;XV^7J1+(ZT)2
NN,乙
=",+"1+£|=4+入*4+2h?=/當且僅當"3,z=乎時取
等號,所以CG=z=竽,故選A.
二、填空題
13.(2020.延安市第一中學高二月考(理))已知商=(2,4,x),5=(2,y,2),若|利=6、aLb.
則尤+y的值是.
【答案】一3或1
【解析】因為。=(2,4,x),5=(2,y,2),|利=6,1_(_坂,
lai=V22+42+x2=6[x=4fx=-4
所以F1,解得:\°或{,,
無人=4+4y+2x=0〔丁=-3p=l
因此x+y=l或一3.故答案為:—3或1.
14.(2020寧夏回族自治區(qū)銀川二中高二期末(理))已知向量
2=(0,—1,1),萬=(4,1,0),四+司=屈,且4>0,則4=.
【答案】3
【解析】因為a=(0,—1,1),5=(4,1,0),14+同=后,
所以初+5=(4,1-2,2),
可得16+(1—4)2+九2=29,
因為2>0,解得;1=3,故答案為3.
15.(2020?合肥一六八中學高三其他(理))已知長方體ABCD-,AB=BC=1,A&=2,
在A4上取一點M,在BC上取一點M使得直線MN//平面AACG,則線段MN的最小值為
2
【答案】一
3
【解析】如圖,以D4,DC,£>A為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則A(l,0,0),C(0,l,0),0(0,0,0),4(1,0,2),(1,1,2),C,(0,1,2),D,(0,0,2),
AC=(-1,1,0),羽=(0,0,2),設平面AC04的一個法向量為萬=(.y,z),
[p-AC=-x+y=0.八一
則〈一—-c八,取x=l,則丁=1匕=0,即〃=(1,1,()),
[p?A4,=2z=0
又相=(0,1,-2),眉=(一1,0,-2),4^=(0,1,0),
944
22
1+a-+
55-9-9-
九_4£±1=0
當,5即<:時,]旃『取得最小值即腦V的長度的最小值為|.
//--=0
I9
2
故答案為:一.
3
16.(2020?安徽省北大附宿州實驗學校高二期末(理))若平面a,0的法向量分別為£=(4,0,3),
v=(-1,1,0),則這兩個平面所成的銳角的二面角的余弦值為.
【答案]逑
5
【解析】兩個平面a,耳的法向量分別為:=(4,0,3),v=(-1,1,0)-
則這兩個平面所成的銳二面角的大小是0,
這兩個平面所成的銳二面角的余弦值為述.
5
故答案為:述
5
三、解答題
17.(2020?上海高三專題練習)如圖,在正三棱柱A8C-44G中,A3=2,M=3,p為側(cè)
棱CG上一點.
(1)求證:側(cè)棱CG上不存在點P使用P,平面A8A4;
(2)CG上是否存在點P使得若存在,確定PC的長;若不存在,說明理由.
7
【答案】(1)證明見解析;(2)存在,一
3
【解析】(1)反證法.若CG上存在點P,使J_平面ABB{\,則平面BCC.B,1平面ABBX\.
又耳,8C,面AB4A..矛盾;
(2)如圖,以A為坐標原點建立空間直角坐標系.
設尸(0,2,z),4(。,。,3),5(73,1,0),5,(734,3),
故4戶=(^3),邛=(百,1,一3),若AB則47.入方=(),故-3+l-3(z-3)=0,
解得z=Z,此時P(0,2,Z],故PC=N
3I3j3
18.(2020?上海復旦附中高二期中)如圖四棱錐P—A3?!踔校琎4,底面ABC。,AACD是邊長
為2的等邊三角形,且AB=BC=&,PA=2,點M是棱PC上的動點.
(I)求證:平面PAC_L平面P8E>;
(II)當線段MB最小時,求直線MB與平面P8D所成角的正弦值.
【答案】(I)證明見解析;(II)叵.
10
【解析】(I)證明::24,底面ABC。,BDu底面ABCD,
;?PAA.BD.
取AC的中點O,連接08,0。,
???△ACD是等邊三角形,AB=BC,
/.ACLOB,AC10D,
.?.點O,B,£>共線,從而得AC±BD,
又PAC|AC=A,
3。,平面PAC,
■:BOu平面P3D,
,平面P4C_L平面尸比?.
(II)解:取CP中點E,連接OE,則OE〃弘,
/.EO_L底面A8Q9,
OC,QD,OE兩兩垂直.
以。為原點如圖建立空間直角坐標系Oxyz,
則B(0,T,0),C(l,0,0),£>(0,G,0),P(T,0,2),
BD=(0,0+1,0),旃=(-1,1,2),
設平面PBD的法向量為n=(x,y,z),
元?麗=(6+l)y=0[y=0
由I―V7,得Vc
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