高中數(shù)學人教A版2019選修第一冊教案空間向量及其運算的坐標表示

專題12空間向■及其坐標表示

★★★★學習目標★★★★

1.理解空間向量坐標的概念，會確定一些簡單幾何體的頂點坐標.

2.掌握空間向量的坐標運算規(guī)律，會判斷兩個向量的共線或垂直.

3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間距離公式，并能運用這些知識解決一些相關問

題.

★★★★問題導學★★★★

知識點一空間向量的坐標運算

思考設機=3，yD，〃=3，刈），那么加+小m-n,力n,機?"如何運算？

答案m+n=（x\+x2,yi+y2），m—n=（x\—X2,川一以），Am=（AXi,Ayi）,mn=x\X2-\-y\y2.

梳理（1）空間向量a,b,其坐標形式為：a=（〃”。2，。3），b=（b\,bz,左）,

則。+5=（4]+力|,〃2+82，內(nèi)+必），

a-b=Q-bi，。2-岳，俏—左），

癡=（九7],力。2，2々3），

+。282+〃363.

（2）a.a=|a|2=a；

知識點二空間向量的平行、垂直及模、夾角

設。=（。1，。2，。3），b=（h\,M①），則

滿足條件

名稱

向量表示形式坐標表示形式

a//ba=WeR）cii=/b1,。2=壯＞2,〃3=2Z?3（2￡R）

a-Lbab=01+a2b2+。3優(yōu)=0

模\a\=\la-a\u\=yjQ；+Q；+dy

cos〈a,b)=

/a,b

夾角cos(a,b)---------

⑷聞a}b]+612b2+a3b3

+a；+a；?J廳+房+片

★★★★典型例題★★★★

類型一空間直角坐標系與空間向量的坐標表示

例1設正四棱錐SPP2P3P4的所有棱長均為2,建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求可卜由＞3的坐標.

解如圖所示，建立空間直角坐標系，其中。為底面正方形的中心，PiP21Oy

軸，PI「4_L0X軸，5。在Oz軸上.；|PIP2|=2,而PI、生、尸3、Rj均在xOy平

面上，

P2(-1,1,0).

在xOy平面內(nèi)，P.3與尸I關于原點O對稱，2與尸2關于原點。對稱，.?.尸3(-1,-1,0),

巴(1,-1,0).

又|SP|=2,|OPi|=0,

在RtASOP,中，|SO|=y/2,

/.5(0,0,&).

SP?=OPi—OS=(1,1,--\/2),

P2Pi=OP3—OP2=(0,—2,0).

反思與感悟建立適當?shù)目臻g直角坐標系，以各點的坐標表示簡單方便為宜.

向量的坐標即終點坐標減去起點坐標對應的坐標.求點的坐標時，一定要注.意向量的起點是否在原

點，在原點時，向量的坐標與終點坐標相同；不在原點時，向量的坐標加上起點坐標才是終點坐標.

跟蹤訓練1如圖所示的空間直角坐標系中，正方體ABCD-A山iGOi的棱長為

1,則屈1等于（）

4

A.（0,卜1）

B.J—,0?1

I4

1、

C.0,——,1

4

D.0,-1

4

答案C

3—■1

解析仇1,1,0）、Ei（l,1）,BEi=（0,1）.

44

類型二空間向量平行、垂直的坐標表示

例2己知空間三點4(-2,0,2).,5(-1,1,2),C(一3,0,4),設片通,b=AC.

(1)設|c|=3,c//BC.求c；

⑵若ka~\~b與ka-2b互相垂直，求k.

解(1)因為方C=(—2,—1,2),且?！↗BC,

所以設c=ZBC=(—2A,—z,2z),

得|c|=J(-21)~+(2))~=3|A|=3,

解得2=±1.即c=(—2,—1,2)或c=(2,l,-2).

(2)因為a=AB=(1,1,0),b=AC=(—1,0,2),

所以&r+b=(A—1,Z,2),ka—25=(&+2,k,-4).

又因為(布+b)_L(ki-2b),所以(而+b)?(Za—2〃)=0.

即(％—1,k,2)-(k+2,k,-4)=2/+2—10=0.

解得k—2或——.

2

反思與感悟向量平行與垂直問題的三種題型

題型1：空間向量平行與垂直的判斷，利用空間向量平行.與垂直的條件進行判斷.題型2：利用平行

與垂直求參數(shù)或其他問題，,即平行與垂直的應用，解題時要注意：①適當引入?yún)?shù)（比如向量a,b

平行，可設a=M）,建立關于參數(shù)的方程；②最好選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的.題型3:

利用向量坐標處理空間中的平行與垂直：①向量化：即將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與

平行；②向量關系代數(shù)化：即寫出向量的坐標；③求解：利用向量的坐標運算列出關系式求解.

跟蹤訓練2（2020?宜賓市敘州區(qū)第二中學校高三一模（理））如圖，已知三棱柱ABC-中，

側(cè)棱與底面垂直，且A4,=AB=AC=2,ABYAC,M>N分別是CG、8c的中點，點P在

線段上，且第=丸函.

（1）求證：不論X取何值，總有

（2）當2=1時，求平面PMV與平面ABC所成二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

14

【解析】以點A為坐標原點，以AB、AC.A4所在直線分別為x、y、z軸，建立如下圖所示

的空間直角坐標系A—孫z,則4（0,0,2）,B,（2,0,2）,M（0,2,1）,N（l,l,0）.

_____________1_____0()/

(1)?.?平=4西=4(刎一F)，=2,0,0)=1J-J,0,0

+邛=(0,0,2)+[三,0,0]=1二,0,2

麗=瓶一/=（][,0）一（思,0,2）（修」,一2

?.,加=（0,2,1）,.?.府.麗=0+2-2=0,

因此，無論2取何值，AMA.PN；

（2）當4=1時，P（l,0,2）,麗=（0,1,—2）,PM=（-1,2,-1）,

而平面ABC的法向量3=（0,0,1）,設平面PMN的法向量為而=（x,y,l）,

in-PM=-x+2y-l=0

，解得c,則肩=（3,2,1）,

m-PN=y-2=0y=2

設a為平面PMN與平面ABC所成的銳二面角，則cosa=

因此，平面PMV與平面ABC所成二面角的余弦值是巫

14

類型三空間向量的夾角與長度的計算

例3（2020?廣東省高三其他（?理））已知幾何體45CD￡下中，AB//CD,FC//EA,AD±AB,

AEJ_面ABCD>AB=AD=EA-2，CD-CF=4.

（1）求證：平面皮肥_L平面BCf；

（2）求二面角E-BO-F的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

3

【解析】（1）證明：在直角梯形ABCD中由已知可得

'.'FC//EA,且面ABCD,

.?.R7_L平面ABC。，

BC（^ABCD,:.BDLFC,

FC[}BC=C,BCu面BCF,FCu面8CF

且BDu面BDF,故面面BCR;

(2)分別以D4、QC所在直線為x軸、>軸，以。為垂足作面D4c的垂線。Z為z軸，建系如圖

0(0,0,0),8(2,2,0),E(2,0,2)戶(0,4,4),

則加=(2,2,0),詼=(2,0,2),方=(0,4,4),

設面DEB的法向量為m-(x,y,z),

伍?麗=012x+2y=0

則〈一口〈c?八，

、m-DE=0I2x+2z=0

取X=l,則y=z=-l,故而=(1,一1,一1)

、、_n-DB-02x+2y=0

設面QB/7的法向量為〃=(x,y,z),則<---,八，

而?DF=U[4y+4z=0

取1=[,則y=-l,z=l,故3=(1,-1,1)

m-n_1+1-1_1

則cos<m,n>-

Im|?|n|V3x733

由圖可得二面角E-BO-F的余弦值為;.

反思與感悟通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當?shù)淖鴺讼?，使盡可能多的點落在坐標軸上，以

便寫點時便捷.建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，把向量坐標

化，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題.

跟蹤訓練3(2020?江蘇省高二期中)在直三棱柱ABC-45C中，ABLAC,

AB=AC=2,AA=4,點。是8C的中點.

B

(1)求異面直線48,AG所成角的余弦值;

(2)求直線AB】與平面GAO所成角的正弦值;

(3)求異面直線48與AQ的距離.

【答案】(1)￡.(2)(3)-

5153

【解析】以入月，AC＞-為X,y,z軸建立按直角坐標系4一孫Z,

則各點的坐標為3(2,0,0),4(0,0,4),G(0,2,4),￡>(1,1,0).如圖:

(1)所以常=(2,0,—4),元=(0,2,4),

--------164

所以cos<AB,AC,>=—j=——7==一一

G1720x7205

4

故異面直線AB和AC,所成角的余弦值為y.

(2)涵=(2,0,4),AP=(l,l,0),設平面GA。的法向量為3=(x,y,z).

n-AC.=02y+4z=0

則《-1即<,取x=i,得〃

n-AD=0x+y=0

福4石

設直線A⑸與平面GA。所成角為仇則sin8=卜os＜鬲,3＞卜

所以直線A片與平面所成角的正弦值為也I.

15

(3)連接4。交于點M,連接DM，易得。

所以4BII平面GA。，故點A1到平面C,AD的距離即為所求異面直線距離.

0xl+0x(-l)+4xl2

陽臼3,

記點A到平面GAO的距離為d,則"=邛「2~3?

4

所以異面直線A/與A。的距離為一.

3

★★★★綜合訓練★★★★

一、單選題

1.(2020.上海高三專題練習)已知向量M=(1,O,—1),則下列向量中與1成60,的是()

A.(-1,1,0)B.(l,-l,0)C.(O,-l,l)D.(-1,0,1)

【答案】B

【解析】對于A選項中的向量［=(-1,0,1),COS〈且7〉=百百一11一

^7^=一萬，則〈24〉=120。；

.-―\。?生11

對于B選項中的向量Z=(l,-1,0),…〉=麗"萬丁5,■?則〈2〃2〉=6()；

Cl-—1

對于C選項中的向量Z=(O,—1,1),cosVZq〉-2)則3，Z〉=120°；

|a|-|a2|近,近

對于D選項中的向量%=(—1,0,1),止匕時￡=一夕，兩向量的夾角為180°.故選B.

2.(2020?寧夏回族自治區(qū)賀蘭縣景博中學高二月考(理))已知向量不=(1』,0),5=(一1,0,2),且

布+B與2萬-日互相垂直，則％=()

73-1

-C-

A.5B.5D.

-

5

【答案】A

【解析】因為。=(1,1,0),力=(一1,0,2)

:.kci+b=(k—1，左,2),2a—~=(3,2,—2)

又因為女方+B與2l—坂互相垂直,所以+方>(2￡—6)=0,

7

，3左一3+2攵-4=0,解得z=§,故選：A.

3.(2020?寧夏回族自治區(qū)賀蘭縣景博中學高二月考(理))已知￡=(—5,6,1),B=(6,5,0),則Z與

b()

A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向

【答案】A

【解析】a=(-5,6,1),^=(6,5,0),

B=—5x6+6x5+1x0=0,Q_L反故選：A.

4.(2020?延安市第一中學高二月考(理))已知萬=(2,—3,1),弓=(4,—6,幻，若］，B，則1等于

()

A.-26B.-10C.2D.10

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，由于M=(2,—3,1),5=(4,—6/),且有則可知

a-b=0<=>2x4+(-3)x(-6)+lxx=0<=>x=-26,故可知選A.

rr

5.(2020.宜賓市敘州區(qū)第一?中學校高二月考(理))若向量2=(1,-1,2),^=(2,1,-3),則2a+b=

()

A.近B.2&C.3D.3亞

【答案】D

【解析】由于向量2=(1,—1,2),7(2,1,—3),所以2:+力=(4,—1,1).

故+1=〃2+(—ly+F=而=3五.故選:D.

6.(2020?綏德中學高二期末(理))已如向量1=(1,1,0),K=(-l,0,l)Kfca+石與日互相垂直，則k=()

A-拉打一竺?

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，kd+b=fc(l,l,0)+(-1,0,2)=(/c-1,k,2).因為(k五+私1d，所以(/cd+?)?

2=0,則lx(k-l)+kx1+0x2=0,即上=也故選B

7.(2020?安徽省高二期中(理))已知互=(1T,1T"),5=(2,fj),則隆-5|的最小值為()

A.逑B.且C.—D.亞

5555

【答案】A

【解析】已知1=(1—//一，,/),b=(2,t,t\5-^=(-l-M-2r,0).

\a-b\^^(l+r)2+(l-202=產(chǎn)-2f+2=^5(Z-1)2+|>手.

當f時，忖一司有最小值之叵.故選A.

8.(2020?浙江省高三其他)平面2的法向量五=(2,-2,2),平面夕的法向量爐=(1,2,1),則下列命

題正確的是()

A.a、￡平行B.a、￡垂直C.&、￡重合D.a、/不垂直

【答案】B

【解析】平面a的法向量力=(2,-2,2),平面夕的法向量/=(1,2,1),

因為萬.口=2-4+2=0,所以兩個平面垂直.故選：B.

9.(2020?江蘇省祁江中學高一期中)若向量&=(0,1,—1),6=(1,1,0),且0+播)"則實數(shù)4的

值是()

A.-IB.0C.-2D.1

【答案】C

【解析】由已知￡+%萬=(0,1,-1)+2(1,1,0)=(2,1+2,-1),

由(Z+/iB)，￡得：0+力6％=(；1,1+/1,—1)?(0,1,—1)=1+/1+1=0,

/.A--2,故選：C.

10.(2020?浙江省杭州第二中學高三月考)己知長方體—中，45=4,BC=3,

AA=2,空間中存在一動點P滿足|印卜1,記/1=福?麗，I2^ADAP,，3=菊.麗，

則().

A.存在點P,使得4=//.存在點產(chǎn)，使得/|=A

C.對任意的點P,有對任意的點P,有/2>八

【答案】C

【解析】以片4為X軸，4G為y軸，為z軸，用為坐標原點、建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則3(0,0,2),4(4,0,2),￡>(4,3,2),C,(0,3,0),設點P(x,y,z),

所以方=（T,0,0），麗=（x—4,y,z-2）,而=（0,3,0）,乃=（Y,3,-2）,即=（x,y,z）,

因為|耳尸|=1,所以，x2+y2+z2=l,y,z,

=A6AP=^(x-4),I2=ADAP=3y,

I3—AC1,A.P=-4(x—4)+3y-2(z-2),

，—，2=T（尤—4）-3y=16—4x—3y＞。恒成立，故C正確，A不正確;

乙-，3=—3y+2(z—2)=T—3y+2z,令人=人，則y=~,

即卜次+2=/+(^<+z2=卜,—尸6Ng[6z+16

/4xl3xl6-

\4x134/矛盾，所以B不正確；

3V13

1、—13=4（x—4）+2（z—2）——20+4x+2z＜。恒成立，所以D不正確.

故選：C.

11.（2020?北京高三期末）若點N為點M在平面。上的正投影，則記N=￡（M）.如圖，在棱長

為1的正方體—中，記平面AgCQ為夕，平面438為7,點尸是棱CG上一

動點（與c、q不重合）2=力［為（尸）［,Q2=^［4（P）］?給出下列三個結(jié)論：

「1

①線段P02長度的取值范圍是不，:；

②存在點「使得PQ"平面￡；

③存在點p使得P0八PQ2.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③B.②③C.①③D.①②

【答案】D

【解析】取G。的中點。2,過點P在平面A4G。內(nèi)作PELG。，再過點E在平面CGR。內(nèi)

作EQ_LC。，垂足為點2.

在正方體ABCD—ABGR中，AZ)J_平面CCQQ,/>￡匚平面?！?。，；.尸￡：_1_4)，

又；PELCQ,A￡>nCQ=。，,?.PE_L平面ABC。，即PE_L￡,.(P)=E,

同理可證鳳2”,CQ±/3,則4力(尸)卜力(E)=0,方[%(P)]=%(C)=2.

以點。為坐標原點，DA、OC、所在直線分別為X軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。一孫z,

設CP=a（O<a<l）,則P（0,l,a）,C（0,l,0）,弓0,彳,，

，等q

0m?

、2

1I,?.?0<?<1,則一;<"g<g,則0411

對于命題①，|P0|=a——<—,

2274

「I0

所以，|PQ|,命題①正確;

22)

對于命題②，-：CQ2Lp,則平面夕的一個法向量為恒=(o,—g,g),

甩=(0,—令函.甩=號一畀子=0,解得"生(0,1),

所以，存在點p使得尸。1〃平面￡,命題②正確；

對于命題③，而;=(0,-1，D，令地?.皿=三+e。-1)=0,

(Z2.)42

整理得46—3a+l=0,該方程無解，所以，不存在點P使得PQJP2,命題③錯誤.

故選：D.

12.(2017?臺州市書生中學高二開學考試)如圖，在長方體ABCD-A|B|C|D|中，AB=1,BC=JL

點M在棱CCi上，且MD】_LMA,則當aMADi的面積最小時，棱CC1的長為()

A.^1B.典C.2D.垃

22

【答案】A

【解析】

如圖所示，建立空間直角坐標系，0(0,0,0),設"(0,1,。,2(0,0,Z),

A(V3,0,0),(z>/>0,z^0),M^=(0,-l,z-/),W=(-V3,l,r),

?.?函_L麗.?.西.麗=T+1z-r)=0,即z—/=；,

S“MD、J1>I函卜;XJ12+M『+/X'+(ZT)2=；XV^7J1+(ZT)2

NN，乙

="，+"1+￡|=4+入*4+2h？=/當且僅當"3，z=乎時取

等號，所以CG=z=竽，故選A.

二、填空題

13.(2020.延安市第一中學高二月考(理))已知商=(2,4,x),5=(2,y,2),若|利=6、aLb.

則尤+y的值是.

【答案】一3或1

【解析】因為。=(2,4,x),5=(2,y,2),|利=6,1_(_坂，

lai=V22+42+x2=6[x=4fx=-4

所以F1,解得：\°或｛,，

無人=4+4y+2x=0〔丁=-3p=l

因此x+y=l或一3.故答案為：—3或1.

14.（2020寧夏回族自治區(qū)銀川二中高二期末（理））已知向量

2=（0,—1,1）,萬=（4,1,0）,四+司=屈，且4>0,則4=.

【答案】3

【解析】因為a=（0,—1,1）,5=（4,1,0）,14+同=后,

所以初+5=（4,1-2,2）,

可得16+（1—4）2+九2=29,

因為2>0,解得;1=3,故答案為3.

15.（2020?合肥一六八中學高三其他（理））已知長方體ABCD-,AB=BC=1,A&=2,

在A4上取一點M,在BC上取一點M使得直線MN//平面AACG,則線段MN的最小值為

2

【答案】一

3

【解析】如圖，以D4,DC,￡>A為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則A(l,0,0),C(0,l,0),0(0,0,0),4(1,0,2),(1,1,2),C,(0,1,2),D,(0,0,2),

AC=(-1,1,0),羽=(0,0,2),設平面AC04的一個法向量為萬=(.y,z),

[p-AC=-x+y=0.八一

則〈一—-c八，取x=l，則丁=1匕=0,即〃=(1,1,()),

[p?A4,=2z=0

又相=(0,1,-2),眉=(一1,0,-2),4^=(0,1,0),

944

22

1+a-+

55-9-9-

九_4￡±1=0

當，5即＜:時，］旃『取得最小值即腦V的長度的最小值為|.

//--=0

I9

2

故答案為：一.

3

16.（2020?安徽省北大附宿州實驗學校高二期末（理））若平面a,0的法向量分別為￡=（4,0,3）,

v=（-1,1,0），則這兩個平面所成的銳角的二面角的余弦值為.

【答案］逑

5

【解析】兩個平面a,耳的法向量分別為：=（4,0,3），v=（-1,1,0）-

則這兩個平面所成的銳二面角的大小是0,

這兩個平面所成的銳二面角的余弦值為述.

5

故答案為：述

5

三、解答題

17.（2020?上海高三專題練習）如圖，在正三棱柱A8C-44G中，A3=2，M=3,p為側(cè)

棱CG上一點.

（1）求證：側(cè)棱CG上不存在點P使用P，平面A8A4；

（2）CG上是否存在點P使得若存在，確定PC的長；若不存在，說明理由.

7

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，一

3

【解析】（1）反證法.若CG上存在點P,使J_平面ABB{\,則平面BCC.B,1平面ABBX\.

又耳，8C,面AB4A..矛盾；

（2）如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系.

設尸（0,2,z）,4（。，。，3）,5（73,1,0）,5,（734,3）,

故4戶=（^3）,邛=（百,1,一3）,若AB則47.入方=（），故-3+l-3（z-3）=0,

解得z=Z,此時P（0,2，Z],故PC=N

3I3j3

18.（2020?上海復旦附中高二期中）如圖四棱錐P—A3?！踔校琎4,底面ABC。，AACD是邊長

為2的等邊三角形，且AB=BC=&，PA=2,點M是棱PC上的動點.

（I）求證：平面PAC_L平面P8E＞；

（II）當線段MB最小時，求直線MB與平面P8D所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（II）叵.

10

【解析】（I）證明：：24,底面ABC。，BDu底面ABCD，

；?PAA.BD.

取AC的中點O,連接08,0。，

???△ACD是等邊三角形，AB=BC,

/.ACLOB,AC10D,

.?.點O,B,￡＞共線，從而得AC±BD,

又PAC|AC=A,

3。，平面PAC，

■:BOu平面P3D，

，平面P4C_L平面尸比?.

(II)解：取CP中點E,連接OE,則OE〃弘,

/.EO_L底面A8Q9,

OC,QD,OE兩兩垂直.

以。為原點如圖建立空間直角坐標系Oxyz,

則B（0,T,0）,C（l,0,0）,￡＞（0,G,0）,P（T,0,2）,

BD=（0,0+1,0）,旃=（-1,1,2）,

設平面PBD的法向量為n=（x,y,z）,

元?麗=（6+l）y=0[y=0

由I―V7，得Vc

n-BP--x