2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用專項練

Page1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用專項練一、單選題1．若不等式對隨意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)在上有零點，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．若函數(shù)，當時，恒成立，則的取值范圍（

）A． B． C． D．5．已知，函，若函數(shù)有三個不同的零點，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．已知曲線與在區(qū)間上有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，則實數(shù)m取值范圍為（

）A． B．C． D．8．設(shè)實數(shù)，若不等式對恒成立，則t的取值范圍為（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．已知，若對隨意兩個不等的正實數(shù)都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．函數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)的零點個數(shù)是A．0 B．1C．2 D．312．已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題13．已知是上的偶函數(shù)，當時，，且對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.14．已知函數(shù)，，若函數(shù)只有唯一零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.15．已知函數(shù)，若對隨意正數(shù)，當時，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是______．三、解答題16．已知函數(shù)．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對隨意的，都有成立，求的取值范圍．17．已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)記的兩個極值點為，，求證：.18．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)圖像在處的切線方程；（2）證明：；（3）若不等式對于隨意的均成立，求實數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)(1)當，證明：；(2)若函數(shù)在上恰有一個極值，求a的值．20．已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)k的值；21．已知.(1)求曲線在處的切線方程；(2)當時，證明.22．已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（Ⅱ）求函數(shù)的極值；（Ⅲ）若函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍．1．D【詳解】,當時，，當時，，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，所以取得微小值，也是最小值，，不等式對隨意實數(shù)x都成立，所以.故選:D.2．B【詳解】設(shè)當時，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減時，取得極大值當趨向于，趨向于當時，，單調(diào)遞增依題意可知，直線與的圖象有兩個不同的交點如圖所示，的取值范圍為故選：B3．C【詳解】由函數(shù)存在零點，則有解，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．則時取得最小值，且，所以m的取值范圍是．故選：C4．D【詳解】解：依題意，當時，恒成立，令，，則，又，∴在上單調(diào)遞減，∴，即故選：D．5．B【詳解】當時，，即，故，令，則，令，得，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當時，方程有兩不等實根，當時，方程有一個實根；令，明顯,所以，令，則在上恒成立，則在上遞增，且，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當時，方程在恰有一個實根，即此時有三個不同的零點，綜上，的取值范圍是.故選：B6．A【詳解】曲線與在區(qū)間上有兩個公共點，即在區(qū)間上有兩根，設(shè)，則，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.又，，，故在區(qū)間上有兩根則故選：A7．D【詳解】由題意得：，則，問題轉(zhuǎn)化為y＝m和有2個交點，而，在和上，遞增，在上，遞減，當x趨于正無窮大時，無限接近于0，且，，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：視察圖象得：函數(shù)和的圖象有2個不同的交點時，實數(shù).故選：D．8．B【詳解】對恒成立，即，即，令，，則，故在單調(diào)遞增，故，故，問題轉(zhuǎn)化為，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），故.故選：B．9．B【詳解】解：，，令，明顯為增函數(shù)，則原命題等價于，又令，則，所以時，當時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，所以，所以，即得．故選：B10．A【詳解】對隨意兩個不等的正實數(shù)，都有恒成立，即為時，恒成立.所以在上恒成立，則而，則．故選：A．11．B【詳解】試題分析：,在范圍內(nèi)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)．又，，，故在區(qū)間存在零點，又函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故零點只有一個．考點：導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的零點．12．B【詳解】?x1,x2，當時，，遞減，當時，，遞增，所以當x＝－1時，取得最小值；當x＝－1時取得最大值為，所以，即實數(shù)a的取值范圍是故選：B．13．【詳解】，故為增函數(shù)，當時，，可得為增函數(shù).又為偶函數(shù)，故，恒成立.因為，，所以有，故答案為：14．【詳解】令，得，則當時，令，所以，則在單調(diào)遞減，所以函數(shù)與的圖象，由圖象可知，當，即時，圖象有1個交點，即存在1個零點.故答案為：15．【詳解】由得，令，∴∴在單調(diào)遞增，又∵∴，在上恒成立，即令，則∴在單調(diào)遞減，又因為，∴．故答案為：.16．（1）答案見解析；（2）.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，若對隨意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿意對隨意的恒成立.所以綜上所述：.17．(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）對求導(dǎo)得，由題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為()恒成立，即可求a的取值范圍；（2）由（1）有，是的兩個根，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系易得，，進而可得，即可證結(jié)論.（1）的定義域為，，又單調(diào)，∴對恒成立，即()恒成立，而，當且僅當時取等號，∴.（2）由（1）知：，是的兩個根，則，，且，∴，故，，而，∴，得證.18．（1）；（2）證明見解析；（3）．【詳解】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，即可得出切線的方程．（2）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性極值與最值即可得出．（3）?x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．對a分類探討，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性極值與最值即可得出．試題解析：(1)∵，∴.又由，得所求切線：，即所求切線為.（2）設(shè)，則，令，得，得下表：1單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴，即.（3），，（i）當時，；（ii）當時，，；（iii）當時，設(shè)，，令，得下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減+0-∴，即不滿意等式.綜上，.點睛：導(dǎo)數(shù)問題常常會遇見恒成立的問題：（1）依據(jù)參變分別，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可探討參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.19．(1)證明見解析；(2).【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)推斷的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明結(jié)論.（2）由題意，問題轉(zhuǎn)化為在上有且僅有一個解，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，即可求a值，留意驗證對應(yīng)零點是否變號．（1）由題設(shè)且，則，所以在上遞增，則，得證.（2）由題設(shè)在有且僅有一個變號零點，所以在上有且僅有一個解，令，則，而，故時，時，時，所以在、上遞增，在上遞減，故極大值，微小值，，要使在上與有一個交點，則或或.閱歷證，或時對應(yīng)零點不變號，而時對應(yīng)零點為變號零點，所以.20．（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；【詳解】（1）由得，定義域為，則，由得，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意知方程僅有一個實根，由得，令，則與有且僅有一個交點，又，由得；由得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.當時，.又，所以要使僅有一個零點，則.21．(1)(2)證明見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，再分別求與的最值即可證明.（1）因為，則，，則，所以所求切線方程為，即.（2）由題意，可知，要證明，即證，令，則，當，當，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.令，則，因為，所以當，當，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，所以恒成立，即恒成立，所以當時，.【點睛】解決本題的關(guān)鍵一是對要證明的不等式進行變形，二是分別求兩個新函數(shù)的最值.22．（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間為（1，+），增區(qū)間為（0,1）;（Ⅱ）見解析（Ⅲ）a>1【詳解】（Ⅰ）當a=1時,,f′（x）=當f′（x）<0時，x>1;f′（x）>0時，0<x<1∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，+），增區(qū)間為（0,1）（Ⅱ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x），若a≤0，則f′（x）＜0，此時f（x）在（0，+∞）遞減，無極值若a＞0，則由f′（x）＝0，解得：x＝a，當0＜x＜a時，f′（x）>0，當x＞a時，f′（x）<0，此時f（x）在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減；∴當x=a時，函數(shù)的極大值為f(a)=，無微小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當a≤0時，f（x）在（0，+∞）遞減，則f(x)至多有一個零點，不符合題意，舍去；當a＞0時，函數(shù)的微小值為f(a)=，令g(x)=lnx+x-1(x>0)∵∴g(x)在（0，+∞）單調(diào)遞增，又g(1)=0,∴0<x<1時，g(x)<0;x>1時，g(x)>0(i)

當0<a≤1,f(a)=ag(a)≤0