2025版新教材高中數(shù)學(xué)第五章計數(shù)原理1基本計數(shù)原理1.1分類加法計數(shù)原理1.2分步乘法計數(shù)原理1.3基本計數(shù)原理的簡單應(yīng)用課時作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊

1．1分類加法計數(shù)原理1．2分步乘法計數(shù)原理1．3基本計數(shù)原理的簡潔應(yīng)用學(xué)問點(diǎn)一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用1.有4位老師在同一年級的4個班中分別擔(dān)當(dāng)數(shù)學(xué)老師，在數(shù)學(xué)測驗時要求每位老師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有()A．8種B．9種C．10種D．11種2．在手繪涂色本的某頁上畫有排成一列的6條未涂色的魚，小明用紅、藍(lán)兩種顏色給這些魚涂色，每條魚只能涂一種顏色，兩條相鄰的魚不都涂成紅色，涂色后，既有紅色魚又有藍(lán)色魚的涂色方法種數(shù)為________．3．設(shè)橢圓eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)在y軸上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b∈{1，2，3，4，5，6，7}，求滿意上述條件的橢圓的個數(shù)．學(xué)問點(diǎn)二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用4.將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法的種數(shù)為()A．81B．64C．14D．125．用5種不同的顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定一個區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，共有________種不同的涂色方案．6．(1)用數(shù)字7，8，9可以組成多少個三位數(shù)？(2)用數(shù)字7，8，9可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？學(xué)問點(diǎn)三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用7.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從兩個集合中各選一個數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第三、四象限內(nèi)不同點(diǎn)的個數(shù)為()A．18B．10C．16D．148．甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的隨意三天中參與某項志愿者活動，若要求每人參與一天且每天至多支配一人，且要求甲支配在另外兩位前面，則不同的支配方法共有多少種？關(guān)鍵實(shí)力綜合練一、選擇題1．已知兩條異面直線a、b上分別有5個點(diǎn)和8個點(diǎn)，則這13個點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40B．16C．13D．102．從1，2，3，…，10中隨意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為()A．3B．4C．6D．83．5位同學(xué)報名參與兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．10種B．20種C．25種D．32種4．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{5，8，9}，則從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素集合，則可以組成這樣的新集合的個數(shù)為()A．8B．12C．14D．155．如圖所示，從甲地到乙地有3條馬路可走，從乙地到丙地有2條馬路可走，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走．則從甲地經(jīng)乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數(shù)分別為()A．6，8B．6，6C．5，2D．6，26．[易錯題]現(xiàn)有4種不同顏色，任選其中幾種對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()金榜題名A.144種B．72種C．64種D．84種二、填空題7．現(xiàn)有A，B兩種類型的車床各一臺，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙兩種車床都會操作，丙只會操作A種車床，現(xiàn)在要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩臺車床，則不同的選派方法有______種．8．工人在安裝一個正六邊形零件時，須要固定如圖所示的六個位置的螺栓．若按肯定依次將每個螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓，則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．9．[探究題]有紅、黃、藍(lán)旗各3面，每次升1面、2面或3面旗縱向排列在某一旗桿上表示不同的信號，依次不同也表示不同的信號，共可以組成________種不同的信號．三、解答題10．現(xiàn)有4個數(shù)學(xué)課外小組，且一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人．(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？(2)每組選一名組長，有多少種不同的選法？(3)推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，有多少種不同的選法？學(xué)科素養(yǎng)升級練1．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有()A．24對B．30對C．48對D．60對2．某外語小組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語．從中選出會英語和日語的各一人組成一個二人活動小組，有________種選法．3．[學(xué)科素養(yǎng)——邏輯推理]用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的(1)密碼箱的四位密碼；(2)比2000大的四位偶數(shù)．1．1分類加法計數(shù)原理1．2分步乘法計數(shù)原理1．3基本計數(shù)原理的簡潔應(yīng)用必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：設(shè)四位監(jiān)考老師分別為A，B，C，D，所教班級分別為a，b，c，d.假設(shè)A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同的方法，同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種不同的方法．由分類加法計數(shù)原理得，監(jiān)考方法共有3＋3＋3＝9(種).答案：B2．解析：紅色用1次，有6種方法；紅色用2次，有10種方法；紅色用3次，有4種方法．由分類加法計數(shù)原理可知共20種．答案：203．解析：因為橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以b＞a.則當(dāng)a＝1時，b可取2，3，4，5，6，7，有6種取法；當(dāng)a＝2時，b可取3，4，5，6，7，有5種取法；當(dāng)a＝3時，b可取4，5，6，7，有4種取法；當(dāng)a＝4時，b可取5，6，7，有3種取法；當(dāng)a＝5時，b可取6，7，有2種取法．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20個滿意條件的橢圓．4．解析：對于第一個小球有4種不同的放法，其次個小球也有4種不同的放法，第三個小球也有4種不同的放法，即每個小球都有4種不同的放法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有4×4×4＝64種放法，故選B.答案：B5．解析：由題意，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，區(qū)域B有4種涂法，區(qū)域C有3種涂法，區(qū)域D有3種涂法，∴共有5×4×3×3＝180種不同的涂色方案．答案：1806．解析：(1)要完成“組成三位數(shù)”這件事，需分以下三步進(jìn)行．第一步：確定個位數(shù)字，7，8，9三個數(shù)字都可以選擇，有3種選法．其次步：確定十位數(shù)字，7，8，9三個數(shù)字都可以選擇，有3種選法．第三步：確定百位數(shù)字，7，8，9三個數(shù)字都可以選擇，有3種選法．依據(jù)乘法原理，可以組成的三位數(shù)有3×3×3＝27個．(2)要完成“組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)”這件事，需分以下三步進(jìn)行．第一步：確定個位數(shù)字，7，8，9三個數(shù)字都可以選擇，有3種選法．其次步：確定十位數(shù)字，第一步選過的數(shù)字不能選擇，因此有2種選法．第三步：確定百位數(shù)字，只有1種選法．依據(jù)分步乘法原理，可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有3×2×1＝6個．7．解析：第三、四象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)值，橫坐標(biāo)不為0，故分兩種狀況探討，第一種：取M中的點(diǎn)作橫坐標(biāo)，取N中的點(diǎn)作縱坐標(biāo)，共有3×2＝6個點(diǎn)；其次種：取N中的點(diǎn)作橫坐標(biāo)，取M中的點(diǎn)作縱坐標(biāo)，共有4×1＝4個點(diǎn)．綜上所述，共有4＋6＝10個不同的點(diǎn)，故選B.答案：B8．解析：分三類：若甲在周一，則乙、丙有4×3＝12種排法；若甲在周二，則乙、丙有3×2＝6種排法；若甲在周三，則乙、丙有2×1＝2種排法，所以不同的支配方法共有12＋6＋2＝20(種).關(guān)鍵實(shí)力綜合練1．解析：分兩類狀況探討：第一類，直線a分別與直線b上的8個點(diǎn)可以確定8個不同的平面；其次類，直線b分別與直線a上的5個點(diǎn)可以確定5個不同的平面．依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，一共可以確定8＋5＝13個不同的平面．答案：C2．解析：公比q＝2時，有1，2，4；2，4，8.公比q＝3時，有1，3，9.公比q＝eq\f(3,2)時，有4，6，9.以上共4個，反過來也有4個，即4，2，1；8，4，2；9，3，1；9，6，4.所以等比數(shù)列的個數(shù)為8.答案：D3．解析：每個同學(xué)都有2種選擇，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的報名方法共有25＝32種，故選D.答案：D4．解析：第一步，從A中選1個元素，有5種；其次步，從B中選一個元素，有3種；第三步，去除元素重復(fù)的1個集合，共有5×3－1＝14(個)新集合．答案：C5．解析：依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，從甲地經(jīng)乙地到丙地的走法共有3×2＝6種；再由分類加法計數(shù)原理可得，從甲地到丙地共有6＋2＝8種走法，故選A.答案：A6．解析：依據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①給“金”著色，有4種結(jié)果．②給“榜”著色，有3種結(jié)果．③給“題”著色，若其與“榜”同色，則給“名”著色有3種結(jié)果；若其與“榜”不同色，則給“題”著色有2種結(jié)果，然后給“名”著色有2種結(jié)果．共有4×3×(3＋2×2)＝84種結(jié)果，故選D.答案：D7．解析：若選甲、乙兩人，則甲操作A種車床，乙操作B種車床或甲操作B種車床，乙操作A種車床，共有2種選派方法．若選甲、丙兩人，則甲操作B種車床，丙操作A種車床，共有1種選派方法．若選乙、丙兩人，則乙操作B種車床，丙操作A種車床，共有1種選派方法．故共有2＋1＋1＝4種不同的選派方法．答案：48．解析：依據(jù)題意，第一個可以從6個螺栓里隨意選一個，共有6種選擇方法，并且機(jī)會是相等的，若第一個選1號螺栓，則其次個可以選3，4，5號螺栓，依次選下去，可以得到10種方法(135246，135264，136425，142536，142635，146253，146352，152463，153624，153642)，所以總共有10×6＝60種方法．答案：609．解析：每次升1面旗可組成3種不同的信號；每次升2面旗可組成3×3＝9(種)不同的信號；每次升3面旗可組成3×3×3＝27(種)不同的信號．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可組成3＋9＋27＝39(種)不同的信號．答案：3910．解析：(1)分四類：第一類，從一組中選1人，有7種選法；其次類，從二組中選1人，有8種選法；第三類，從三組中選1人，有9種選法；第四類，從四組中選1人，有10種選法．所以不同的選法共有7＋8＋9＋10＝34(種).(2)分四步：第一、二、三、四步分別為從一、二、三、四組中選1人擔(dān)當(dāng)組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種).(3)分六類：從一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法．所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種).學(xué)科素養(yǎng)升級練1．解析：如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，與面對角線B1D1成60°角的面對角線即四個側(cè)面內(nèi)的對角線，共8條，同理與A1C1成60°角的面對角線也有8條，因此一個面上的2條面對角線與其相鄰的4個面上的8條對角線共組成16對，又正方體共有6個面，所以共有16×6＝96對，而每對面對角線被計算了2次，因此所成的角為60°的面對角線有eq\f(1,2)×96＝48對．答案：C2．解析：因為7＋3－9＝1，所以外語小組9人中有1人既會英語又會日語．共分三類：①當(dāng)既會英語又會日語的人被當(dāng)作會英語的人時，選出只會日語的一人即可，有2種選法；②當(dāng)既會英語又會日語的人被當(dāng)作會日語的人時，選出只會英語的一人即可，有6種選法；③當(dāng)既會英語又會日語的人沒被選出時，則需從只會日語和只會英語的人中各選出一人，有2×6＝12(種)方法，故共有2＋6＋12＝20(種)選法．答案：203．解析：(1)分步解決．第一步：選取第一個位置上的數(shù)字，有6種選取方法；其次步：選取其次個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第三步：選取第三個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第四步：選取第四個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；由分步乘法計數(shù)原理知，可組成不同的四位密碼共有6×5×4×3＝360(個).(2)方法一：按個位是0，2，4分為三類．第一類：個位是0的有4×4×3＝48個；其次類：個位是2的有3×4×3＝36個；第三類：個位是4的有3×4×3＝36個．則由分類加法計數(shù)原理得比2000大的四位偶數(shù)有48＋36＋36＝120個．方法二：按千位是2，3，4，5分四類．第一類：千位是2的