2024中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 重難題型分類練 題型二 多解題 (含答案)

2024中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難題型分類練題型二多解題類型一代數(shù)類問題1.(2023呼和浩特)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為(－1，－1)和(4，－1)，拋物線y＝mx2－2mx＋2(m≠0)與線段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________．2.(2023赤峰)如圖，拋物線y＝－x2－6x－5交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D(m，m＋1)是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為________．第2題圖3.如圖，反比例函數(shù)y＝eq\f(24,x)(x＞0)的圖象與直線y＝eq\f(3,2)x相交于點(diǎn)A，與直線y＝kx(k≠0)相交于點(diǎn)B，若△OAB的面積為18，則k的值為________.第3題圖類型二點(diǎn)位置不確定類問題4.(2020襄陽)在⊙O中，若弦BC垂直平分半徑OA，則弦BC所對(duì)的圓周角等于________°.5.(2023哈爾濱)在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是________度．6.(2023河南)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2eq\r(2)，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上，且CP＝1，將CP繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接AQ，DQ.當(dāng)∠ADQ＝90°時(shí)，AQ的長為_____________．第6題圖7.(2022綏化)在邊長為4的正方形ABCD中，連接對(duì)角線AC，BD，點(diǎn)P是正方形邊上或?qū)蔷€上的一點(diǎn)，若PB＝3PC，則PC＝_____________.8.(2022河南)小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，第一步，在AB邊上找一點(diǎn)D，將紙片沿CD折疊，點(diǎn)A落在A′處，如圖②；第二步，將紙片沿CA′折疊，點(diǎn)D落在D′處，如圖③.當(dāng)點(diǎn)D′恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線段A′D′的長為________．第8題圖9.(2023沈陽)如圖，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在E，F(xiàn)且點(diǎn)F在矩形內(nèi)部，MF的延長線交BC于點(diǎn)G，EF交邊BC于點(diǎn)H.EN＝2，AB＝4，當(dāng)點(diǎn)H為GN三等分點(diǎn)時(shí)，MD的長為________．第9題圖10.(2023泰州)如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O為內(nèi)心，過點(diǎn)O的直線分別與AC，AB邊相交于點(diǎn)D，E.若DE＝CD＋BE，則線段CD的長為________．第10題圖11.(2023紹興)如圖，AB＝10，點(diǎn)C是射線BQ上的動(dòng)點(diǎn)，連接AC，作CD⊥AC，CD＝AC，動(dòng)點(diǎn)E在AB延長線上，tan∠QBE＝3，連接CE，DE，當(dāng)CE＝DE，CE⊥DE時(shí)，BE的長是________．第11題圖類型三圖形形狀不確定類問題12.(2023百色)活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對(duì)的邊為eq\r(3)，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)(我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形)，則滿足已知條件的三角形的第三邊長為()A.2eq\r(3)B.2eq\r(3)－3C.2eq\r(3)或eq\r(3)D.2eq\r(3)或2eq\r(3)－3第12題圖13.(2023寧波)如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A.D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長為________．第13題圖14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分別為邊BC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ的長為________．15.(2023綏化)在長為2，寬為x(1<x<2)的矩形紙片上，從它的一側(cè)，剪去一個(gè)以矩形紙片寬為邊長的正方形(第一次操作)；從剩下的矩形紙片一側(cè)再剪去一個(gè)以寬為邊長的正方形(第二次操作)；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，則x的值為________．16.(2023通遼)在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個(gè)銳角為60°，AB＝6.若點(diǎn)P在直線AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，且∠PCB＝30°，則AP的長為________．17.在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，若P是射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM，DM，當(dāng)△AMD是等腰三角形，且MA＝MD時(shí)，AP的長為________．18.(2022云南)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D.若△ABC的一條邊長為6，則點(diǎn)D到直線AB的距離為________．(結(jié)果要化簡，不能含三角函數(shù))19.(2022江西)如圖，在邊長為6eq\r(3)的正六邊形ABCDEF中，連接BE，CF，其中點(diǎn)M，N分別為BE和CF上的動(dòng)點(diǎn)．若以M，N，D為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長為________．第19題圖類型四圖形變換方式不確定類問題20.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠B＝60°，AC為對(duì)角線，AE⊥BC，將線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°得到AE′，連接CE′，則CE′＝________．第20題圖21.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，翻折∠A，使點(diǎn)A落在線段BC上的點(diǎn)D處，折痕為EF.若△DFB與△ACB相似，則線段CD的長為________．第21題圖參考答案與解析1.m＝3或－1＜m≤－eq\f(3,8)【解析】∵y＝mx2－2mx＋2＝m(x－1)2＋2－m，∴拋物線過點(diǎn)(0，2)，對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2－m)，當(dāng)m＞0，且拋物線過點(diǎn)C(－1，－1)時(shí)，m＋2m＋2＝－1，解得m＝－1(不合題意，舍去)，當(dāng)拋物線過點(diǎn)D(4，－1)時(shí)，16m－8m＋2＝－1，解得m＝－eq\f(3,8)(不合題意，舍去)，當(dāng)m＞0且拋物線的頂點(diǎn)在線段CD上時(shí)，2－m＝－1，解得m＝3；當(dāng)m＜0且拋物線過點(diǎn)(－1，－1)時(shí)，m＝－1，此時(shí)拋物線與線段CD有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)m＜0且拋物線過點(diǎn)D(4，－1)時(shí)，m＝－eq\f(3,8)，此時(shí)拋物線與線段CD有1個(gè)交點(diǎn)，符合題意，∴當(dāng)－1＜m≤－eq\f(3,8)時(shí)，拋物線與線段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上可知m的取值范圍是m＝3或－1＜m≤－eq\f(3,8).2.(－5，－4)或(0，1)【解析】∵y＝－x2－6x－5＝－(x＋1)(x＋5)，∴A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，－5)，∴直線AC的解析式為y＝－x－5.∵D(m，m＋1)在拋物線上，∴m＋1＝－(m＋1)(m＋5)，解得m1＝－1，m2＝－6，∴D1(－1，0)或D2(－6，－5)，當(dāng)D1(－1，0)時(shí)，如解圖①，作點(diǎn)D1關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D1′，交AC于點(diǎn)H，連接D1D1′，AD1′.∴∠D1′AH＝∠D1AH＝45°，AD1＝AD1′＝4.∴∠D1AD1′＝90°，∴D1′(－5，－4)；當(dāng)D2(－6，－5)時(shí)，如解圖②，作點(diǎn)D2關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D2′，交AC于點(diǎn)Q，連接D2D2′.∴D2Q＝D2′Q，AQ⊥D2D2′.∴設(shè)直線D2D2′的解析式為y＝x＋b，將D2(－6，－5)代入得－5＝－6＋b，解得b＝1，∴直線D2D2′的解析式為y＝x＋1.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x－5,y＝x＋1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝－2))，∴Q(－3，－2)，∴eq\f(xD2＋xD′2,2)＝－3，eq\f(yD2＋yD′2,2)＝－2，即eq\f(－6＋xD′2,2)＝－3，eq\f(－5＋yD′2,2)＝－2，∴xD′2＝0，yD′2＝1，∴D2′(0，1).綜上所述，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為(－5，－4)或(0，1).第2題解圖3.eq\f(3,8)或6【解析】聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(24,x),y＝\f(3,2)x))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝4,y1＝6))，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－4,y2＝－6))(舍去)，∴點(diǎn)A(4，6)，①如解圖①，當(dāng)y＝kx與反比例函數(shù)的交點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方時(shí)，過點(diǎn)A，B分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)M，N，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(b，eq\f(24,b))，則ON＝b，BN＝eq\f(24,b)，∵點(diǎn)A(4，6)，∴OM＝4，AM＝6，∵S△AOB＝S△AOM＋S梯形AMNB－S△BON＝S梯形AMNB，∴18＝eq\f(1,2)(6＋eq\f(24,b))(b－4)，解得b1＝8，b2＝－2(舍去)，∴點(diǎn)B(8，3)，代入y＝kx得，k＝eq\f(3,8)；②如解圖②，當(dāng)y＝kx與反比例函數(shù)的交點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方時(shí)，過點(diǎn)A，B分別作AM⊥y軸，BN⊥y軸，垂足分別為點(diǎn)M，N，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(b，eq\f(24,b))，則ON＝eq\f(24,b)，BN＝b，∵點(diǎn)A(4，6)，∴OM＝6，AM＝4，∴S△AOB＝S△AOM＋S梯形AMNB－S△BON＝S梯形AMNB，∴18＝eq\f(1,2)(b＋4)(eq\f(24,b)－6)，解得，b1＝2，b2＝－8(舍去)，∴點(diǎn)B(2，12)，代入y＝kx得，k＝6，綜上所述k的值為6或eq\f(3,8).第3題解圖4.60或120【解析】如解圖，E是圓周上一點(diǎn)，∵弦BC垂直平分半徑OA，∴OD∶OB＝1∶2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BEC＝60°，∠BAC＝120°，∴弦BC所對(duì)的圓周角等于60°或120°.第4題解圖5.80或40【解析】如解圖，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAD＝60°.∵∠C1AD＝20°，∴∠BAC1＝60°＋20°＝80°；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長線上時(shí)，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAD＝60°.∵∠C2AD＝20°，∴∠BAC2＝60°－20°＝40°，綜上所述，∠BAC的度數(shù)為80°或40°.第5題解圖6.eq\r(5)或eq\r(13)【解析】如解圖，點(diǎn)Q在以點(diǎn)C為圓心，CP的長為半徑的⊙C上運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)點(diǎn)C，Q，D在一條直線上時(shí)，∠ADQ＝90°，①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，如解圖①，∵AC＝BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠ADQ＝90°，CD＝AD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)·eq\r(2)AC＝2，由旋轉(zhuǎn)可得CQ＝CP＝1，∴DQ＝1，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AQ＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)；②當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長線上時(shí)，如解圖②，則∠ADQ＝90°，DQ＝3，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AQ＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，綜上所述，AQ的長為eq\r(5)或eq\r(13).第6題解圖7.1或eq\r(2)或eq\f(－\r(2)＋\r(34),4)【解析】如解圖，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，∴OB＝OC＝2eq\r(2)，∵PB＝3PC，∴設(shè)PC＝x，則PB＝3x.有三種情況：①點(diǎn)P在BC上時(shí)，如解圖①，∵BC＝4，PB＝3PC，∴PC＝1；②點(diǎn)P在AC上時(shí)，如解圖②，在Rt△BPO中，由勾股定理得BP2＝BO2＋OP2，即(3x)2＝(2eq\r(2))2＋(2eq\r(2)－x)2，解得x＝eq\f(－\r(2)＋\r(34),4)(負(fù)值已舍去)，即PC＝eq\f(－\r(2)＋\r(34),4)；③點(diǎn)P在CD上時(shí)，如解圖③，在Rt△BPC中，由勾股定理得BC2＋PC2＝BP2，即42＋x2＝(3x)2，解得x＝eq\r(2)(負(fù)值已舍去)，即PC＝eq\r(2)；結(jié)合正方形的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)P在邊AD、AB及對(duì)角線BD上時(shí)，均不滿足BP＝3PC.綜上所述，PC的長是1或eq\r(2)或eq\f(－\r(2)＋\r(34),4).第7題解圖8.eq\f(1,2)或2－eq\r(3)【解析】如解圖①，當(dāng)點(diǎn)D′落在BC邊上時(shí)，則∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′＝eq\f(1,3)∠ACB＝30°.∵∠B＝30°，AC＝1，∴∠A＝60°，∠ACA′＝60°，∴△AA′C是等邊三角形，∴AA′＝AC＝1，∴A′D′＝AD＝A′D＝eq\f(1,2)AA′＝eq\f(1,2)；如解圖②，當(dāng)點(diǎn)D′落在AB邊上時(shí)，此時(shí)A′C⊥AB，A′C交AB于點(diǎn)E，設(shè)A′E＝x.∵∠CA′D′＝∠A＝60°，∴∠A′D′E＝30°，∴A′D′＝AD＝A′D＝2A′E＝2x，DE＝D′E＝eq\r(3)A′E＝eq\r(3)x.在Rt△ACE中，AE＝AC·cos60°＝eq\f(1,2)，∴2x＋eq\r(3)x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(2－\r(3),2)，∴A′D′＝2x＝2－eq\r(3).第8題解圖【一題多解】如解圖①，當(dāng)點(diǎn)D′落在BC邊上時(shí)，則∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′＝eq\f(1,3)∠ACB＝30°.∵∠B＝30°，AC＝1，∴∠A＝60°，∠ACA′＝60°，∴△AA′C是等邊三角形，∴AA′＝AC＝1，∴A′D′＝AD＝A′D＝eq\f(1,2)AA′＝eq\f(1,2)；如解圖②，當(dāng)點(diǎn)D′落在AB邊上時(shí)，此時(shí)A′C⊥AB，設(shè)A′C交AB于點(diǎn)E，則∠ACD＝∠ECD，∵S△CED＝eq\f(1,2)EC·CD·sin∠ECD，S△CAD＝eq\f(1,2)AC·CD·sin∠ACD，∴eq\f(S△CED,S△CAD)＝eq\f(EC,AC).∵S△CED＝eq\f(1,2)EC·DE，S△CAD＝eq\f(1,2)EC·AD，∴eq\f(S△CED,S△CAD)＝eq\f(ED,AD)，∴eq\f(EC,AC)＝eq\f(ED,AD)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).∵AE＝AC·cos60°＝eq\f(1,2)，設(shè)ED＝eq\r(3)x，則AD＝2x，ED＋AD＝AE，即∴eq\r(3)x＋2x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(2－\r(3),2)，∴A′D′＝AD＝2x＝2－eq\r(3).9.4或2eq\r(13)－4【解析】由題意得，點(diǎn)H為GN的三等分點(diǎn)，則分為兩種情況，當(dāng)GH∶HN＝1∶2時(shí)，如解圖①，由翻折性質(zhì)得，∠1＝∠2，MD＝FM，∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，∴△GFH∽△NEH，∴eq\f(FG,EN)＝eq\f(FH,EH)＝eq\f(GH,NE)＝eq\f(1,2)，即eq\f(FG,2)＝eq\f(FH,4－FH)＝eq\f(1,2)，解得FG＝1，F(xiàn)H＝eq\f(4,3)，在Rt△FGH中由勾股定理得GH＝eq\r(FG2＋FH2)＝eq\r(1＋（\f(4,3)）2)＝eq\f(5,3)，∴GN＝3GH＝3×eq\f(5,3)＝5，∵AD∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，則GM＝GN＝5，∴FM＝GM－GF＝5－1＝4，∴MD＝4；當(dāng)GH∶HN＝2∶1時(shí)，如解圖②，由翻折性質(zhì)得∠1＝∠2，MD＝FM.∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，∴△GFH∽△NEH，∴eq\f(FG,EN)＝eq\f(FH,EH)＝eq\f(GH,NH)＝2，即eq\f(FG,2)＝eq\f(FH,4－FH)＝2，解得FG＝4，F(xiàn)H＝eq\f(8,3)，在Rt△GFH中，由勾股定理得GH＝eq\r(FG2＋FH2)＝eq\r(42＋（\f(8,3)）2)＝eq\f(4\r(13),3)，∴GN＝eq\f(3,2)GH＝eq\f(3,2)×eq\f(4\r(13),3)＝2eq\r(13)，又∵∠1＝∠2＝∠3，∴GM＝GN＝2eq\r(13)，∴FM＝GM－GF＝2eq\r(13)－4，∴MD＝2eq\r(13)－4.綜上所述，MD的長為4或2eq\r(13)－4.圖①圖②第9題解圖10.eq\f(1,2)或2【解析】如解圖，過點(diǎn)O作MN⊥AC，交AC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，作EH⊥BC于點(diǎn)H，∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB＝10，∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∴OF＝eq\f(AC·BC,AC＋BC＋AB)＝eq\f(8×6,8＋6＋10)＝2.易得四邊形CMOF是正方形，∴OM＝CM＝OF＝2，設(shè)BH＝3x，CD＝y(tǒng)，當(dāng)y≤2時(shí)，在Rt△BEH中，易得EH＝4x，BE＝5x，∴DE＝CD＋BE＝y(tǒng)＋5x，DM＝CM－CD＝2－y，DG＝CG－CD＝4x－y，EG＝CH＝BC－BH＝6－3x，在Rt△EDG中，由勾股定理得DG2＋EG2＝DE2，即(4x－y)2＋(6－3x)2＝(y＋5x)2，整理得xy＝2－2x，易得△DOM∽△DEG，∴eq\f(DM,DG)＝eq\f(OM,EG)，即eq\f(2－y,4x－y)＝eq\f(2,6－3x)，整理得3xy＝14x＋4y－12，聯(lián)立兩個(gè)方程，并整理得10x＋2y＝9，代入到方程xy＝2－2x得2y2－5y＋2＝0，解得y1＝eq\f(1,2)，y2＝2.當(dāng)y＞2時(shí)，同理可得y＝eq\f(1,2)(舍去)或y＝2(舍去).綜上可知，滿足題意的CD的長為eq\f(1,2)或2.第10題解圖11.5或eq\f(35,4)【解析】如解圖①，過點(diǎn)C作CT⊥AE于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作DJ⊥CT交CT的延長線于點(diǎn)J，連接EJ.∵tan∠CBT＝3＝eq\f(CT,BT)，∴設(shè)BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT＋∠ACT＝90°，∠ACT＋∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ATC＝∠CJD,∠CAT＝∠JCD,AC＝CD))，∴△ATC≌△CJD(AAS)，∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10＋k，∴TJ＝10－2k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四點(diǎn)共圓，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10－2k，∵CE2＝CT2＋ET2＝(eq\f(\r(2),2)CD)2＝eq\f(1,2)CD2，∴(3k)2＋(10－2k)2＝eq\f(1,2)[(3k)2＋(10＋k)2]2，整理得4k2－25k＋25＝0，∴(k－5)(4k－5)＝0，∴k＝5或k＝eq\f(5,4)，∴BE＝BT＋ET＝k＋10－2k＝10－k＝5或eq\f(35,4).(當(dāng)BE＝5時(shí)，如解圖②)第11題解圖12.C【解析】如解圖，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD，當(dāng)∠A的對(duì)邊為BC時(shí)，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵BC＝eq\r(3)，∴AB＝2eq\r(3)；當(dāng)∠A的對(duì)邊為CD時(shí)，∵CD＝BC＝eq\r(3)，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝CD＝eq\r(3)，∴AD＝AB－BD＝2eq\r(3)－eq\r(3)＝eq\r(3).∴滿足條件的三角形的第三邊長為2eq\r(3)或eq\r(3).第12題解圖13.eq\f(3,2)或eq\f(6,5)【解析】如解圖，分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，連接OA，∵AC是⊙O的切線，∴AD⊥AC，∴△ACD是直角三角形，設(shè)AD＝x，則BO＝x，CO＝4－x，在Rt△ACD中，由勾股定理得x2＋22＝(4－x)2，解得x＝eq\f(3,2)，即AD＝eq\f(3,2)；②過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則△ACD是直角三角形，由三角形面積公式可得eq\f(1,2)OA·AC＝eq\f(1,2)OC·AD，∴eq\f(3,2)×2＝(4－eq\f(3,2))·AD，∴AD＝eq\f(6,5)，綜上所述，當(dāng)△ACD是直角三角形時(shí)，AD的長為eq\f(3,2)或eq\f(6,5).第13題解圖14.eq\f(15,4)或eq\f(30,7)【解析】在△ABC中，∵∠C＝90°，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10，①如解圖①，當(dāng)AQ＝PQ，∠QPB＝90°時(shí)，設(shè)AQ＝PQ＝x，∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴eq\f(BQ,BA)＝eq\f(PQ,AC)，∴eq\f(10－x,10)＝eq\f(x,6)，∴x＝eq\f(15,4)，∴AQ＝eq\f(15,4)；②如解圖②，當(dāng)AQ＝PQ，∠PQB＝90°時(shí)，設(shè)AQ＝PQ＝y(tǒng)，∵△BQP∽△BCA，∴eq\f(PQ,AC)＝eq\f(BQ,BC)，∴eq\f(y,6)＝eq\f(10－y,8)，∴y＝eq\f(30,7).綜上所述，滿足條件的AQ的值為eq\f(15,4)或eq\f(30,7).第14題解圖15.eq\f(3,2)或eq\f(6,5)【解析】如解圖①，由題意得AB＝2，BC＝x，∴DE＝2－x.又∵AG＝GF＝FD＝DE，∴3(2－x)＝x，∴x＝eq\f(3,2)；如解圖②，由題意得AB＝2，BC＝x，∴DE＝DF＝2－x，∴AF＝x－(2－x)＝2x－2，∴2x－2＝eq\f(2－x,2)，∴x＝eq\f(6,5).綜上所述，x的值為eq\f(3,2)或eq\f(6,5).第15題解圖16.eq\f(9,2)或9或3【解析】如解圖①，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，則BC＝eq\f(1,2)AB＝3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，∵∠PCB＝30°，∴CP⊥AB，則PB＝BC·sin30°＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴AP＝AB－BP＝eq\f(9,2)；當(dāng)點(diǎn)P(P′)在AB的延長線上時(shí)，∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，∴∠P′＝30°，∴P′B＝BC＝3，∴AP′＝AB＋P′B＝9；如解圖②，當(dāng)∠ABC＝30°時(shí)，∵∠PCB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ACP＝60°，∵∠BAC＝60°，∴△PAC為等邊三角形．∴PC＝AC＝AP，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝3.∴AP＝3.綜上所述，AP的長為eq\f(9,2)或9或3.第16題解圖17.eq\f(5,2)或10【解析】當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，如解圖①，連接BM，過點(diǎn)M作MH⊥AD于點(diǎn)H，延長HM交BC于點(diǎn)F.∵M(jìn)A＝MD，MH⊥AD，∴AH＝HD＝eq\f(1,2)AD＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，∴四邊形ABFH是矩形，∴BF＝AH＝4，F(xiàn)H＝AB＝5，∠BFM＝90°，∵點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)為M，∴BM＝BA＝5，∴FM＝eq\r(BM2－BF2)＝eq\r(52－42)＝3，∴HM＝HF－FM＝5－3＝2，∵∠ABP＋∠APB＝90°，∠MAH＋∠APB＝90°，∴∠ABP＝∠MAH，∵∠BAP＝∠AHM＝90°，∴△ABP∽△HAM，∴eq\f(AP,HM)＝eq\f(AB,HA)，∴eq\f(AP,2)＝eq\f(5,4)，∴AP＝eq\f(5,2)；當(dāng)點(diǎn)P在線段AD的延長線上時(shí)，如解圖②，連接BM，過點(diǎn)M作MH⊥AD于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)F.同理可得BM＝5，BF＝4，∴FM＝3，MH＝3＋5＝8，∵△ABP∽△HAM，∴eq\f(AP,HM)＝eq\f(AB,HA)，∴eq\f(AP,8)＝eq\f(5,4)，∴AP＝10，綜上所述，AP的長為eq\f(5,2)或10.第17題解圖18.6eq\r(2)－6或6－3eq\r(2)或3或eq\f(3\r(2),2)【解析】分兩種情況：情況(1)：如解圖①，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是正方形ABEC的頂點(diǎn)，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則AD的長為點(diǎn)D到直線AB的距離，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G.∵四邊形ABEC為正方形，∴∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DG⊥BC，∴AD＝DG，∴sin∠ACB＝sin45°＝eq\f(DG,DC)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(\r(2),2).①當(dāng)AB＝AC＝6時(shí)，DC＝6－AD，∴eq\f(AD,6－AD)＝eq\f(\r(2),2)，解得AD＝6eq\r(2)－6；②當(dāng)BC＝6時(shí)，則AB＝AC＝BC·sin∠ACB＝6sin45°＝3eq\r(2)，DC＝3eq\r(2)－AD，∴eq\f(AD,3\r(2)－AD)＝eq\f(\r(2),2)，解得AD＝6－3eq\r(2)；情況(2)：如解圖②，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是正方形ABCE的頂點(diǎn)，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，則DF的長是點(diǎn)D到直線AB的距離，根據(jù)題意可知，DF是△ABC的中位線，∴DF＝eq\f(1,2)BC.①當(dāng)AB＝BC＝6時(shí)，則DF＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×6＝3；②當(dāng)AC＝6時(shí)，則AB＝BC＝AC·sin∠ACB＝6sin45°＝3eq\r(2)，∴DF＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)＝eq\f(3\r(2),2).綜上所述，點(diǎn)D到直線AB的距離為6eq\r(2)－6或6－3eq\r(2)或3或eq\f(3\r(2),2).第18題解圖19.18或9或10【解析】如解圖①，連接DF，BF，BD，DF，BD分別交BE，CF于點(diǎn)P，Q，設(shè)BE，CF交于點(diǎn)O，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴CF，BE所在直線分別是該正六邊形的對(duì)稱軸，BC＝CD＝DE＝6eq\r(3)，∴∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝eq\f(（6－2）×180°,6)＝120°，CF⊥BD，BE⊥FD，DP＝FP＝eq\f(1,2)DF，BQ＝DQ＝eq\f(1,2)BD，∴∠BCF＝∠FCD＝∠DEB＝∠FEB＝eq\f(1,2)∠BCD＝60°，∠BQC＝∠DQC＝∠DPE＝∠FPE＝90°，在Rt△BCQ中，sin∠BC