第四節(jié)-含絕對值的不等式

知識梳理1．實數(shù)的絕對值(1)絕對值的定義：(2)實數(shù)絕對值的幾何意義：|a|的幾何意義是數(shù)軸上表示實數(shù)a的點到______的距離．2．含有絕對值的不等式(1)最簡單的含絕對值的不等式如果m＞0，則①|(zhì)x|≤m?_____________；②|x|≥m?______________.第四節(jié)含絕對值的不等式a0－a原點－m≤x≤mx≤－m或x≥m知識梳理(2)含有絕對值的不等式的解法①當(dāng)c≥0時，|x＋b|≤c的解集為_____________________；|x＋b|＞c的解集為_____________________；②當(dāng)c＜0時，|x＋b|≤c的解集為_____________________；|x＋b|＞c的解集為_____________________．{x|－c－b≤x≤c＋b}{x|x>c－b或x<－c－b}?R典例解析【例1】解下列含絕對值的不等式：(1)|2x－1|＜3;(2)|3－2x|＞5；(3)|3x－2|>0.【解析】(1)將|2x－1|＜3＜3去絕對值符號，得－3＜2x－1＜3，即－2＜2x＜4，解得－1＜x＜2.∴不等式的解集是(－1，2)．(2)將|3－2x|＞5去絕對值符號，得3－2x＜－5或3－2x＞5，即－2x＜－8或－2x＞2，解得x＞4或x＜－1.∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．(3)∵|3x－2|>0，∴當(dāng)x≠時，|3x－2|>0恒成立，∴不等式的解集是(1)(－1，2)(2)(－∞，－1)∪(4，＋∞)(3)典例解析【舉一反三1】(1)含絕對值的不等式|3x－1|≤7的解集是_____________．(2)含絕對值的不等式|2x－1|≥5的解集是____________．【提示】將|3x－1|≤7去絕對值符號，得－7≤3x－1≤7，即－6≤3x≤8，解得－2≤x≤∴原不等式的解集是【提示】由|2x－1|≥5得2x－1≥5或2x－1≤－5，解得x≥3或x≤－2，∴原不等式的解集是{x|x≥3或x≤－2}．{x|x≥3或x≤－2}典例解析(3)含絕對值的不等式|2－5x|≤0的解集是___________．【思路點撥】含絕對值的不等式的求解關(guān)鍵是根據(jù)等價轉(zhuǎn)化去掉絕對值符號，要注意不等式是否含有等號．可聯(lián)想“小于取中間，大于在兩邊”加以記憶．【提示】∵不等式|2－5x|≥0恒成立，∴不等式|2－5x|≤0的解集為典例解析【例2】已知不等式|x＋a|＜b的解集是(1，3)，求實數(shù)a，b的值．a(chǎn)＝－2，b＝1【解析】不等式|x＋a|＜b等價于－b＜x＋a＜b，即－a－b＜x＜b－a，∵不等式的解集是(1，3)，∴解得a＝－2，b＝1.典例解析【舉一反三2】(1)已知不等式|x－6|＜m的解集是(3，9)，則實數(shù)m＝________.(2)已知不等式|x－a|＜3b(b＞0)的解集是(－2，10)，則實數(shù)a＝________，b＝________.3【提示】不等式|x－6|＜m等價于－m＜x－6＜m，即6－m＜x＜m＋6，∵不等式的解集是(3，9)，∴m＝3.【思路點撥】對于含參數(shù)的絕對值不等式，先根據(jù)等價轉(zhuǎn)化去掉絕對值符號，再根據(jù)已知的解集確定參數(shù)的取值．【提示】不等式|x－a|＜3b(b＞0)等價于－3b＜x－a＜3b，即a－3b＜x＜a＋3b.∵不等式|x－a|＜3b(b＞0)的解集是(－2，10)，∴a－3b＝－2且a＋3b＝10，解得a＝4，b＝2.42典例解析【例3】解不等式：3≤|5x－7|≤5.【解析】原不等式等價于由不等式|5x－7|≥3可得5x－7≤－3或5x－7≥3，即5x≤4或5x≥10，解得x≤或x≥2.由不等式|5x－7|≤5可得－5≤5x－7≤5，即2≤5x≤12，解得∴原不等式的解集是典例解析【舉一反三3】已知|x－1|＜a(a＞0)的解集是(－1，c)，則a＋c的值等于________．5【提示】由|x－1|＜a(a＞0)，得－a＜x－1＜a，∴1－a＜x＜1＋a，∵不等式的解集為(－1，c)，∴解得a＝2，c＝3，∴a＋c＝5.【思路點撥】注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，含有兩個不等式號的不等式等價于一個不等式組．不等式的解集與相應(yīng)方程的根密切相關(guān)．一般地，不等式的解集是以相應(yīng)方程的根為端點的．典例解析【例4】設(shè)集合A＝{x||x－2|≤3}，集合B＝{x||x－1|≥1}．求：(1)A∩B；(2)A∪B.(1)A∩B＝{x|－1≤x≤0或2≤x≤5}(2)A∪B＝R【解析】由|x－2|≤3得－1≤x≤5，由|x－1|≥1得x≤0或x≥2.所以A∩B＝{x|－1≤x≤0或2≤x≤5}；A∪B＝R.典例解析【舉一反三4】已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x∈Z|－1<x<2}，則A∩B等于()A．{x|－1<x≤1}

B．{x|－2<x<2}C．{0，1}

D．{－1，0，1}C【思路點撥】解絕對值不等式找出集合的解集，在數(shù)軸上畫出解集，數(shù)形結(jié)合找出集合A∩B，A∪B的解集．【提示】注意元素的取值范圍x∈Z.同步精練一、單項選擇題1．不等式|2x－3|≥2x－3解集是()A．?

B.

C.

D．R2.不等式|x|＞3的解集是()A．?

B．RC．(－3，3)

D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D【提示】將2x－3看成一個數(shù)，∵任何一個實數(shù)的絕對值大于等于自身，故選D.D【提示】根據(jù)絕對值的幾何意義做出正確判斷，故選D.同步精練3．不等式1－|x－1|≥0的解集是()A．(0，2)

B．(－∞，0]∪(2，＋∞)C．[0，2]

D．(－∞，0]∪[2，＋∞)C【提示】原不等式等價于|x－1|≤1，等價于－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，故選C.同步精練4．不等式組的解集為()A．{x|－1＜x＜1}

B．{x|－2＜x＜0}C．{x|－2＜x＜1或1＜x＜2}

D．?B【提示】解不等式|x－1|＞1可得x＜0或x＞2；解不等式|x|＜2可得－2＜x＜2.∴不等式組的解集為{x|－2＜x＜0}，故選B.同步精練5．不等式|2x－5|≤1的解集是()A．(2，3)

B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C．R

D．[2，3]6．不等式的解集為()A．{x|－1＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|－1＜x＜1}D．{x|－1≤x≤2}D【提示】不等式|2x－5|≤1等價于－1≤2x－5≤1，解得2≤x≤3，∴不等式的解集為[2，3]，故選D.【提示】分別求解集再求交集得不等式的解集為{x|0＜x＜1}，故選B.B同步精練二、填空題7．不等式|x＋2|≤3的解集可用區(qū)間表示為__________．8．不等式|2－x|≥1的解集可用區(qū)間表示為____________________．[－5，1]【提示】原不等式等價于－3≤x＋2≤3，解得－5≤x≤1，∴原不等式的解集用區(qū)間表示為[－5，1]．【提示】原不等式等價于|x－2|≥1，即x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3.∴原不等式的解集用區(qū)間表示為(－∞，1]∪[3，＋∞)．(－∞，1]∪[3，＋∞)同步精練9．由不等式|2x－1|≤3的整數(shù)解組成的集合為__________________．10．由已知集合M＝{x||x＋2|≥1}，N＝{x||x－2|≤1}，則M∩N＝__________.{－1，0，1，2}【提示】不等式|2x－1|≤3等價于－3≤2x－1≤3，即－2≤2x≤4，解得－1≤x≤2，∴答案為{－1，0，1，2}．【提示】∵M(jìn)＝{x||x＋2|≥1}＝{x|x＋2≤－1或x＋2≥1}＝{x|x≤－3或x≥－1}，N＝{x||x－2|≤1}＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|x≤－3或x≥－1}∩{x|1≤x≤3}＝{x|1≤x≤3}．{x|1≤x≤3}同步精練11．不等式|12－5x|≥0的解集為__________．R【提示】不等式|12－5x|≥0恒成立，∴x∈R.同步精練三、解答題12．解不等式：3＞|4－5x|≥1.解：∵不等式3＞|4－5x|≥1等價于∴不等式的解集是同步精練13．已知不等式|x－a|＜b的解集是{x|－2＜x＜7}，求a和b的值．解：∵不等式|x－a|＜b等價于－b＜x－a＜b，即a－b＜x＜b＋a，∵不等式的解集是{x|－2＜x＜7}，同步精練14．求使式子有意義的x的取值范圍．解：要使式子由不等式4－|x|≥0可得|x|≤4，即－4≤x≤4；由不等式|