中學數學定理、公理運用的實踐與研討

“對頂角相等”“凡直角都相等”“三角形三個內角的和等于180°”等都是數學定理。數學定理反映了條件和結論之間的一種必然聯系，它是從生活發(fā)展起來的。《周髀算經》里就有“勾三、股四、弦五”說法（即c2=a2+b2），這就是勾股定理，它是特殊性的判斷。后來隨著生產的進一步發(fā)展，人們又從實踐中概括出三角形三邊余弦定理，即c2=a2+b2-2abcosC。這是一般三角形三邊的基本關系式，是勾股定理的推廣，它是普遍性的判斷。從這里可以看出，數學定理來源于實踐，而且一般都經過辯證發(fā)展的過程。數學中一些定論是經過人們億萬次實踐直接證實的，這樣的命題叫做公理。如“整體大于部分”“若兩個量分別等于第三個量，則它們也相等”等都是數學公理。公理最早出現在歐幾里德幾何中。當時，隨著生產實踐的發(fā)展，人們關于空間形式的知識越來越豐富，從理論上加以概括和總結顯得十分必要。歐幾里德綜合了人們認識的成果，寫出了《幾何原本》一書。這本書從點、線、面等最基本的概念和最簡單的關系出發(fā)，從外部世界引進了這些概念和關系的某些性質作為公理。從公理出發(fā)，借助于幾何圖形的直觀，應用形式邏輯的演繹推理，把形的其他性質推導出來。這些幾何公理，在理論形式上，是邏輯推理的大前提。在數學中，從邏輯推理的角度看，實際上公理不是沒有證明過的，更不是不能證明的。公理是人們長期以來從生產實踐中總結出來的結論。因此，它們是可以辯證地證明的，是經過長期實踐的反復證明才取得公理資格。所以，只看到公理在數學上無法證明的一面是片面的，還必須看到公理可以辯證地（即實踐地）證明的一面；只看到公理形成后演繹的一面也是片面的，還必須看到在實踐中歸納的一面。從數學發(fā)展歷史來看，最初由歐幾里德給出的初等幾何公理系統(tǒng)，由于認識水平的局限。當時他還沒有可能深入地從一般意義上去研究公理系統(tǒng)的構造，研究公理化方法的理論，因而給出的公理系統(tǒng)還存在著不少缺點。例如，在歐氏幾何的公理系統(tǒng)中，有些定義和公理是不必要的，有些定理的證明是不嚴格的。從這個意義上來說，歐幾里德幾何只能說是公理化的一個雛形，其中體現的公理化思想還是樸素的、原始的。到了十九世紀末，希爾伯特克服了歐氏幾何公理系統(tǒng)中的缺點，形成了加工、整理數學經驗資料的公理化方法。希爾伯特把公理系統(tǒng)結構的基本特性概括為五個方面，我們不難看到，公理和由它發(fā)展而來的現代公理化方法，是數學發(fā)展一定階段的產物，是一種有效的科學方法?，F代數學的各個分支，一般都用公理化方法建立自己的嚴謹體系。例如，概率論開始形成時，實踐性很強，后來也公理化了，這是認識過程中一個進步。上世紀四十年代，德國布爾巴基學派在整個數學中找出幾種基本結構——序、代數、拓樸等，并在這些基本結構的基礎上，把全部純數學加以整理，建立各種各樣的公理化體系，這個工作對于促進數學的發(fā)展有著一定的積極意義。我們把“特殊化”作為實現化歸的途徑之一。因為相對于一般來說，特殊的事物往往包含人們較為熟悉的信息，這些信息的引入所產生的條件強化，顯然滿足熟悉化、簡單化的策略選擇原則；但有時人們對一般的事物比較熟悉，而對特殊的事物反而比較生疏，所以，我們把“一般化”也作為實現化歸的途徑，例如，把方程不等式轉化為求函數的零點與符號區(qū)間，母函數法以及在解析幾何中把特定的曲線方程轉化為考慮某個曲線系方程等，都是一般化歸策略的表現。我們研討定理、公理的來龍去脈，目的是為了更好地運用，如可以優(yōu)化結論的推導過程，培養(yǎng)分析綜合能力。例題：推導“等比數列的前n項和公式”。推導的方法很多，方法一、二略。方法三：運用定義，結合等比定理設計如下推導方法：方法四：整體代換法：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)－a1qn=a1+qSn－a1qn，當q=1時，Sn=na1，運用定理、公理，可以優(yōu)化思想方法的滲透過程，培養(yǎng)學生理解應用能力。如求值sin2200+cos2800+·sin20·0cos800（如圖）。分析觀察所求代數式結構特點聯想余弦定理表達式。BC=ksin1500=sin1500，取得k=1，AC=ksin200=sin200，AB=ksin100=sin100，根據余弦定理：原式=sin2200+sin2100-2cos1500·sin20·0sin100=sin21500=3/4這題解法，不僅簡捷、巧妙，還滲透了數形結合方法。當然，我們不能把公理化方法絕對化。必須辯證地看到，公理的作用是有其局限性的。前蘇聯旺塞寧·沃爾平強調指出要把公理方法立刻推廣到所有的數學領域中去，但有的數學家則認為，就總體來說數學不能全部都公