江蘇省海安某中學(xué)2021屆高三年級(jí)上冊(cè)期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)

2021屆江蘇省海安高級(jí)中學(xué)高三期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z=l-2i,其中i為虛數(shù)單位，則z=

A.1B.-1C.iD.-i

2.已知集合4=-x>0},則6RA=

A.{x|0<x<l}B.{x|0WxWl}

C.{x|x<0或x>l}D.{x|xW0或x?l}

3.在1,2,3,…，2020這2020個(gè)自然數(shù)中，將能被2除余1,且被3除余1的數(shù)按從小

到大的次序排成一列，構(gòu)成數(shù)列則的,=

A.289B.295C.301D.307

4.重陽節(jié)，農(nóng)歷九月初九，二九相重，諧音是“久久”，有長(zhǎng)久之意，人們常在此日感恩

敬老，是我國民間的傳統(tǒng)節(jié)日.某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排6位學(xué)生到兩所敬老院開展志愿

服務(wù)活動(dòng)，要求每所敬老院至少安排2人，則不同的分配方案數(shù)是

A.35B.40C.50D.70

OY

5.函數(shù)五的圖象大致為

X+X

6.某校先后舉辦定點(diǎn)投籃比賽和定點(diǎn)射門比賽.高三(1)班的45名同學(xué)中，只參加了其

中一項(xiàng)比賽的同學(xué)有20人，兩項(xiàng)比賽都沒參加的有19人，則兩項(xiàng)比賽中參加人數(shù)最多

的一項(xiàng)比賽人數(shù)不可能是

A.15B.17C.21D.26

7.克羅狄斯?托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下

定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩c

組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào).根據(jù)以上

材料，完成下題：如圖，半圓。的直徑為2,A為直徑延/一'

長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，0A=2,B為半圓上一點(diǎn)，以AB為一邊作(

等邊三角形4BC,則當(dāng)線段。C的長(zhǎng)取最大值時(shí)，/4OC=°4

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.已知雙曲線g-《=l(a>0,%>0)的焦點(diǎn)為耳，外，其漸近線上橫坐標(biāo)為［的點(diǎn)P

ab2

滿足貝IJa=

A.|B.|C.2D.4

42

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。

9.下列四個(gè)函數(shù)中，以n為周期，且在區(qū)間(方，爭(zhēng))上單調(diào)遞減的是

A.y=\sinx|B.y=cos2xC.y=-tanxD.y=sin|2x\

10.若(2x-J=『的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃的可能值為

A.9B.10C.11D.12

11.已知a>0,b>0,且4+加=1,則

A.a+匕W>/2B.

2

22

c.log27a+log2D.a-b>-l

12.我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N都可以表示成N=axl0"(1W"1O,〃wZ).

N的整數(shù)部分的位數(shù)，〃20,

定義：W(N)=，如：W(1.2X102)=3,IV(1.23x10)=2,

N的非有效數(shù)字0的個(gè)數(shù)，〃<0,

W(3x10-2)=2,W(3.001x10-')=1,則下列說法正確的是

A.當(dāng)例>1,N>1時(shí)，W(M-N)=W(M)+W(N)

B.當(dāng)〃<0時(shí)，W(N)=-n

C.若N=23,1g2?0.301,則W(N)=31

D.當(dāng)&wN*時(shí)，W(2*)=W(2")

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知拋物線丁=2px(p>0)上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為9,則〃=▲.

14.已知某品牌的新能源汽車的使用年限x(年)與維護(hù)費(fèi)用y(千元)之間有如下數(shù)據(jù):

使用年限X(年)24568

維護(hù)費(fèi)用y(千元)34.56.57.59

X與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于X的線性回歸方程為§=L05x+aQ為常數(shù)).

據(jù)此估計(jì)，使用年限為7年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用約為▲千元.

(參考公式：線性回歸方程5=法+〃中的系數(shù)〃=上—-------------，a=y-bx)

力(—)2

i=l

15.如圖，水平廣場(chǎng)上有一盞路燈掛在10m長(zhǎng)的電線桿上，記

電線桿的底部為點(diǎn)A.把路燈看作一個(gè)點(diǎn)光源，身高1.5m

的女孩站在離點(diǎn)A5m的點(diǎn)B處.若女孩向點(diǎn)A前行4m到

達(dá)點(diǎn)。，然后從點(diǎn)O出發(fā)，沿著以8。為對(duì)角線的正方形走

一圈，則女孩走一圈時(shí)頭頂(視為一點(diǎn))的影子所圍成封閉

圖形的面積為▲nAj

B

16.已知三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=l,以「為球心，坐

為半徑的球面與該三棱錐表面的交線的長(zhǎng)度之和為▲.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)

已知公比q大于1的等比數(shù)列｛〃"｝滿足q+4=10,4=4.

(1)求｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)2=,求數(shù)列｛歷｝的前"項(xiàng)和S,,.

請(qǐng)?jiān)冖佟皅；②|21og,-9|；③-----------r------------這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，

"11(2"+1)(Z+l+1)

補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(本小題滿分12分)

在AABC中,設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且(c-b)sinC=(a-力(sinA+sinB).

(1)求A：

(2)若b=2,且△ABC為銳角三角形，求△ABC的面積S的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)

如圖，四棱錐P—ABCD的底面為直角梯形，AB//CD,AD±CD,AB=AD=\,CD=2,

POJ_平面ABCD

(1)求證：8C,平面PBD；

(2)已知尸D=2,點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，求直線AE與平面。CE所成角的正弦值.

20.（本小題滿分12分）

根據(jù)歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部

門批準(zhǔn)后，醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10人中至少有2人痊愈，

則認(rèn)為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認(rèn)為該藥無效.

（1）如果在該次試驗(yàn)中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗(yàn)的10人中隨機(jī)選2人了解

服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個(gè)數(shù)為X,求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

（2）如果新藥有效，將治愈率提高到了50%,求通過試驗(yàn)卻認(rèn)定新藥無效的概率p,

并根據(jù)p的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性.

（參考結(jié)論：通常認(rèn)為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件）

21.（本小題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：￡+耳=1（。>6>0）的離心率為坐，且經(jīng)過

a,bz2

點(diǎn)4（1,日）.

（1）求桶圓C的方程；

（2）設(shè)尸為橢圓C的右焦點(diǎn)，直線/與橢圓C相切于點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限），過原點(diǎn)O

作直線/的平行線與直線PF相交于點(diǎn)。，問：線段尸。的長(zhǎng)是否為定值？若是，求

出定值；若不是，說明理由.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=ae"lg(x)=l吟一1,其中a>0.

(1)若。=1,在平面直角坐標(biāo)系火刀中，過坐標(biāo)原點(diǎn)。分別作函數(shù)y=/(%)與丁=且(")

的圖象的切線4,4，求4,4的斜率之積；

(2)若/(x)2g(x)在區(qū)間(0,+8)上恒成立，求。的最小值.

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

DBBCAACB

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

ACABCABDBCD

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分）

32003叵R.x/6n

13.314.8.215.---------r-------

28943

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.(本小題滿分10分)

已知公比q大于1的等比數(shù)列｛an｝滿足q+03=10,4=4?

(1)求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)么=,求數(shù)列｛尻｝的前〃項(xiàng)和S〃.

請(qǐng)?jiān)冖佟?““；②1210g24-9|；③（2"+1+1）這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，

補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

2

解：（1）因?yàn)閝+為=10,a2=4,所以>4q=10,BP2q-5^+2=0.……2分

解得q=2或q=T.

因?yàn)?>1,所以q=2,此時(shí)q=2.所以/=2".……4分

(2)若選①:bn=n-an=n-2".

貝!IS,,=1x2+2x22+3x2'+…+〃-2",①

故2S,,=lx22+2x23+---+(n-l)-2,,+n-2,,+l.②

①一②得，-S“=(2+22+23+…+2")-〃-2e.......7分

2(1-2")?

-〃N

=(l-n)2B+1-2,

所以S“=(〃-1)2向+2.……10分

若選②:=|21og2an-9|=|2M-9|=P之；...6分

[2?-9,〃與5.

n(7+9—2n)2.0Q

nSn=---------------=-n+8〃；...8分

當(dāng)〃時(shí),Sn=(t\+b2+b3+b4)+(b5+b6-\---卜bn)

4x(7+l)(〃-4)(1+2〃-9)

=~2-+2

=rT-8〃+32.

—n~+8〃，〃W4,

-8〃+32,幾25.

若選③：b=-------二-------=一!--------!一.

------"(2n+l)(2"+l+1)2"+\2"+|+1

則S"=。-舅7)+(京7-黃7%”+島2向+J

11....10分

-T2,,+l+l

18.(本小題滿分12分)

在AABC中，設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,h,c,且(c-ft)sinC=(a-勿(sinA+sinB).

(1)求A；

(2)若6=2,且△ABC為銳角三角形，求△ABC的面積S的取值范圍.

解：(1)因?yàn)?c-6)sinC=(a-b)(sinA+sinB),

由正弦定理知，(c-Z>)c=(a-fe)(a+fe),BPc2-bc=a2-b2.....3分

則由余弦定理知，cosA='+f"

在△A8C中，所以A=?...6分

-B

(2)由正弦定理知，1得。=2sinC……8分

sinCsin5sin3

故S=^bcsinA=孚c=乎?

sin8

v,康+小....10分

由△ABC為銳角三角形，得0＜8〈片，0＜孕-B＜片，所以〈年.

232o2

從而tanB＞堂，所以乎＜S＜2有.

D乙

所以△ABC的面積S的取值范圍是(小，2月).……12分

19.(本小題滿分12分)

如圖，四棱錐P—A3CO的底面為直角梯形，AB//CD,ADLCD,AB=AD^\,CD=2,

PQ_L平面ABCD

(1)求證：BC_L平面PBD；

(2)已知/＞0=2,點(diǎn)E為棱P8的中點(diǎn)，求直線AE與平面CCE所成角的正弦值.

解：（1）在直角梯形ABCD中，取C。的中點(diǎn)F,連接BF,則8尸=AO=1,CF=1,

所以8C=0,又80=0,DC=2.

所以8c2+8D2=CD2,從而BC_LBD.

又PD_L平面4BCD,BCu平面ABC。,

所以BCLPD.

因?yàn)锽C_LB￡),BCLPD,BDTPD=D,

BD,PDu平面PB。，所以BC_L平面P8D

（2）因?yàn)槭琌_L平面ABC。，ADLCD,所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,OP分別為

x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系力-xyz.

則A(l,0,0),8(1,1,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),于是Ea1),

20.（本小題滿分12分）

根據(jù)歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部

門批準(zhǔn)后，醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10人中至少有2人痊愈，

則認(rèn)為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認(rèn)為該藥無效.

（1）如果在該次試驗(yàn)中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗(yàn)的10人中隨機(jī)選2人了解

服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個(gè)數(shù)為X,求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

（2）如果新藥有效，將治愈率提高到了50%,求通過試驗(yàn)卻認(rèn)定新藥無效的概率p,

并根據(jù)p的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性.

（參考結(jié)論：通常認(rèn)為發(fā)生概;率小于5%的事件可視為小概率事件）

解：⑴由題意知，X所有可能值為0,1,2,且P（X=0）=$3=M=1

''C；n459

C；C=25=3P（X=2）=等=患得

...3分

P(X=I)45

則X的概率分布為

X012

252

P

999

所以E(X)=，()+\xl+殺2=1.6分

yyy

（2）設(shè)通過試驗(yàn)痊愈的人數(shù)為Y,則y10,1）.

記“通過試驗(yàn)卻認(rèn)定新藥無效”為事件A,事件A發(fā)生等價(jià)于｛Y<2｝.

則p=p（y<2）=p（y=o）+p（y=i）=cM3j'x（｝『+cM；）'x（/『

=電.……1°分

由題意，實(shí)際上新藥是有效的；當(dāng)痊愈人數(shù)低于2人時(shí)，認(rèn)定新藥無效，此時(shí)

做出了錯(cuò)誤的判斷；因?yàn)?。0.01<0.05,這個(gè)概率很小，故試驗(yàn)方案是合理的.

……12分

21.（本小題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：4+《=1（。>6>0）的離心率為冬，且經(jīng)過

ab~2

點(diǎn)A（l,堂）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，直線/與橢圓C相切于點(diǎn)尸（點(diǎn)P在第一象限），過原點(diǎn)O

作直線/的平行線與直線尸尸相交于點(diǎn)。，問：線段P。的長(zhǎng)是否為定值？若是，求

出定值；若不是，說明理由.

C_五

解：（1）記橢圓的半焦距為c,由題意知，」+」r=l,……3分

a22b-

a2=b2+c2.

解得=所以橢圓C的方程為考■+卡=1.……5分

（2）設(shè)直線/的方程為y=丘+〃?，

y=kx+m9

由＜得（2公+1）J+4knr+2m2-2=0.

y+y2=B

因?yàn)橹本€/與橢圓M相切，所以△=（4kw）2-4（2加2_2）（2公+1）=0.

化簡(jiǎn)得，“=2無？+1........7分

設(shè)P（Xp，y）,則x==—?

'p7p2k2+\mm

當(dāng)點(diǎn)P為（1,乎）時(shí)，Q（l，—乎），PQ=&;

當(dāng)點(diǎn)P不為（1,岑）時(shí)，直線PF方程為尸-導(dǎo)正（x-1），

由[丫=_1^（》_1），得——=.1.,所以々=,1

v

y=l（Xf2K+AT??+1in[in+k）m[m+k）

.......10分

于是PQ=J（冷=

（4k2+4km+m2+1|1+2-+2km|

|2k+m\]加+k）]

J2k2+4lan+2m2nr+2km

_—1__________________x=>/2.

|2k+m\

綜上，線段PQ的長(zhǎng)為定值正.12分

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=〃e'+i,g(x)=ln,l,其中a>0.

(1)若。=1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)O分別作函數(shù)y=/(%)與y=g(x)

的圖象的切線4,小求4,4的斜率之積；

(2)若/(x)》g(x)在區(qū)間(0,+8)上恒成立，求〃的最小值.

解：(1)設(shè)直線44的斜率