《數(shù)學(xué)教育學(xué)》復(fù)習(xí)指導(dǎo)

《數(shù)學(xué)教育學(xué)》復(fù)習(xí)指導(dǎo)

胡久忠一、《數(shù)學(xué)教育學(xué)》期末考試重點(diǎn)內(nèi)容分析數(shù)學(xué)教育學(xué)的對(duì)象

第一章數(shù)學(xué)教育發(fā)展概述

國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革的特點(diǎn)（數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)價(jià)）

緒論數(shù)學(xué)教育學(xué)的對(duì)象

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)改革的特點(diǎn)：

1.數(shù)學(xué)課程目標(biāo)更加關(guān)注人的發(fā)展，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高；

2.數(shù)學(xué)課程目標(biāo)面向全體學(xué)生；

3.數(shù)學(xué)課程目標(biāo)關(guān)注個(gè)別差異，而不是統(tǒng)一模式；

4.數(shù)學(xué)課程目標(biāo)更加注重聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際。具體表現(xiàn)為：①注重問題解決；②注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用；③注重?cái)?shù)學(xué)交流；④注重?cái)?shù)學(xué)思想方法；⑤注重培養(yǎng)學(xué)生的態(tài)度情感與自信心。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的改革特點(diǎn)：

1、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮全體學(xué)生的需要。

2、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容范圍應(yīng)有所擴(kuò)展，選擇更多與學(xué)生生活密切聯(lián)系的內(nèi)容。

3、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇應(yīng)符合現(xiàn)代社會(huì)的需要，讓學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)代社會(huì)所必需的、有用的數(shù)學(xué)。

4、考慮數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，將現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的新的內(nèi)容和新的技術(shù)引入數(shù)學(xué)課程之中。

數(shù)學(xué)教學(xué)的改革特點(diǎn)：

1、強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教學(xué)過程中的主動(dòng)參與，教師在教學(xué)過程中，更多地是充當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的促進(jìn)者、學(xué)習(xí)環(huán)境的營(yíng)造者。

2、充分注重學(xué)生的個(gè)別差異。

3、注重讓學(xué)生在多樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)。

4、注重計(jì)算器與計(jì)算機(jī)等先進(jìn)技術(shù)的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)改革的特點(diǎn)：

1、評(píng)價(jià)主體多樣性

2、評(píng)價(jià)內(nèi)容的多元化和開放性

3、評(píng)價(jià)方式的多樣性高中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是：使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高作為未來(lái)公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足個(gè)人發(fā)展與社會(huì)進(jìn)步的需要。具體目標(biāo)如下。

第二章數(shù)學(xué)課程目標(biāo)和內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)（總目標(biāo)，具體目標(biāo)）義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程目標(biāo)（總體目標(biāo)，具體領(lǐng)域、總體目標(biāo)的理解）

1、獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用。通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

2、提高空間想像、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力。

3、提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

4、發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷。

5、提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。

6、具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進(jìn)一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀。

第三章數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本理論

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的理解（數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程分析，“建構(gòu)學(xué)說”）所謂數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)者頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程可分為四個(gè)階段：

1、輸入階段：實(shí)質(zhì)上就是創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，給學(xué)生提供新的學(xué)習(xí)內(nèi)容。學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)內(nèi)容之間發(fā)生認(rèn)知沖突，使學(xué)習(xí)者心理上產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知的需要。

2、相互作用階段：相互作用有同化和順應(yīng)兩種基本形式。同化，就是把新學(xué)習(xí)的內(nèi)容納入原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，從而擴(kuò)大原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。順應(yīng)，就是改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)新學(xué)習(xí)內(nèi)容的過程。

3、操作階段：通過練習(xí)等活動(dòng)，使新學(xué)習(xí)的知識(shí)得到鞏固，初步形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。

4、輸出階段：通過解決數(shù)學(xué)問題，使初步形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)臻于完善，學(xué)生的能力得到發(fā)展，從而達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“建構(gòu)學(xué)說”認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個(gè)被動(dòng)的接受過程，而是一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過程。一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的操作、交流、反省來(lái)主動(dòng)建構(gòu)。

1、任何數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得都必須經(jīng)歷“建構(gòu)”這樣一個(gè)由“外”到“內(nèi)”的轉(zhuǎn)化過程。

2、已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等構(gòu)成新的建構(gòu)活動(dòng)的必要基礎(chǔ)。

3、與具體的、零散的知識(shí)相比，整體性的知識(shí)更為重要。

4、盡管數(shù)學(xué)知識(shí)的“建構(gòu)”活動(dòng)最終是學(xué)生相對(duì)獨(dú)立地完成，但必定是在一定的“社會(huì)環(huán)境”之中完成。第四章數(shù)學(xué)教學(xué)過程、原則和方法

數(shù)學(xué)教學(xué)過程的分析（聯(lián)系緒論）數(shù)學(xué)教學(xué)原則（具體與抽象相結(jié)合，嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合）幾種數(shù)學(xué)教學(xué)模型的基本框架

數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師利用一系列手段（教科書、教具、技術(shù)手段）來(lái)實(shí)現(xiàn)的控制過程，是師生信息交互傳遞過程，是由師生雙方協(xié)同活動(dòng)來(lái)完成的。教師、學(xué)生與課程是傳遞系統(tǒng)的三個(gè)基本構(gòu)成要素。教師與學(xué)生為信息傳遞和接收的主體，課程（知識(shí)）是這個(gè)傳遞系統(tǒng)的客體。數(shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)課程論、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論是數(shù)學(xué)教育學(xué)的主要對(duì)象。

教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模型與方法是教學(xué)過程的最基本成分，這四個(gè)成分互相依存、互相聯(lián)系、互相制約、互相作用。

1、教師是教學(xué)目的貫徹者，是教學(xué)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者。

2、學(xué)生是教師的工作對(duì)象，是教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量的體現(xiàn)者，離開學(xué)生，教師的活動(dòng)就要落空。學(xué)生是教學(xué)的主體，必須充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和積極性。

3、教學(xué)內(nèi)容是教師和學(xué)生學(xué)的客觀依據(jù)，離開教學(xué)內(nèi)容教學(xué)失去了依據(jù)，教學(xué)質(zhì)量失去評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)。

4、教學(xué)模型與方法是教師實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的重要措施。教師和學(xué)生是最活躍的兩個(gè)基本成分，是教學(xué)過程的主要矛盾。充分發(fā)揮教和學(xué)的積極性和主動(dòng)性，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。例如，對(duì)抽象與具體相結(jié)合原則的理解與貫徹。高度的抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科的一大特征，其研究對(duì)象是形式化的思想材料，數(shù)學(xué)抽象有著豐富的層次，逐級(jí)抽象，且還伴隨著高度的概括性，數(shù)學(xué)的抽象性還表現(xiàn)廣泛使用符號(hào)。數(shù)學(xué)的抽象必須以具體素材為基礎(chǔ)，任何數(shù)學(xué)概念、命題，甚至數(shù)學(xué)思想都有具體現(xiàn)實(shí)原理。數(shù)學(xué)抽象不僅以具體性為基礎(chǔ)，而且還以廣泛的具體性為歸宿。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，貫徹具體與抽象結(jié)合的原則，應(yīng)從學(xué)生的感知出發(fā)，以客觀事實(shí)為基礎(chǔ)，從具體到抽象，逐步形成抽象的數(shù)學(xué)概念，上升為理論，再由抽象到具體應(yīng)用理論去指導(dǎo)實(shí)踐。

1、數(shù)學(xué)概念的闡述，注意從實(shí)例引入。

2、對(duì)于一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律，注意從特例引入。

3、注意運(yùn)用有關(guān)理論，解釋具體現(xiàn)象，解決具體問題。

4、具體、直觀僅是手段，培養(yǎng)抽象思維能力才是目的。第五章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)

概念的分類、定義，概念的教學(xué)命題演算，蘊(yùn)含命題的四種形式，逆命題的制作。數(shù)學(xué)證明的邏輯分析，數(shù)學(xué)命題的教學(xué)反證法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)（具體數(shù)學(xué)思維方法的應(yīng)用）

何謂數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普通指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)方法是指在數(shù)學(xué)地提出問題，解決問題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和實(shí)際問題）過程中所采用的各種方式、手段、途徑等。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的。思想指導(dǎo)方法，方法體現(xiàn)思想。數(shù)學(xué)思想方法是一種隱性的知識(shí)內(nèi)容，要通過反復(fù)體驗(yàn)才能領(lǐng)悟和運(yùn)用，要在解決問題的不斷實(shí)踐中才能理解和掌握。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)過程一般通過“多次孕育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展”三個(gè)階段，應(yīng)用“化隱為顯、循序漸進(jìn)、學(xué)生參與”三條原則。（1）深入挖掘蘊(yùn)含在教材內(nèi)容中的思想方法（2）緊密結(jié)合教材，有計(jì)劃、有步驟地系統(tǒng)開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。（3）展現(xiàn)同數(shù)學(xué)思想方法相聯(lián)系的思維活動(dòng)過程。（4）加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，逐步提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題能力。第六章數(shù)學(xué)思維

發(fā)散思維、直覺思維含義、特征與培養(yǎng)

第七章數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)技能的形成數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)：數(shù)學(xué)觀察力、數(shù)學(xué)記憶力、空間想象力、數(shù)學(xué)思維力、數(shù)學(xué)化能力

數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的基本途徑：（1）提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性、積極性，是培養(yǎng)能力的前提。（2）學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是培養(yǎng)能力的基礎(chǔ)。（3）改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)組織，是培養(yǎng)能力的關(guān)鍵。（4）注意各學(xué)科知識(shí)的滲透、綜合是培養(yǎng)能力的重要措施。（5）提高教師的知識(shí)和業(yè)務(wù)水平，是培養(yǎng)能力的重要條件。

幾種數(shù)學(xué)能力（運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)實(shí)踐能力）及其培養(yǎng)。例如，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力途徑：（1）教學(xué)內(nèi)容的選擇應(yīng)符合現(xiàn)代社會(huì)的需要，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。（2）面對(duì)實(shí)際問題，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)角度，探索問題的解決辦法。（3）面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，讓學(xué)生能主動(dòng)尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值。（4）重視數(shù)學(xué)在其它學(xué)科中的應(yīng)用，搜集數(shù)學(xué)在各種領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的實(shí)際例子。（5）結(jié)合實(shí)際問題開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，開展研究性學(xué)習(xí)。二、試卷題型（類似綜合練習(xí)）

1、

填空（15分）2、

問答題（40分）3、

解答、證明題（30分）4、

作業(yè)評(píng)講題（15分）三、幾個(gè)例子：

1、“等腰三角形頂角平分線是底邊上的中線?！彼姆N命題形式。P:△ABC中AB=AC；q：△ABC中∠BAD=∠DAC；r:AD是BC邊上的中線；原命題：或或逆命題：若三角形一角的平分線是對(duì)邊的中線，則這三角形兩邊相等；偏逆命題：

等腰三角形底邊上的中線是頂角的平分線；否命題：

若三角形兩邊不等則這兩邊夾角的平分線不平分對(duì)邊。若△ABC中AB≠AC或AD不平分∠BAC，則AD不是BC邊的中線逆否命題：若三角形一角的平分線不平分對(duì)邊，則該三角形的另兩邊不等.

若△ABC中AD不是BC的中線，則AB≠AC或AD不平分∠BAC。原命題的否定命題等腰三角形頂角平分線不是底邊的中線。

2、證明：圓內(nèi)非直徑兩弦必不能互相平分。

P:兩弦AB、CD非直徑，q:兩弦AB、CD不能互相平分證明1：設(shè)兩弦AB、CD互相平分于M，（

）連AC，CB，BD，DA，則，四邊形ACBD為平行四邊形∴∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC而∠ADB+∠ACB=180°，∠DAC+∠DBC=180°∴AB，CD是直徑（）∴原命題成立。

DABMC邏輯分析：，利用逆否命題反證法。證明2：設(shè)非直徑兩弦AB，CD互相平分于M，

連OM，則OM⊥AB，OM⊥CD

從而AB，CD重合（）與已知矛盾。∴原命題成立邏輯分析：歸謬反證法

DMABOC3、同一法的理論依據(jù)是同一原理：兩個(gè)互逆命題，如果條件與結(jié)論中所含事項(xiàng)都是唯一存在的，且他們所指的是同一對(duì)象時(shí)，那么當(dāng)其中一個(gè)命題正確時(shí)，另一個(gè)命題也正確。同一法步驟如下：①先作出符合命題結(jié)論的圖形。（邏輯上構(gòu)成逆命題或偏命題的假設(shè)）②證明所做圖形符合已知條件（證明逆命題或偏逆命題）③根據(jù)唯一性，確定所作圖形與已知圖形符合（確定符合同一原理）。④肯定原命題成立

例：用同一法證明，并對(duì)證明進(jìn)行邏輯分析。正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，若∠PCD=∠PDC=15°，則△PAB為正三角形。證明：在正方形作點(diǎn)P’，

使△P′AB為正三角形；（作出符合結(jié)論的圖形，構(gòu)成偏逆命題的假設(shè)）

連P’C，P’D，則∠AP’D=∠ADP’=75°；∴∠P’DC=15°同理，∠P’CD=15°。

DCBP’PA（證明所作圖形符合已知條件，即證明了逆命題）由在線段CD同側(cè)，底角等于15°的等腰三角形頂點(diǎn)是唯一的，從而P、P’重合。（根據(jù)唯一性，判斷所作圖形與已知圖形重合，即判斷原命題符合同一原理）∴△PAB為正三角形。（斷定原命題成立。）

4、講評(píng)作業(yè)：（如有錯(cuò)誤，指出錯(cuò)誤之處，寫出正確解答）用數(shù)學(xué)歸納法證明：若，

,則證明：n=1時(shí)，命題成立;假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)，∴∴∴對(duì)一切正整數(shù)命題成立。解答：應(yīng)用歸納法假設(shè)錯(cuò)誤，從而出現(xiàn)特例證明：當(dāng)時(shí)命題成立，假設(shè)時(shí)命題成立，即時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，命題顯然成立，若不全為1，則至少一個(gè)大于1而另一個(gè)小于1，不妨設(shè)，由歸納假設(shè)∴∴對(duì)正整數(shù)n,原命題成立。5、綜合練習(xí)（一）的第六題：一個(gè)正三棱錐和一個(gè)正四棱錐，它們的棱長(zhǎng)相等，問