《數(shù)學教育學》復習指導

《數(shù)學教育學》復習指導

胡久忠一、《數(shù)學教育學》期末考試重點內(nèi)容分析數(shù)學教育學的對象

第一章數(shù)學教育發(fā)展概述

國際數(shù)學教育改革的特點（數(shù)學課程目標，數(shù)學課程內(nèi)容，數(shù)學教學與評價）

緒論數(shù)學教育學的對象

數(shù)學課程目標改革的特點：

1.數(shù)學課程目標更加關注人的發(fā)展，關注學生數(shù)學素質的提高；

2.數(shù)學課程目標面向全體學生；

3.數(shù)學課程目標關注個別差異，而不是統(tǒng)一模式；

4.數(shù)學課程目標更加注重聯(lián)系現(xiàn)實生活實際。具體表現(xiàn)為：①注重問題解決；②注重數(shù)學應用；③注重數(shù)學交流；④注重數(shù)學思想方法；⑤注重培養(yǎng)學生的態(tài)度情感與自信心。

數(shù)學課程內(nèi)容的改革特點：

1、數(shù)學課程內(nèi)容的設計應考慮全體學生的需要。

2、數(shù)學課程內(nèi)容范圍應有所擴展，選擇更多與學生生活密切聯(lián)系的內(nèi)容。

3、數(shù)學課程內(nèi)容的選擇應符合現(xiàn)代社會的需要，讓學生學習現(xiàn)代社會所必需的、有用的數(shù)學。

4、考慮數(shù)學本身的發(fā)展，將現(xiàn)代數(shù)學中的新的內(nèi)容和新的技術引入數(shù)學課程之中。

數(shù)學教學的改革特點：

1、強調學生在教學過程中的主動參與，教師在教學過程中，更多地是充當學生學習活動的促進者、學習環(huán)境的營造者。

2、充分注重學生的個別差異。

3、注重讓學生在多樣的學習活動中體驗數(shù)學。

4、注重計算器與計算機等先進技術的應用。

數(shù)學學習評價改革的特點：

1、評價主體多樣性

2、評價內(nèi)容的多元化和開放性

3、評價方式的多樣性高中數(shù)學課程的總目標是：使學生在九年義務教育數(shù)學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學素養(yǎng)，以滿足個人發(fā)展與社會進步的需要。具體目標如下。

第二章數(shù)學課程目標和內(nèi)容

高中數(shù)學課程目標（總目標，具體目標）義務教育數(shù)學課程目標（總體目標，具體領域、總體目標的理解）

1、獲得必要的數(shù)學基礎知識和基本技能，理解基本的數(shù)學概念、數(shù)學結論的本質，了解概念、結論等產(chǎn)生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，以及它們在后續(xù)學習中的作用。通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

2、提高空間想像、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力。

3、提高數(shù)學地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力，數(shù)學表達和交流的能力，發(fā)展獨立獲取數(shù)學知識的能力。

4、發(fā)展數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識，力求對現(xiàn)實世界中蘊涵的一些數(shù)學模式進行思考和作出判斷。

5、提高學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態(tài)度。

6、具有一定的數(shù)學視野，逐步認識數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數(shù)學的理性精神，體會數(shù)學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀。

第三章數(shù)學學習的基本理論

數(shù)學學習過程的理解（數(shù)學認知結構，數(shù)學學習過程分析，“建構學說”）所謂數(shù)學認知結構就是學習者頭腦里的數(shù)學知識按照自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認知特點，組合成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結構。數(shù)學學習過程是新的學習內(nèi)容與學生原有的數(shù)學認知結構相互作用，形成新的數(shù)學認知結構的過程，數(shù)學學習過程可分為四個階段：

1、輸入階段：實質上就是創(chuàng)設學習情境，給學生提供新的學習內(nèi)容。學生原有數(shù)學認知結構與新學習內(nèi)容之間發(fā)生認知沖突，使學習者心理上產(chǎn)生學習新知的需要。

2、相互作用階段：相互作用有同化和順應兩種基本形式。同化，就是把新學習的內(nèi)容納入原數(shù)學認知結構中去，從而擴大原有認知結構的過程。順應，就是改造原有認知結構，以適應新學習內(nèi)容的過程。

3、操作階段：通過練習等活動，使新學習的知識得到鞏固，初步形成新的數(shù)學認知結構的過程。

4、輸出階段：通過解決數(shù)學問題，使初步形成的認知結構臻于完善，學生的能力得到發(fā)展，從而達到預期目標。數(shù)學學習的“建構學說”認為，數(shù)學學習并非是一個被動的接受過程，而是一個主動的建構過程。一個人的數(shù)學知識必須基于個人對經(jīng)驗的操作、交流、反省來主動建構。

1、任何數(shù)學知識的獲得都必須經(jīng)歷“建構”這樣一個由“外”到“內(nèi)”的轉化過程。

2、已有知識、經(jīng)驗等構成新的建構活動的必要基礎。

3、與具體的、零散的知識相比，整體性的知識更為重要。

4、盡管數(shù)學知識的“建構”活動最終是學生相對獨立地完成，但必定是在一定的“社會環(huán)境”之中完成。第四章數(shù)學教學過程、原則和方法

數(shù)學教學過程的分析（聯(lián)系緒論）數(shù)學教學原則（具體與抽象相結合，嚴謹性與量力性相結合）幾種數(shù)學教學模型的基本框架

數(shù)學教學過程是教師利用一系列手段（教科書、教具、技術手段）來實現(xiàn)的控制過程，是師生信息交互傳遞過程，是由師生雙方協(xié)同活動來完成的。教師、學生與課程是傳遞系統(tǒng)的三個基本構成要素。教師與學生為信息傳遞和接收的主體，課程（知識）是這個傳遞系統(tǒng)的客體。數(shù)學教學論、數(shù)學課程論、數(shù)學學習論是數(shù)學教育學的主要對象。

教師、學生、教學內(nèi)容、教學模型與方法是教學過程的最基本成分，這四個成分互相依存、互相聯(lián)系、互相制約、互相作用。

1、教師是教學目的貫徹者，是教學活動的組織者和引導者。

2、學生是教師的工作對象，是教學效果和教學質量的體現(xiàn)者，離開學生，教師的活動就要落空。學生是教學的主體，必須充分調動學生學習的自覺性和積極性。

3、教學內(nèi)容是教師和學生學的客觀依據(jù)，離開教學內(nèi)容教學失去了依據(jù)，教學質量失去評價的標準。

4、教學模型與方法是教師實現(xiàn)教學目標的重要措施。教師和學生是最活躍的兩個基本成分，是教學過程的主要矛盾。充分發(fā)揮教和學的積極性和主動性，是提高數(shù)學教學質量的關鍵。例如，對抽象與具體相結合原則的理解與貫徹。高度的抽象性是數(shù)學學科的一大特征，其研究對象是形式化的思想材料，數(shù)學抽象有著豐富的層次，逐級抽象，且還伴隨著高度的概括性，數(shù)學的抽象性還表現(xiàn)廣泛使用符號。數(shù)學的抽象必須以具體素材為基礎，任何數(shù)學概念、命題，甚至數(shù)學思想都有具體現(xiàn)實原理。數(shù)學抽象不僅以具體性為基礎，而且還以廣泛的具體性為歸宿。在數(shù)學教學中，貫徹具體與抽象結合的原則，應從學生的感知出發(fā)，以客觀事實為基礎，從具體到抽象，逐步形成抽象的數(shù)學概念，上升為理論，再由抽象到具體應用理論去指導實踐。

1、數(shù)學概念的闡述，注意從實例引入。

2、對于一般性的數(shù)學規(guī)律，注意從特例引入。

3、注意運用有關理論，解釋具體現(xiàn)象，解決具體問題。

4、具體、直觀僅是手段，培養(yǎng)抽象思維能力才是目的。第五章數(shù)學基礎知識的教學

概念的分類、定義，概念的教學命題演算，蘊含命題的四種形式，逆命題的制作。數(shù)學證明的邏輯分析，數(shù)學命題的教學反證法、同一法、數(shù)學歸納法數(shù)學思想方法的教學（具體數(shù)學思維方法的應用）

何謂數(shù)學思想方法數(shù)學思想是對數(shù)學知識的本質認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識中提煉上升的數(shù)學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普通指導意義，是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想。數(shù)學方法是指在數(shù)學地提出問題，解決問題（包括數(shù)學內(nèi)部問題和實際問題）過程中所采用的各種方式、手段、途徑等。數(shù)學思想與數(shù)學方法是緊密聯(lián)系的。思想指導方法，方法體現(xiàn)思想。數(shù)學思想方法是一種隱性的知識內(nèi)容，要通過反復體驗才能領悟和運用，要在解決問題的不斷實踐中才能理解和掌握。數(shù)學思想方法的教學過程一般通過“多次孕育、初步形成、應用發(fā)展”三個階段，應用“化隱為顯、循序漸進、學生參與”三條原則。（1）深入挖掘蘊含在教材內(nèi)容中的思想方法（2）緊密結合教材，有計劃、有步驟地系統(tǒng)開展數(shù)學思想方法的教學。（3）展現(xiàn)同數(shù)學思想方法相聯(lián)系的思維活動過程。（4）加強數(shù)學思想方法的訓練，逐步提高學生運用數(shù)學思想方法分析問題和解決問題能力。第六章數(shù)學思維

發(fā)散思維、直覺思維含義、特征與培養(yǎng)

第七章數(shù)學技能和數(shù)學能力的培養(yǎng)

數(shù)學能力的結構；數(shù)學技能的形成數(shù)學實踐能力的培養(yǎng)

數(shù)學能力的結構：數(shù)學觀察力、數(shù)學記憶力、空間想象力、數(shù)學思維力、數(shù)學化能力

數(shù)學能力培養(yǎng)的基本途徑：（1）提高學生學習的自覺性、積極性，是培養(yǎng)能力的前提。（2）學好數(shù)學基礎知識，是培養(yǎng)能力的基礎。（3）改進教學方法和教學組織，是培養(yǎng)能力的關鍵。（4）注意各學科知識的滲透、綜合是培養(yǎng)能力的重要措施。（5）提高教師的知識和業(yè)務水平，是培養(yǎng)能力的重要條件。

幾種數(shù)學能力（運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數(shù)學實踐能力）及其培養(yǎng)。例如，在中學數(shù)學教學過程中培養(yǎng)學生數(shù)學實踐能力途徑：（1）教學內(nèi)容的選擇應符合現(xiàn)代社會的需要，讓學生體會數(shù)學的價值。（2）面對實際問題，鼓勵學生嘗試從數(shù)學角度，探索問題的解決辦法。（3）面對新的數(shù)學知識時，讓學生能主動尋找其實際背景，并探索其應用價值。（4）重視數(shù)學在其它學科中的應用，搜集數(shù)學在各種領域廣泛應用的實際例子。（5）結合實際問題開展數(shù)學建?；顒?，開展研究性學習。二、試卷題型（類似綜合練習）

1、

填空（15分）2、

問答題（40分）3、

解答、證明題（30分）4、

作業(yè)評講題（15分）三、幾個例子：

1、“等腰三角形頂角平分線是底邊上的中線?！彼姆N命題形式。P:△ABC中AB=AC；q：△ABC中∠BAD=∠DAC；r:AD是BC邊上的中線；原命題：或或逆命題：若三角形一角的平分線是對邊的中線，則這三角形兩邊相等；偏逆命題：

等腰三角形底邊上的中線是頂角的平分線；否命題：

若三角形兩邊不等則這兩邊夾角的平分線不平分對邊。若△ABC中AB≠AC或AD不平分∠BAC，則AD不是BC邊的中線逆否命題：若三角形一角的平分線不平分對邊，則該三角形的另兩邊不等.

若△ABC中AD不是BC的中線，則AB≠AC或AD不平分∠BAC。原命題的否定命題等腰三角形頂角平分線不是底邊的中線。

2、證明：圓內(nèi)非直徑兩弦必不能互相平分。

P:兩弦AB、CD非直徑，q:兩弦AB、CD不能互相平分證明1：設兩弦AB、CD互相平分于M，（

）連AC，CB，BD，DA，則，四邊形ACBD為平行四邊形∴∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC而∠ADB+∠ACB=180°，∠DAC+∠DBC=180°∴AB，CD是直徑（）∴原命題成立。

DABMC邏輯分析：，利用逆否命題反證法。證明2：設非直徑兩弦AB，CD互相平分于M，

連OM，則OM⊥AB，OM⊥CD

從而AB，CD重合（）與已知矛盾?！嘣}成立邏輯分析：歸謬反證法

DMABOC3、同一法的理論依據(jù)是同一原理：兩個互逆命題，如果條件與結論中所含事項都是唯一存在的，且他們所指的是同一對象時，那么當其中一個命題正確時，另一個命題也正確。同一法步驟如下：①先作出符合命題結論的圖形。（邏輯上構成逆命題或偏命題的假設）②證明所做圖形符合已知條件（證明逆命題或偏逆命題）③根據(jù)唯一性，確定所作圖形與已知圖形符合（確定符合同一原理）。④肯定原命題成立

例：用同一法證明，并對證明進行邏輯分析。正方形ABCD內(nèi)一點P，若∠PCD=∠PDC=15°，則△PAB為正三角形。證明：在正方形作點P’，

使△P′AB為正三角形；（作出符合結論的圖形，構成偏逆命題的假設）

連P’C，P’D，則∠AP’D=∠ADP’=75°；∴∠P’DC=15°同理，∠P’CD=15°。

DCBP’PA（證明所作圖形符合已知條件，即證明了逆命題）由在線段CD同側，底角等于15°的等腰三角形頂點是唯一的，從而P、P’重合。（根據(jù)唯一性，判斷所作圖形與已知圖形重合，即判斷原命題符合同一原理）∴△PAB為正三角形。（斷定原命題成立。）

4、講評作業(yè)：（如有錯誤，指出錯誤之處，寫出正確解答）用數(shù)學歸納法證明：若，

,則證明：n=1時，命題成立;假設n=k時命題成立,即當時，當時，由歸納假設，∴∴∴對一切正整數(shù)命題成立。解答：應用歸納法假設錯誤，從而出現(xiàn)特例證明：當時命題成立，假設時命題成立，即時，有；當時，若時，命題顯然成立，若不全為1，則至少一個大于1而另一個小于1，不妨設，由歸納假設∴∴對正整數(shù)n,原命題成立。5、綜合練習（一）的第六題：一個正三棱錐和一個正四棱錐，它們的棱長相等，問