高中數(shù)學(xué)競賽(預(yù)賽)訓(xùn)練試題+數(shù)學(xué)競賽初賽試題(含答案)

高中數(shù)學(xué)競賽（預(yù)賽）訓(xùn)練試題+數(shù)學(xué)競賽初賽試題（含答案）

高中數(shù)學(xué)競賽（預(yù)賽）真題訓(xùn)練（一）

一'填空題（本題滿分56分，每小題7分。）

1.已知復(fù)數(shù)機(jī)滿足根+L=1,則/〃2008+/^=

m機(jī)2009

2,設(shè)/（x）=—cos?工+——sinxcosx+2,xe[——,—],則/（x）的值域?yàn)開___________.

2264

CCC

3.設(shè)等差數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S.，若%>0,S|6<0,則3?，①，…,2臣中最大的是.

為ai5

4.已知。是銳角△ABC的外心，AB=6,AC=10,若Z5=xQ+yn,且2x+10y=5,則

cosZBAC=.

5.已知正方體ABCD-A]B|GR的棱長為1，。為底面ABCD的中心，M,N分別是棱4D1和CC1

的中點(diǎn).則四面體。-MNB]的體積為

6.設(shè)AU8UC={1,2,3,4,5,6},且4nB={1,2},{1,2,3,4}=8UC，則符合條件的(A,8,C)共

有組.（注：A,B,C順序不同視為不同組.）

7.設(shè)丁=sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx,則|y|的最小值為

8.設(shè)p是給定的正偶數(shù)，集合A。=｛x|20<X<2°T,X=3以weN｝的所有元素的和是

二、解答題（本題滿分64分，第9題14分，第10題15分，第11題15分，第12題20分。）

9.設(shè)數(shù)列｛?！埃ā?gt;0）滿足a1=2,am+n+。吁“一機(jī)+〃=-（a2m+%,,），其中neN,m>?.

（1）證明：對一切〃eN,有a,.=2a“+]-a“+2；

（2）證明：一+—+???+—!—<1.

a\a2a2（m

10.求不定方程*+々+當(dāng)+3%,+3匕+54=21的正整數(shù)解的組數(shù).

11.已知拋物線C:^=耳/與直線/：y=Zx-l沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋

物線C的兩條切線，A,8為切點(diǎn).

(1)證明：直線AB恒過定點(diǎn)Q;

12.設(shè)為正實(shí)數(shù)，且o+b+c+d=4.證明:

hcda

湖北省黃岡中學(xué)高中數(shù)學(xué)競賽(預(yù)賽)真題訓(xùn)練(一)

參考答案

一、填空題(本題滿分56分，每小題7分。)

1.已知復(fù)數(shù)加滿足=則一"項(xiàng)+―黑=0.

mm

2.設(shè)/(x)=；cos2x+*sinxcosx+2,xe?則/(%)的值域?yàn)閒2,2-1]

cccc

3.設(shè)等差數(shù)列{/}的前n項(xiàng)和為S“，若‘5>0,S16<0,則3■，也，…，上中最大的是也.

qa2at5a8

4.已知。是銳角△ABC的外心，AB=6,AC=W,若布=x^+y而且2x+10y=5,則

cosZBAC--.

3

5.已知正方體ABC。—A心G4的棱長為1，。為底面A8CD的中心，M,N分別是棱45和CG

.7

的中點(diǎn).則四面體。-MNB]的體積為—.

6.設(shè)AU5UC={1,2,3,4,5,6},且4nB={1,2},{1,2,3,4}uBUC，則符合條件的（A,B,C）共

有1600組.（注：A,B,C順序不同視為不同組.）

7.設(shè)y=sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx,則|y|的最小值為20-1.

8.設(shè)p是給定的正偶數(shù)，集合={x|20<X<2PM,X=3"，加eN}的所有元素的和是

22/,|-2P~'.

二、解答題（本題滿分64分，第9題14分，第10題15分，第11題15分，第12題20分。）

9.設(shè)數(shù)列{”（心。）滿足q=2,限+限-加+〃=；（“+如），其中

（1）證明：對一切〃eN,有a“+2=2?！?]-%+2；

（2）證明：—+—+???+——<1.

a\a2^2009

證明⑴在已知關(guān)系式限+**+〃4期+%）中，令…〃’可得4=5

令〃=0,可得

?2,?=4am-2m①

令〃?=〃+2,可得

a

2n+2+。2-2=g（a2n+4+a2n）②

由①得。2"+2=4。“+1-2（n+1）,42=46-2=6,七"+4=4%+2-2（〃+2）,a2n=4an-In,

代入②，化簡得q+2=2。,用一6,+2.------------------------7分

（2）由a,"=2a“+]-%+2，得（區(qū),+2-。,+1）=（。“+|-七）+2，故數(shù)歹（]{/用一%}是首項(xiàng)為

a,-a0=2,公差為2的等差數(shù)列，因此。,用—a“=2〃+2.

于是=Z(4-4-i)+4=Z(2Z)+0=〃(〃+l).

k=lk=\

因?yàn)椤?=---=-一一—(?>1),所以

%n(n+1)nn+1

-------)=1

2010---------2010

-----------------------------14分

10.求不定方程再+/+%3+3匕+3/+5%6=21的正整數(shù)解的組數(shù).

解令再+無2+無3=%，匕+/=y，/=z,則x23,y22,z21.

先考慮不定方程x+3y+5z=21滿足》?3,丁22,221的正整數(shù)解.

,/x>3,y>2,z>1,5z=21—x—3y<12,:.1<z<2.---------------------5分

當(dāng)z=1時(shí),有x+3y=16,此方程滿足x23,y22的正整數(shù)解為(x,y)=(10,2),(7,3),(4,4).

當(dāng)z=2時(shí)，有x+3y=ll,此方程滿足的正整數(shù)解為(x,y)=(5,2).

所以不定方程x+3y+5z=21滿足％23,丁22,221的正整數(shù)解為

(x,y,z)=(10,2,1),(7,3,1),(4,4,1),(5,2,2).----------------------------------10分

又方程玉+/+七=武工6^^/23)的正整數(shù)解的組數(shù)為?3,方程狷+七=y(y€^^,%22)的

正整數(shù)解的組數(shù)為C；T，故由分步計(jì)數(shù)原理知，原不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)為

C：C；+C；C；+C；C；+C；C；=36+30+9+6=81.---------------------------15分

11.已知拋物線C：>=；/與直線/：y=Zx—1沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋

物線C的兩條切線，A,8為切點(diǎn).

(1)證明：直線AB恒過定點(diǎn)Q；

\PM\\QM\

⑵若點(diǎn)P與(1)中的定點(diǎn)Q的連線交拋物線C于M,N兩點(diǎn)，證明：1-=

|PN||QN|

12

證明⑴設(shè)A(X1,y),則

由y=；/得y'=x,所以=

于是拋物線C在A點(diǎn)處的切線方程為y-y=$。一再)，即y=

設(shè)P(x0,kxn-1),則有依)-1=xox]-必.

設(shè)B(x2,y2)，同理有依,一1=x0x2-y2.

所以AB的方程為左毛-1=xox-y,即/(x-&)-(y-1)=0,

所以直線AB恒過定點(diǎn)Q(Z,1).------------------------7分

(2)PQ的方程為丁="二2(X—Q+l,與拋物線方程》=工，聯(lián)立，消去y,得

XQ-K2

22攵%-4+(2&~-2)%—2k0

人0一人

xQ-k

設(shè)加(無3，%)，N(&,”)，則

2k%—4(2k?_加°_2k

七+匕①

x0-k

\PM\\QM\—xk—x-,

要證J,只需證明」—a=——I即

PM|QN|X4-X0x4-k

2X3X4一(Z+X。)(x3+g)+2女%=0②

由①知，

4%2(2攵之—2)x()-4Z22外)—4

②式左邊二—---------U------(2+/)—2——+2k%

xQ-kx「k

2(2%~—2)XQ—4k—(k+)(2攵4)—4)+2Zrx)—k)

=----------------------------------------------=0.

x0-k

故②式成立，從而結(jié)論成立.--------------------------15分

12.設(shè)〃,上c,d為正實(shí)數(shù)，且Q+b+c+d=4.證明:

a2b2c2

-------1--------F—+—>4+(6Z-/?)2.

beda

證明因?yàn)閍+Z?+c+d=4,要證原不等式成立，等價(jià)于證明

a2b，c2d2、.,4(a-b)2

—+—+—+——>a+h+c+d+---------------①--------5分

bcdaa+b+c+d

事實(shí)上，

a2b~c2d2

—+—+—+------(a+b+c+d)

bcda

a2b2c2d2

=(---\-h-2a)+(--FC-2h)+(---卜d-2c)+(----\-a-2d)

bcda

=-(a-b)2+-(b-c)2+-(c-J)2+-(t/-a)2②--------10分

bcda

由柯西不等式知

2

r(a"(b—c)2(c-d)(d—a)2”,八

[---—+----—+----—+-----](4+匕+C+d)

bcda

>(\a-b\Jt-\b-c\+\c-d\Jt-\d-a\)2③--------15分

又由|Z?—c|+|c-d|+|d—a以人一a|知

(\a-b\+\b-c\-^\c-d\+\d-a\)2>4(a-b)2④

由②，③，④，可知①式成立，從而原不等式成立.----------------------20分

高中數(shù)學(xué)競賽初賽試題

一選擇題

1.如果集合AB同時(shí)滿足AU6={L2.3.4}4口6={1},AH{1},8H{1}就稱有序集對（A,B）為“好集

對”。這里的有序集對（A8）意指當(dāng)（A,6）和（6,A）是不同的集對，那么“好集對”一共有（）

個(gè)。A6488c602

2.設(shè)函數(shù)〃0=電（10一+1）,方程外一2、）=廣（2、）的解為（）

Alog2（lg2）-1fi.lg（log210）-1C.lg（lg2）+1D.log2（log210）+l3.設(shè)

A=100101102--499500是一個(gè)1203位的正整數(shù)，由從100到500的全體三位數(shù)按順序排列而成那么A

除以126的余數(shù)是（）

A78B36C6D0

4.在直角AA6c中，NC=90,,CD為斜邊上的高,D為垂足.4）=。,3。="CD=a—b=l.設(shè)數(shù)列

{以}的通項(xiàng)為4=Y—ak-'b+_...+,攵=1,2,3,..則（）

A“2008="2007+“2006B.“2008=W2007—“2006

C.2007%0G8=2008U2（107D.2008M2（X）8=2007M2007

5.在正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列1.357……刪去所有和55互質(zhì)的項(xiàng)之后，把余下的各項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新

的數(shù)列{q},易見q=1,。2=3,%=7,。4=9,。5=13…那么“2007=

A9597B.5519C.2831D.2759

“A=Jl+cos3°+>/l+cos70+>/l+cosl1°+---Vl+cos87^,._

6,設(shè)則A:3=

2-&2+顯

-----ri-----C.72-1D.V2+1

二.填空題

7.邊長均為整數(shù)且成等差數(shù)列,周長為60的鈍角三角形一共有種.

8.設(shè)n>2007，且n為使得a“=卜花壺取實(shí)數(shù)值的最小正整數(shù)，則對應(yīng)此n的an為

9.若正整數(shù)〃恰好有4個(gè)正約數(shù)，則稱〃為奇異數(shù)，例如6,8,10都是奇異數(shù).那么在

27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999這10個(gè)數(shù)中奇異數(shù)有個(gè).

10.平行六面體ABCD-A4G〃中，頂點(diǎn)A出發(fā)的三條棱的長度分別為2,3,4,且兩兩夾角

都為60那么這個(gè)平行六面體的四條對角線AC},BD},DB?CA}的長度(按順序)分別為

11.函數(shù)〃x),g(x)的迭代的函數(shù)定義為/⑴(x)=/(x)J(2)(x)=/(/(x)),…

f(n)(x)=/(產(chǎn)“(x))，g⑴(%)=g(x)，g⑵(%)=g(g(H),…g⑺(x)=g(g(T⑹其中〃=2,3,4...

—)=g(6)(y)

設(shè)〃x)=2x—3*(力=3X+2,則方程組./⑼(y)=g(6)(z)的解為

/⑼卜口⑼⑺

12.設(shè)平行四邊形ABCD中，AB=4,AD=2,BD=2瓜則平行四邊形ABCD繞直線AC旋轉(zhuǎn)所得的

旋轉(zhuǎn)體的體積為_______________

三解答題

13.已知橢圓r：3x2+4/=12和點(diǎn)Q(q,0),直線/過。且與「交于A,8兩點(diǎn)(可以重合).

1)若NAQB為鈍角或平角(O為原點(diǎn))，4=4,試確定/的斜率的取值范圍.

2)設(shè)A關(guān)于長軸的對稱點(diǎn)為A，E為橢圓的右焦點(diǎn),q=4,試判斷A和￡8三點(diǎn)是否共線，并說明理由.

3)問題2)中，若qw4,那么4,RB三點(diǎn)能否共線?請說明理由.

14.數(shù)列｛x“｝由下式確定：xn+l)=1,2,3,…%=1,試求Igx2Go7整數(shù)部分左=[愴*2007]?(注["]

+1

表示不大于a的最大整數(shù)，即a的整數(shù)部分.)

15.設(shè)給定的銳角“SC的三邊長a,O,G正實(shí)數(shù)r,y,z滿足生+處+竺=。,其中p為給定的正實(shí)

xyz

數(shù)，試求s=(〃+。一。)工2+(c+〃-b)y2+(rz+Z?-c)z2的最大值，并求出當(dāng)s取此最大值時(shí)，x,y.z的取

值.

2008年安徽省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題

一、選擇題

1.若函數(shù)y=/(x)的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)/后，與函數(shù)y=g(x)的圖象重合，則()

(A)g(x)=/T(-x)(B)g(x)=/T(x)(C)g(x)=-/T(-x)(D)g(x)=-/T(x)

2.平面中，到兩條相交直線的距離之和為1的點(diǎn)的軌跡為()

(A)橢圓(B)雙曲線的一部分(C)拋物線的一部分(D)矩形

3.下列4個(gè)數(shù)中與8S1+cos2+…+COS2008最接近的是()

(A)-2008(B)-1(C)1(D)2008

4.四面體的6個(gè)二面角中至多可能有()個(gè)鈍角。

(A)3(B)4(C)5(D)6

5.寫成十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)的形式」-=0.000498…625498…625…，其循環(huán)節(jié)的長度為()

2(X)82(X)8

(A)30(B)40(C)50(D)60

2xi

6.設(shè)多項(xiàng)式(1+力豌=%+空+…+4008a\則4,4,…M200s中共有()個(gè)是偶數(shù)。

(A)127(B)1003(C)1005(D)1881

二、填空題

7.化簡多項(xiàng)式￡C：G"x(1-=

k=m

3-I-SnY

8.函數(shù)/(X)=/的值域?yàn)開________________

V5+4cosjc+3sinx

a+a

9.若數(shù)列｛an｝滿足q>0,4='"-',(〃22),且具有最小正周期2008,則4=

1一的“一|

10.設(shè)非負(fù)數(shù)4,。2,…，。2008的和等于1，則+。2a3+…+。2007。2008+。2008。1的最大值

為.

11.設(shè)點(diǎn)A(l,l),B、C在橢圓V+3y2=4上，當(dāng)直線BC的方程為.時(shí)，AABC的面積最大。

12.平面點(diǎn)集G=｛億））|i=1,2,…=1,2,,易知G2可被1個(gè)三角形覆蓋（即各點(diǎn)在某個(gè)三角形

的邊上），G?可被2個(gè)三角形覆蓋，則覆蓋G2（0t需要個(gè)三角形。

三、解答題

13.將6個(gè)形狀大小相同的小球（其中紅色、黃色、藍(lán)色各2個(gè)）隨機(jī)放入3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中恰好放

2個(gè)小球，記7/為盒中小于顏色相同的盒子的個(gè)數(shù)，求7；的分布。

14.設(shè)421,。“=［加二］,（〃22）,其中［x］表示不超過x的最大整數(shù)。證明：無論力取何正整數(shù)時(shí)，不

在數(shù)列｛an｝的素?cái)?shù)只有有限多個(gè)。

15.設(shè)圓。?與圓O?相交于A,B兩點(diǎn)，圓O3分別與圓。圓。2外切于C,D,直線EF分別與圓。一圓。2

相切于E,F,直線CE與直線DF相交于G,證明：A,B,G三點(diǎn)共線。

2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽賽區(qū)預(yù)賽試卷

一、填空題（每小題8分，共64分）

1.函數(shù)/（x）=2x-\j4x-x2的值域是.

2.函數(shù)y=的圖象與y="的圖象關(guān)于直線x+y=l對稱.

3.正八面體的任意兩個(gè)相鄰面所成二面角的余弦值等于.

22

4.設(shè)橢圓工+上-=1與雙曲線孫=1相切，則/=

t+\t-\----------------

5.設(shè)z是復(fù)數(shù)，則|z—11+1z—，|+1z+11的最小值等于.

6.設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù)，若方程/+以2+陵+。=0的三個(gè)根構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，則”，。應(yīng)

滿足的充分必要條件是.

7.設(shè)。是的內(nèi)心，AB=5,AC=6,BC=1,OP=xOA+yOB+zOC,0<x,y,z<\,動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于.

8.從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取三點(diǎn)，構(gòu)成直角三角形的概率是.

二、解答題（共86分）

2

9.（20分）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足％=0,a,,=-----,”22.求4的通項(xiàng)公式.

l+4i

10.（22分）求最小正整數(shù)〃使得A?+〃+24可被2010整除.

11.(22分)己知AABC的三邊長度各不相等，D,E,尸分別是NA,NB,NC的平分線與邊8C,

CA,4?的垂直平分線的交點(diǎn).求證：AABC的面積小于SE戶的面積.

12.(22分)桌上放有幾根火柴，甲乙二人輪流從中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多〃-1根火柴，

此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超過對方剛才取走火柴數(shù)目的2倍.取得最后一根火柴者獲勝.問:

當(dāng)，=100時(shí)，甲是否有獲勝策略？請?jiān)敿?xì)說明理由.

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省預(yù)賽試題

一、填空題(每小題8分，共64分)

1.以因表示集合X的元素個(gè)數(shù).若有限集合4,民。滿足|AU3|=20,忸ljq=30,

|CUH=4。，則的最大可能值為.

2.設(shè)。是正實(shí)數(shù).若/(x)=J—一+1(kJ+/x?+25+5〃2,xcR的最小值為10,則

a=.

3.已知實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式/(x)=/+奴3+成+5+4滿足/⑴=2,/(2)=4,/(3)=6,則

/(0)+/(4)的所有可能值集合為.

4.設(shè)展開式(5x+l)"=a。+qxd-Fa?x">若

a2on=皿H。0，卬，…，《,)，則”=.

5.在如圖所示的長方體A8CD-EEG”中，設(shè)P是矩形

EFG”的中心，線段AP交平面BDE于點(diǎn)Q.若A3=3,

AD=2,AE=\,則PQ=.

6.平面上一個(gè)半徑r的動(dòng)圓沿邊長。的正三角形的外側(cè)

滾動(dòng)，其掃過區(qū)域的面積為.

7.設(shè)直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)(x,y)與復(fù)數(shù)x+yi一—對應(yīng).

若點(diǎn)A,B分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z,zT(z定R),則直線A3與x軸的交點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)

(用z表示).

8.設(shè)n是大于4的偶數(shù).隨機(jī)選取正n邊形的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形，得到矩形的概率

為.

二、解答題(第9—10題每題22分，第11—12題每題21分，共86分)

C，+a2

9.已知數(shù)列｛%｝滿足q=%=l，aH=l-'"^"-(?>3),求的通項(xiàng)公式.

10.已知正整數(shù)6,a,,…,4都是合數(shù)，并且兩兩互素，求證：-+—+

4?2an2

11.設(shè)/(x)=aY+bx+c(a,6,c是實(shí)數(shù))，當(dāng)0<x<l時(shí)，0W/(x)Wl.求b的最大可能值.

12.設(shè)點(diǎn)A(—1,0),B(l,0),C(2,0),。在雙曲線——y2=i的左支上，OHA,直線CQ交雙曲

線--y2=1的右支于點(diǎn)￡求證：直線與BE的交點(diǎn)P在直線x=g上.

2012年安徽高中數(shù)學(xué)競賽初賽試題

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽賽區(qū)初賽試卷

_________(考試時(shí)間:2012年9月8日9:00—11:30)_______

二

題號(hào)—?總分

9101112

得分

評卷人

復(fù)核人

注意：1.本試卷共12小題，滿分150分；2.用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答;

3.書寫不要超過裝訂線；4.不能使用計(jì)算器。

一、填空題(每題8分，共64分)

1.設(shè)函數(shù)/(x)=arcsin(cos(x)),則/(/(/(x)))的最小正周期為。

2,設(shè)實(shí)數(shù)X,》滿足x2-8x+y2-6y+24=0，則x-2y的最大值為

兀2乃3%4〃5乃

3.cos-----cos——+cos-------cos——+cos-=(用數(shù)字作答)。

11111111II

4.設(shè)兩點(diǎn)在以線段48為直徑的半圓弧上，線段AC和線段80相交于點(diǎn)E,

43=10,AC=8,BD=5五,則AZBE的面積為

*)72

廠y'x

5.設(shè)兩個(gè)橢圓+2=1和=1有

r+2t-21+/+22〃一3/-5t2+/-7

公共的焦點(diǎn)，則/=0

如圖，設(shè)正四棱錐P-43。的體積為1,反尸,G,"分別是線段

6.第6題圖

AB,CD,PB,PC的中點(diǎn)，則多面體BEG-CFH的體積為

7.不超過2012且與210的最大公約數(shù)是1的正整數(shù)共有個(gè)。

8.設(shè)隨機(jī)變量X?N(l,2),丫?N(3,4)。若P(X<0)=P(Y>。)，則a=

二、解答題(第9一10題每題25分，第11—12題每題18分，共86分)

9,已知△X6C的周長為1,sin2^+sin25=4sin/1sinB.

(1)證明：△力BC是直角三角形；(2)求△/8C面積的最大值。

10.設(shè)無窮數(shù)列｛%｝滿足％=1,a?=a?_,+-L（W^2）.證明：

（1）當(dāng)〃22時(shí)，an>42n；（2）不存在實(shí)數(shù)C使得/<"77萬對所有“都成立。

11.設(shè)〃=2"',〃?是H整數(shù)。求所有滿足/（丫2+1）=/*）?+!的〃次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式/（工）。

12.設(shè)〃22.對平面上的任意n個(gè)向量以M表示滿足i<，且風(fēng)%<0的

實(shí)數(shù)對（/?./）的個(gè)數(shù)。證明：時(shí)

2007解答

一、選擇題

1.C.2.A.3.C.4,A.5.B6.D.

1.逐個(gè)元素考慮歸屬的選擇.

元素1必須同時(shí)屬于A和8.

元素2必須至少屬于A、B中之一個(gè)，但不能同時(shí)屬于人和8,有2種選擇：屬于A但不屬于8,屬于

B但不屬于A.

同理，元素3和4也有2種選擇.

但元素2,3,4不能同時(shí)不屬于4也不能同時(shí)不屬于8.

所以4個(gè)元素滿足條件的選擇共有2x2x2-2=6種.換句話說，“好集對”一共有6個(gè).答：C.

2.令)=吆(10-,+1),則y>0,且10-,+1=10>',10-t=10'-1,—x=lg(10>-1),

x=_lg(10f.從而/-'(x)=-lg(10x-l).

令2』,則題設(shè)方程為即lg(10z+l)=-lg(10,-1),

故IgKlO(+l)(10z-l)]=0,(10'+1)(10'-1)=1,10"=2,2r=lg2,

解得2、=，=glg2.從而x=log2(^lg2)=log2(lg2)-l.答：A.

3.注意126=2x7x9,2,7和9兩兩互質(zhì).因?yàn)锳=0(mod2)t

A三(l+0+0)+(l+0+D+(l+0+2)+???+(4+9+9)+(5+0+0)

=100+101+1024--??+500=(100+500)x401-2=120300=6(mod9),

所以A=6(mod18).(1)

400400

又因?yàn)?()3三一1,io3"=(-l)?Onod7),所以A=Z(500—i)xl()3'-三￡(500—i)x(-l)'

i=0i=0

=(500-499)+(498-497)+(496-495)+???+(102-101)+100=300=6(mod7).(2)

由(1),(2)兩式以及7和18互質(zhì)，知A三6(mod126).答：C.

另解：126=2x63,63|999999,999999=106-1,(106-l)|(106"-1),〃=1,2,3,….所以

A=1OOX1OI20O+1O11O2X1O"94+1O31O4X1O"88+---+497498X106+499500

=100x(IO1200-1)+101102x(IO*194-1)+103104x(IO1188-D+???+497498x(IO6-1)+

(100+101102+103104+---+497498+499500)

=9999993+100+(101102+49950?x200+2=999999B+100+60060200

=999999B+60060300=999999C+60360,

其中8,C為整數(shù).從而A=637)+60360=63E+6,其中D,E為整數(shù).所以A除以63的余數(shù)為6.因?yàn)锳

是偶數(shù)，所以A除以126的余數(shù)也為6.答：C.

4.易見CD~-AD-BD,即(。一人)2,又已知。一匕=1,故ab=l,a(a-l)-1,

a2-?-l=0；伏/?+1)=1,〃+人+i=o

b

顯然u是首項(xiàng)為ak,公比為q=-L的等比數(shù)列的前k+1項(xiàng)和.故

ka

"A+l/入\&+l

aQ-q)a一(一。)

u=--------------=-----------------,k=1,2,3???.

k\-qa+b

從而

承+1/入\A+I八k+2/r\A:+2i

Uk+k=巴一嚕+9一牛=」7d+2+右_(W+2_f]

a-vba+b

=-^—[ak+i(a+1)-(-Z,)*+,(-b+1)]=-^—[ak+1-a2-(-b)k+}-b2]

a+ba+b

k+3k+3

=-^-[a-(-b)]=uk+2,k=1,2,3--.

a+b

故答案為A.(易知其余答案均不成立)

另解：易見CO?^ADBD,即(a—b)2=ab,又已知a-b=\,故ab=\,

(a+b)2=(a-b)2+4ab=I2+4x|=5,。+8=有.解得

22

顯然人是首項(xiàng)為a",公比為q=的等比數(shù)列的前％+1項(xiàng)和，故

a

k+lk+

a-(-b)'1rJ+V5y+i_(]-y+i]

=7[(—-k=1,2,3,….

1一4a+bV52

于是數(shù)列｛“J就是斐波那契數(shù)列

1,2,3,5,8,13,

uk=1,2,3，….所以答案為A.

它滿足遞推關(guān)系uk+2-Hjt+1+k，

5.｛4｝可看成是在正整數(shù)數(shù)列1,2,3,4,5,6,7,…中刪去所有能被2,5或11整除的項(xiàng)之后,

把余下的各項(xiàng)按從小至大順序排成的數(shù)列.由三階容斥原理,1,2,3,4,-■-,m中不能被2,5或H整

除的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為

mmmmmmm

x,n=m一++

~2yIT552210H0

其中不表示不大于a的最大整數(shù)，即a的整數(shù)部分.

mmmmmmm

估值：設(shè)2007=x,“?m--------------1---------1----------1-----------

25115522101102511

141044A

-mx—x—x一=一m,故2007x—?5519.

2511114

又因?yàn)?/p>

5519551955195519551955195519

%55195519-++4-

-y-~rT~^nlo-Tio-

=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007,

并且5519不是2,5,11的倍數(shù)，從而知々007=5519.答：B.

又解：｛%｝可看成是在正整數(shù)數(shù)列1,2,3,4,5,6,7,…中刪去所有能被2,5或11整除的項(xiàng)

之后，把余下的各項(xiàng)按從小至大順序排成的數(shù)列.因?yàn)?,5,11是質(zhì)數(shù)，它們的最小公倍數(shù)為110.易見，

-54,-53,…，0,1,2,3,…,55中不能被2,5,11整除的數(shù)為±1,±3,±7,±9；±13,±17,±19；±21,

±23,±27,±29；±31‘±37‘±39；±41‘±43‘±47,±49；±51,±53洪40個(gè).(或由歐拉公式，1,2,3,,,,,

110中不能被2,5,11整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，等于1,2,3,110中與110互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，等于

0(110)=110x(1-1)X(1-1)x(1--)=40.)

2511

顯然1,2,3,…中每連續(xù)110個(gè)整數(shù)，不能被2,5,11整除的數(shù)都有40個(gè).所以，1,2,3,…，

110x50=5500中，不能被2,5,11整除的數(shù)有40x50=2000個(gè).大于5500中的數(shù)不能被2,5,11

整除的，是5500+1,5500+3,5500+7,5500+9,5500+13,5500+17,5500+19,….所以5519是第2007個(gè)

不能被2,5,11整除的數(shù)，亦即所求的％007=5519.答：B.

=cosl.5°+cos3.5°+cos5.5°+???+cos43.5°；

=sin1.5°+sin3.5°+sin5.5°+—I-sin43.5°.

注意到

2cos^sinl°=sin(e+l°)-sin(e-l°),2sin6sinl°=cos(^-1°)-cos(^+1°),

所以

A

2sinl°x=(sin2.5°—sin0.5°)+(sin4.5°—sin2.5°)+(sin6.5°-sin4.5°)+…

4-(sin44.5°-sin42.5°)=sin44.5°-sin0.5°=2cos22.5°sin22°,

2sin1°=(cos0.5°-cos2.5°)4-(cos2.5°-cos4.5°)+(cos4.5°一cos6.5°)+…

V2

+(cos42.5°-cos44.5°)=cos0.5°-cos44.5°=2sin22.5°sin22°.

故A:N=(2sinrx:(2sinl°x=(2cos22.5°sin22°):(2sin22.5°sin22°)=cot22.5°

V2+1.答：D.

A

另解：=cosl.5°+cos3.5°+cos5.5°d—++cos43.5°，

-j==sin1.5O+sin3.5°+sin5.5°H----Fsin43.5°,

-=-\-i—==(cos1.5°+isinl.5°)+(cos3.5°+，sin3.5°)d—+(cos43.5°+isin43.5°)

V2V2

21

二(cosl.5°+isinl.5°)Z(cos20+isin20)”

〃=o

l-(cos2°+zsin20)22

(cosl.5°+isin1.5°)

l-(cos2°+1sin2°)

1—(cos440+isin440)

(cosl.5°+zsinl.5°)

l-(cos2"+zsin2")

2$/22°-2isin22°cos22°

=(cos1.5°+isin1.5°)

2sin21°-2/sin1°cosl°

_(cosl.50+zsin1.5°)(-2?sin22°)(cos22°+zsin22°)

(-2zsinl°)(cosr+isinl°)

sin22°

(cos22.5°+/sin22.5°).

sinl0

m二A工B口NSrn.Asin22°cos22.5°Bsin22°sin22.5°

因?yàn)橐皇鸵皇菍?shí)數(shù)，所以〒=-------------------，,=--------------------,

V2v2V2sinl°<2sinl0

,V2

2

“八ABcos22.502cos22.5°l+cos45°92+V2/-,

V2V2sin22.502sin22.5°cos22.5°sin45°V2V2

答：D.

二、填空題(滿分54分，每小題9分)

7.解：設(shè)△力比三邊長為整數(shù)，Q+〃+C=成等差數(shù)列，/A為鈍角，則

必有2b=a+c,h2+c2<a2.

易解得60=a+b+c=b+(a+c)=b+2b=3b,b-20,?+c=40；b2<a2-c2

=(a+c)(a-c),BP202<40(〃-c)/0<a-c,因此50<(a+c)+(〃-c)=2Q,25<a,即

a>