北師版初中九年級下冊數(shù)學教案 第一章 直角三角形的邊角關系

九年級數(shù)學?下新課標［北師］

第一章直角三角形的邊角關系

本/章/整/體/說/課

G教學目標

知識與技能

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角之間關系，以及30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的過程，發(fā)展觀察、分

析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

2.理解銳角三角函數(shù)的意義,并能夠通過實例進行說明.

3.會求解含30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的問題.

4.能夠借助計算器由已知銳角求出它的三角函數(shù)值,或由已知三角函數(shù)值求出相應的銳角.

5.能夠用銳角三角函數(shù)解直角三角形,發(fā)展推理能力和運算能力.

6.能夠解決與直角三角形有關的實際問題,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.

7.體會數(shù)形之間的關系,逐步學習利用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題.

過程與方法

1.能夠用銳角三角函數(shù)解直角三角形,發(fā)展推理能力和運算能力.

2.能夠解決與直角三角形有關的實際問題,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.

3.通過探索學習，使學生經(jīng)歷“觀察一一分析一一發(fā)現(xiàn)一一運用”的過程,掌握直角三角形邊角之間

的關系,進一步體會數(shù)形之間的聯(lián)系.

1.通過對直角三角形中邊角之間關系的探究，進一步激發(fā)學生學習圖形中各個元素之間關系的興趣.

2.能夠運用銳角三角函數(shù)解直角三角形，進?步養(yǎng)成分析問題、解決問題的良好學習習慣.

?教材分析

本章是在學習直角三角形的邊、角知識的基礎上,進一步探究直角三角形的邊和角之間的關系.同時

也是正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)等函數(shù)知識的延續(xù).直角三角形中邊角之間的關系在現(xiàn)實生活中

應用廣泛.銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實問題中有著重要的作用.如在測量、建筑、工程技術和物理學中，人們

常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數(shù)量關系往往歸結為直角三角形中邊

和角之間關系的問題.通過直角三角形中邊角之間的關系的學習，學生將進一步體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系

（邊和角之間的關系），把這種關系用數(shù)量的形式表示出來,是分析問題和解決問題過程中常用的方法.通過

學習也將為其他數(shù)學知識奠定基礎.通過研究圖形之中各個元素之間的關系,進一步感受數(shù)形結合思想,體

會數(shù)形結合的方法.

&教學重難點

【重點】

1.三角函數(shù)及其有關的概念.

2.特殊角的三角函數(shù)值的探究及應用.

3.利用計算器求三角函數(shù)值或銳角的度數(shù).

4.能夠用銳角三角函數(shù)解直角三角形.

1

5.能夠運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關的簡單的實際問題.

【難點】

1.探索直角三角形中邊角之間關系和30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的過程.

2.解決與直角三角形有關的實際問題.

3.體會數(shù)、形之間的關系,掌握用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題.

教學建議

1.注重問題情境的創(chuàng)設.

在引入銳角三角函數(shù)時,要創(chuàng)設符合學生實際生活的情境，激發(fā)學生的學習興趣,使學生感受到數(shù)學與

現(xiàn)實世界的聯(lián)系.如通過梯子的情境問題，引出第一個三角函數(shù)一一正切.對于這個問題，學生比較熟悉,而

且屬于開放性問題,直觀上又容易判斷.又如,在學習特殊角的三角函數(shù)時,用學生熟悉的三角尺引入，使學

生較快進入30°,45。，60。角的三角函數(shù)值的探索.

2.鼓勵學生有條理地進行思考和表達.

引導學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)直角三角形中邊角之間的關系,讓他們學會有條理地思考和表達.例如,利

用相似的直角三角形，如何獲得正切的概念?如何建立直角三角形中角和邊之間的關系?如何類比正切的概

念獲得正弦和余弦的概念？

3.重視滲透數(shù)學思想方法，促進學生思維水平的提高.

教學中應注重滲透數(shù)形結合的思想方法，引導學生逐步從對具體問題的研究中提煉出數(shù)學思想方法.

在形成正切概念的過程中,教師要給學生留有充分的時間,讓學生利用前面學過的相似三角形的知識去探

索對邊和鄰邊之比與角的大小的關系,進而獲得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念時，可以類比正切概

念獲得的過程，從數(shù)學的角度直接引入.這樣可以使學生從己學知識進行聯(lián)想，加深對概念的理解，提升學

生的思想水平.在解直角三角形的過程中，要讓學生體會計算過程所依據(jù)的算理，以及如何根據(jù)已知條件去

探求結論的思考過程.

4.關注問題解決的教學過程.

對于實際問題，首先要引導學生弄清實際問題的意義，然后逐步把實際問題轉化為數(shù)學問題，幫助學生

形成模型思想.另外，教師要注意為學生的問題解決過程搭建“腳手架”：一是對一些術語（如仰角、俯角、

坡度、零部件截面圖等）進行說明；二是對解決問題的策略、問題的發(fā)現(xiàn)和提出等,都耍提供一定的幫助與

支持.

5.精心設計實踐活動的教學流程.

對于第6節(jié)“利用三角函數(shù)測高”這樣的實踐活

動,建議首先將學生分組,各組分頭準備測量所需的儀器;其次,由學生自己設計活動報告,教師給予必

要的指導;再次,盡量安排那些學生比較熟悉,且易于開展的小組活動,并能保證任務完成的質量;最后,在

活動期間，教師應在現(xiàn)場觀察、指導各組的活動，同時應做必要的記錄.

6.根據(jù)《標準》要求，把握好三角函數(shù)的定位.

教學中要把握好三角函數(shù)的定位.教科書上雖然稱“銳角/的正弦、余弦和正切都是N4的三角函

數(shù)”，但實際上并沒有特別明確地從函數(shù)的角度研究它們,也就是說沒有研究隨著角的變化,其三角函數(shù)值

的變化規(guī)律;而是研究當銳角一定時,直角三角形中相應邊的比值是什么.教學中要把握好這個定位,切莫

提高要求.

Q課時劃分

1銳角三角函數(shù)2課時

230°,45°,60°角的三角函數(shù)值1課時

3三角函數(shù)的計算1課時

4解直角三角形1課時

5三角函數(shù)的應用1課時

6利用三角函數(shù)測高1課時

回顧與思考1課時

2

課/時/教/學/詳/案

1銳角三角函數(shù)

。教學目標

一口識寫技能L

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角之間關系的過程.

2.理解銳角三角函數(shù)（正切、正弦、余弦）的意義，并能夠舉例說明.

3.能夠運用tanA,sin/I,cos力表示直角三角形中兩邊的比.

4.能夠根據(jù)直角三角形中的邊角關系進行簡單的計算.

字］

1.經(jīng)歷三個銳角三角函數(shù)的探索過程,確信三角函數(shù)的合理性,體會數(shù)形結合的數(shù)學思想.

2.在探索銳角三角函數(shù)的過程中，初步體驗探索、討論、驗證對學習數(shù)學的重要性.

F情巧度目箱割

i.通過銳角三角函數(shù)概念的建立，使學生經(jīng)歷從特殊到一般的認識過程.

2.讓學生在探索、分析、論證、總結獲取新知識的過程中體驗成功的喜悅，從解決實際問題中感悟數(shù)

學的實用性,培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.

q教學重難點

【重點】

i.理解銳角三角函數(shù)的意義.

2.能利用三角函數(shù)解三角形的邊角關系.

【難點】能根據(jù)直角三角形的邊角關系進行簡單的計算.

第E課時

一整體設寸

口，教學目標

喋瞅身耨鏟

3

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關系的過程,理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.

2.能夠用tan/表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，能夠用正切

進行簡單的計算.

3.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學意義，加強數(shù)學與生活的聯(lián)系.

京|

1.體驗數(shù)形之間的聯(lián)系,逐步學習利用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.

2.體會解決問題的策略多樣性,發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神.

馬箱

1.積極參與數(shù)學活動,對數(shù)學產(chǎn)生好奇心和求知欲.

2.形成實事求是的態(tài)度以及獨立思考的習慣.

色教學重難點

【重點】

1.從現(xiàn)實情境中探索直角三角形的邊角關系.

2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學意義，加強數(shù)學與生活的聯(lián)系.

【難點】理解正切的意義，并用它來表示生活中物體的傾斜程度、坡度等.

￥教學準備

【教師準備】多媒體課件.

【學生準備】

1.自制4個直角三角形紙板.

2.復習直角三角形相似的判定和直角三角形的性質.

舊教學過程

E新課導入

導入一：

課件出示:

你知道圖中建筑物的名字嗎?是的，它就是意大利著名的比薩斜塔,是世界著名建筑奇觀，位于意大利

托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場上,是奇跡廣場三大建筑之一,也是意大利著名的標志之一,它從建成之

日起便由于土層松軟而傾斜.

【引入】應該如何來描述它的傾斜程度呢?學完本節(jié)課的知識我們就能解決這個問題了.

［設計意圖］創(chuàng)設新穎、有趣的問題情境，以比薩斜塔的傾斜程度激發(fā)學生的學習興趣，從而自然引

出課題,并且為學生探究梯子的傾斜程度埋下伏筆.

導入二：

課件出示：

四個規(guī)模不同的滑梯4B,C,〃它們的滑板長（平直的）分別為300cm,250cm,200cm,200cm;滑板與

地面所成的角度分別為30°,45。，45°,60°.

4

【問題】四個滑梯中哪個滑梯的高度最高？

一設計意圖］利用學生所熟悉的滑梯進行引導，使學生有親切感,滑梯與課本中引用梯子比較類似,學

生的探究思路會比較順暢.

至新知構建

［過渡語］梯子是我們日常生活中常見的物體.我們經(jīng)常聽人們說這個梯子放的“陡”，那個梯子放

的‘'平緩"，人們是如何判斷的呢？“陡”和“平緩”是用來描述梯子什么的？

一、正切的定義

（一）探究新知

請同學們看下圖，并回答問題.

探究一：

問題1

課件出示：

在下圖中，梯子48和4哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?

小組討論后展示結果：

1組:梯子較陡.我們組是借助量角器量傾斜角，發(fā)現(xiàn)NABONEFD,根據(jù)傾斜角越大,梯子就越陡，

可以得到梯子48較陡.

師:哪組還有不同的判定方法？

2組:我們也是認為梯子仍較陡.我們組是分別計算然與比的比,ED與如的比,發(fā)現(xiàn)前者的比值大，

根據(jù)鉛直高度與水平寬度的比越大，梯子就越陡,可以得到梯子46較陡.

3組:我們組的方法和1組的大致相同，借助傾斜角來判斷,不過不是測量,我們是過￡作EG〃AB交FD

于G,就可以清晰比較N49C與N回叨的大小了.

4組:我們組發(fā)現(xiàn)這兩架梯子的高度相同，水平寬度越小,梯子就越陡,所以我們也認為梯子A5較陡.

探究二：

問題2

課件出示：

在下圖中，梯子四和4哪個更陡?你是怎樣判斷的？

5

學生會類比問題1給出的四種判斷方法,只要說得合理即可.

問題3

課件出示：

在下圖中,梯子4?和頌哪個更陡?你是怎么判斷的？

多給學生思考和討論的時間.

代表發(fā)言和緒的傾斜度一樣.由于兩個直角三角形的兩直角邊的比值相等,再加上夾角相等,可

以判定兩個直角三角形相似,根據(jù)相似三角形的對應角相等,可以證明兩個傾斜角相等,所以4?和原的傾

斜度一樣.

教師引導:我們發(fā)現(xiàn)當直角三角形的兩直角邊的比值相等時,梯子的傾斜度一樣,請大家判斷一下在問

題2與問題3中，兩直角邊的比值與傾斜度有什么關系?請繼續(xù)探究下面的問題.

問題4

課件出示：

在下圖中,梯子四和"哪個更陡?你是怎樣判斷的？

1.5m1.3m

教師引導:我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個更陡,可能就比較困難了.能不能從上面

的探究中得到什么啟示呢？

生討論后得出：

思路1:梯子所較陡,但為乙EFANABC,根據(jù)傾斜角越大,梯子就越陡.

思路2:梯子項較陡,因為黑嚏,根據(jù)鉛直高度與水平寬度的比越大,梯子就越陡.

師生共同總結:在日常的生活中,我們判斷哪個梯子更陡,應該從梯子48和用的傾斜角大小,或垂直

高度和水平寬度的比的大小來判斷.

做一做:請通過計算說明梯子48和房哪一個更陡呢？

生獨立解答，代表展示：

..i4￡__4__8EO_g.5_358,35

*BC~15~3yFD-L3-T3,F131

???梯子〃比梯子相更陡.

6

「設計意圖1通過探究逐層深入的問題,讓學生經(jīng)歷由簡單到復雜、由特殊到一般的探究過程，既對

己學知識和生活經(jīng)驗進行了回味和運用，也讓學生的思想逐步向本節(jié)課的中心”兩直角邊之比”靠近.

一知識拓展1梯子的傾斜程度的判定方法：（1）梯子的傾斜程度和傾斜角有關系,傾斜角越大,梯子就

越陡.（2）梯子的傾斜程度和鉛直高度與水平寬度的比有關系,鉛直高度與水平寬度的比越大,梯子就越陡.

（二）再探新知

［過渡語］在日常生活中,我們判斷哪個梯子更陡,應該從梯子加?和郎的傾斜角大小,或垂直高度和

水平寬度的比的大小來判斷.可是小明和小亮在判斷梯子AR的傾斜程度時發(fā)生了矛盾,我們來看一看.

課件出示：

【想一想】如圖所示，小明想通過測量86及算出它們的比,來說明梯子的傾斜程度;而小亮則

認為,通過測量BC及AG,算出它們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎？

（1）直角三角形，耳G和直角三角形4氏G有什么關系？

生很容易得出兩個三角形相似.

由生說明理由：N足44=/8￡4=90°,.?.RtZVW￡sRt△破&

（2）筆和挈有什么關系？

由于所以有挈學1.

AC2AC］

（3）如果改變花在梯子上的位置呢？由此你得出什么結論？

生先獨立思考后分組討論.

生得出結論:改變用在梯子上的位置,鉛直高度與水平寬度的比始終相等.

想一想:現(xiàn)在如果改變N4的大小，ZJ的對邊與鄰邊的比值會改變嗎？

生討論得出：N4的大小改變，N4的對邊與鄰邊的比值會改變.N4的對邊與鄰邊的比只與N4的大小

有關系，而與它所在直角三角形的大小無關.

【總結提升】由于直角三角形中的銳角4確定以后，它的對邊與鄰邊的比也隨之確定，因此我們有

如下定義：

H

■4N4的鄧迪<

如圖所示,在RtZU」笫中，如果銳角A確定，那么N/I的對邊與鄰邊之比便隨之確定,這個比叫做N4的

正切（tangent）,記作tanA,即tan力=幺然粵.

N4的鄰叱

當銳角A變化時，tanA的值也隨之變化.

能力提升:如果N4+N比90°,那么tan/與tan8有什么關系？

生討論得出結論：

tan布焉,即任意銳角的正切值與它的余角的正切值互為倒數(shù).

【議一議】前面我們討論了梯子的傾斜程度，在課本圖1-3中，梯子的傾斜程度與tan4有關系嗎？

學生思考后，統(tǒng)一答案：

tanA的值越大,梯子越陡.（反之,梯子越陡,tanA的值越大）

7

一設計意圖」此環(huán)節(jié)的設計是為了突出概念的形成過程，幫助學生理解概念.通過讓學生參與、動手

操作，讓學生學會由特殊到?般、數(shù)形結合及函數(shù)的思想方法,提高學生分析問題和解決問題的能力.

【知識拓展］正切的注意事項：（1）tan4是一個完整的符號,它表示N4的正切，記號里習慣省去角的

符號“N”.（2）tan力沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中的對邊與鄰邊的比.（3）tan4不表

示“tan”乘以“4（4）初中階段，我們只學習直角三角形中銳角的正切.

（三）例題解析

［過渡語］通過探究我們了解了正切的概念,下面就來進行“實戰(zhàn)演習”，檢驗一下我們的理解能力.

課件出示：

（教材例1）如圖所示表示甲、乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？

甲乙

想一想:要判斷哪個自動扶梯比較陡,只需求出什么即可？

生思考后得出：比較甲、乙兩個自動扶梯哪一個陡,只需分別求出tan。，tan戶的值進行比較大小

即可,正切值越大,扶梯就越陡.

要求學生獨立解答，代表展示：

解：甲梯中，tanoZ

乙梯中,tan￡-/5喂

向12

因為tana>tan￡,所以甲梯更陡.

一設計意圖］通過對例題的解答讓學生初步學會運用“正切”這一數(shù)學工具判斷梯子的傾斜程度，同

時規(guī)范學生的解題步驟,培養(yǎng)良好的解題習慣.

二、正切的應用

［過渡語］正切在日常生活中的應用很廣泛，例如，在建筑、工程技術中，經(jīng)常用正切描述山坡的坡

度.

課件出示：

如圖所示，有一山坡在水平方向上每前進100m就升高60m,那么山坡的坡度（即tan。）就是:

結論:坡面與水平面的夾角（。）稱為坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度（或坡比），tana

饕,即坡度等于坡角的正切.

水平寬度

-設計意圖］正切在日常生活中的應用很廣泛,通過正切刻畫梯子的傾斜程度及坡度的數(shù)學意義，密

切數(shù)學與生活的聯(lián)系，使學生明白學習數(shù)學就是為了更好地應用數(shù)學,為生活服務.

:知識拓展］坡度與坡面的關系:坡度越大，坡面越陡.

回課堂小結

8

的對邊

（1）正切的定義:tanA-

的鄰邊'

⑵梯子的傾斜程度與tan力的關系（乙4和tan力之間的關系）：tan4的值越大，梯子越陡.

（3）坡度（或坡比）的定義:f=tan"矍整.

水平寬度

囪檢測反饋

1.在已44及7中，/090°,4比13,4合12,則12114等于（）

AB

-n-nc.1|D,^

解析：..,在RtZ\4%7中，Z^90°,/族13,4>12,...g5,...tan故選B.

2.如圖所示，將N4Q8放置在5X5的正方形網(wǎng)格中，則tanN/m的值是)

「2713

C.D?警

解析:認真讀圖，在以4期的0為頂點的直角三角形里求tanN4期的值，由圖可得tan乙仞娼.故選

3.（中考）如圖所示,在△AK1中，N伐90°,40=2,BOX,則tanA的值是.

解析:tan號/?故填提

4.河堤橫斷面如圖所示,堤高淤5m,迎水坡48的坡度是1：8（坡度是坡面的鉛直高度比i與水平

寬度4c之比），則08的長是.

解析:在RtAWC中，及>5,tanA=\:V3,：.AO5y/3,：.AB-卜？+(5V5)2=10(m).故填10m.

9

巨板書設計

第1課時

⑴正切的定義:tan｛嘲黑.

（2）梯子的傾斜程度與tan4的關系（/｛和tan4之間的關系）：tan4的值越大，梯子越陡.

（3）坡度（或坡比）的定義：產(chǎn)tana-警鬟.

水平寬度

叵布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

1.教材第4頁隨堂練習第1,2題.

2.教材第4頁習題L1第1,2題.

【選做題】

教材第4頁習題L1第3,4題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

1.如圖所示,在RtZ\4%'中，/e90°,戊＞6,BC=8,則tanA的值為（）

.3

A-s

2.小明沿著坡度為1：2的山坡向上走了1000m,則他升高了（）

A.500mB.200-\/5m

C.500V3mD.1000m

3.已知斜坡的坡度為7=1：5,如果這一斜坡的高度為2m,那么這一斜坡的水平距離為m.

【能力提升】

4.如圖所示,在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點力拓,C都在格點上,則N1比、的正切值是

R2店

A.2

10

C—1

L-5UD-2

5.如圖所示，將以A為直角頂點的等腰直角三角形力及7沿直線交平移得到△4'5'C',使點B'與C重合,連

接A'8,則tanZA'及7'的值為.

Bc<ir>c

6.如圖所示,在銳角三角形4■中，4層10cm,叱9cm,△48。的面積為27cm?.求tan6的值.

7.某商場為方便顧客使用購物車，準備將滾動電梯的坡面坡度由1：1.8改為1：2.4（如圖所示）.如果改

動后電梯的坡面長為13m,求改動后電梯水平寬度增加部分比的長.

A

上發(fā)二

CHD

【拓展探究】

8.如圖所示,在△胸中，A牛AC,BD是4c邊上的中線,若4氏13,及＞10,試求tanN〃及7的值.

【答案與解析】

1.D（解析：?.,在中，N俏90°,4伐6,除8,：.tan力器故選D.）

AC63

2.B（解析:設鉛直高度為xm,I?坡度為1：2,...水平寬度為2xm,由勾股定理得/+（2x）2=10002,解得

個200遍....他升高了200?m.故選B.）

3.1。（解析：.斜坡的坡比是1：5,二斜舞黑舐;二―，二斜坡的水平距離為=1°-故填

10.）

11

4.D（解析：如圖所示,連接AC,由勾股定理，得力小企,小2注，及:WTU,%為直角三角形，，tan

^4故選仄）

HCW)DC*

53（解析:如圖所示,過，作垂足為D.在等腰直角三角形中，易知4'。是底邊上的中線,

:.A'AB'D=咚.?：BOB'C',.?.tan"”嚼/24故填;.)

，DUDC+Du33

6.解:如圖所示，過點4作加/_La1于〃疑=27,.,4乂9*力用=27,.?"年6.?.?45=10,二

帆而=貸不=8,...tan姿磊

7.解：在RtA4W中，49：DC=\：2.4,71（^13,由疝+比七小,得必+（2.4］獷=1319士5（負值不合題意，

舍去），.??。仁12.在RtZ\4劭中，?.?/W：BD=\：L8,...盼5XL8=9,...除好除12-9=3（m）.答:改動后電梯

水平寬度增加部分比?的長為3m.

8.解:如圖所示,過點4。分別作AHLBC,DF1BC,垂足分別為點H,F.V5C=10,AHLBC,AB-AC,:.B尼5」：

止13,：.AH=y!132-52=\2,在RtZ\4口中,必12,易知AH//DF,且。為4。中點，."得?仍=6,...用弓及考，，

在Rt△戚中，tanNDS

（嚕BF上5

區(qū)L教學反思

■成功之處

本節(jié)課是三角函數(shù)部分的第一節(jié)概念教學,教學內容比較抽象,學生不易理解.為此結合初中學生身心

發(fā)展的特點,運用實驗教學、直觀教學,喚起和加深學生對教學內容的體會和了解,并培養(yǎng)和發(fā)展學生的觀

察、思維能力，這是貫徹“從生動的直觀到抽象的思維，并從抽象的思維到實踐”的認識規(guī)律，能使學生學

習數(shù)學的過程成為積極的、愉快的和富有想象的過程，使學習數(shù)學的過程不再是令人生畏的過程.概念教

12

學由學生熟悉的實例入手，引導學生觀察、分析、動手、動腦、動口多種感官參與,并組織學生積極參與

小組成員間合作交流.通過由特殊到一般、具體到抽象的探索過程,緊緊圍繞著函數(shù)概念，引出正切概念，

再通過相應的典型題組練習鞏固概念.并且在教學過程中,注重了階段性的反思小結,使學生能夠及時總結

知識和方法.

I。不足之處

本節(jié)課的開放性還不夠,探究梯子傾斜程度時,學生的一些奇思妙想沒有給予展示機會.第一個環(huán)節(jié)內

容設計多了一些,所以導致后面的教學處理上稍顯倉促.

再教設計

對第一個環(huán)節(jié)的處理力求更加簡潔，并大膽放手讓學生去探索、去發(fā)現(xiàn)，真正讓學生成為學習的主人.

國教材習題解答

隨堂練習（教材第4頁）

1.解:能.tan，愣思■孝三.

CDyC|x44

2.解:根據(jù)題意,得仍200,除55,則〃W4B2-BC2=V2002-552=5m^,所以山的坡度為蚱五年

AC5V14/v

0.286.

習題1.1（教材第4頁）

l.?：VBC=ylAB2-AC2=^132-52=12,：.tantan斤賽總

2.解:：tan/1=^=^,BC=3,

4-tan力」

國—備課資遐

Qi教學建議

學生學習時首先通過情境題了解本節(jié)課學習的主要任務，做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”

的數(shù)學思想，通過三個探究活動逐步得出梯子的傾斜程度與tan4的關系（N月和tan力之間的關系），在

探究的過程中可以通過自主探究與合作交流的方式抓住重點,突破難點.學生在運用正切解決問題時,一定

要注意其前提條件一一在直角三角形中,找準直角是解題的關鍵.而有些題目需要作輔助線構造直角三角

形,也可以通過角度的轉化進行求解，同時還要注意數(shù)形結合思想的運用.

經(jīng)典例題

闞題如圖所示,設計建造一條道路,路基的橫斷面為梯形ABCD,設路基高為方,兩側的坡角分別為明

￡.已知ZF2m,。=45°,tan號10m.求路基底部47的寬.

13

D

(解析)如圖所示,過，分別作下底48的垂線，垂足分別為￡E在RtZi｛外■和Rt△呼中,可根

據(jù)h的長以及坡角的度數(shù)或坡比的值,求出AE,毋'的長,進而可求得48的值.

解：如圖所示,過。作DELAB于E,過，作CFLAB于F,：.DE//CF.

?.?四邊形力靦為梯形，

:.AB〃CD,：.EP=CA\Qm.

...四邊形加?為矩形.

在RtZi4龐中，。=45°,/ZF2m,ACf^DE=h=2m.

在Rt△舒,中，tan吟上2m,.?.游2小4(m).

故AI^AE^EF^BF^AI^CD^Bf^2+10+4=16(m).

答:路基底部4?的寬為16m.

［解題策略］此題主要考查了坡度問題的應用，求坡度、坡角問題通常要轉換為解直角三角形的問題,

必要時應添加輔助線,構造出直角三角形.

第②課時

國整體設計

q教學目標

知識與技能

i.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關系的過程.理解正弦、余弦及三角函數(shù)的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.

2.能夠用sinA,cos4表示直角三角形中直角邊與斜邊的比,能夠用正弦、余弦進行簡單的計算.

,過程寫方雷

1.體驗數(shù)形之間的聯(lián)系,逐步學習利用數(shù)形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能

2.體會數(shù)學來源于生活又服務于生活的理念.

i.在探究新知的過程中，培養(yǎng)與他人合作的意識.

2.激發(fā)學生探究新知的興趣,讓他們體會學習數(shù)學的快樂，培養(yǎng)應用數(shù)學的意識.

作教學重難點

【重點】

I.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明.

14

2.能用sinA,cos4表示直角三角形兩邊的比.

3.能根據(jù)直角三角形的邊角關系進行簡單的計算.

【難點】類比正切,用函數(shù)思想理解正弦和余弦.

.教學準備

【教師準備】多媒體課件.

【學生準備】復習tan4的定義以及利用tan4表示直角三角形兩邊比的方法.

舊教學過程

區(qū)新課導入

導入一：

如圖所示,力。是旗桿四的一根拉線,測得/廬6m,4ACFa,同學們，你能用。表示出拉線力。的長度

嗎？

【問題】邊然和〃'分別是N/8的什么邊?黑和我們上節(jié)課學習的正切一樣嗎？

-設計意圖］通過與正切的對比，引出本節(jié)課要探究的問題，讓學生體會類比思想的重要性.

導入二：

課件出示：

n

N4的時邊

八NA的鄰邊c

如圖所示,我們在上一節(jié)課學習了直角三角形中的一種邊與角之間的關系一一正切.由正切定義我們

知道正切是一個比值,并且得出了當RtZVL%中的一個銳角〃確定時,其對邊與鄰邊的比值便隨之確定.

【問題】此時,其他邊之間的比值也確定嗎？

:設計意圖］引導學生回憶上節(jié)課學的正切后，開門見山，直入正題，讓學生的思維很快進入今天的學

習內容.

陷新知構建

［過渡語］在直角三角形4%中，除了兩條直角邊的比之外,還有沒有利用其他邊的比值來表示梯子

48的傾斜程度的情況呢？

一、正弦、余弦、三角函數(shù)的定義

問題1

課件出示：

15

H

如圖所示,在直角三角形中，除了兩直角邊的比值外還有其他邊之間的比值嗎？

生觀察后思考得出:還可以用直角邊比斜邊或斜邊比直角邊.(這里學生可能會提到多種情況,只要學

生|口1答的有道理就予以肯定和表揚)

教師引導:如果以為例，總結一下共有幾種情況.

【學生活動】同伴交流,總結歸納出兩種類型:對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比.

【教師點評】在中，如果銳角4確定,那么N4的對邊與斜邊的比和鄰邊與斜邊的比也隨

之確定.

【師生活動】共同總結：

//的對邊與斜邊的比叫做N4的正弦(sine),記作sinA,即sin小縹等.

斜邊

的鄰邊與斜邊的比叫做N/的余弦(cosine),記作cosA,即cos

銳角力的正弦、余弦和正切都是的三角函數(shù).

提示：當銳角A變化時,相應的正弦、余弦和正切值也隨之變化.

.設計意圖」通過探究，引導學生類比正切的概念總結出正弦、余弦及三角函數(shù)的概念，為下面的學

習打下良好的基礎.

二、sinA,cos4與梯子傾斜程度的關系

［過渡語］通過上節(jié)課的學習我們知道了梯子的傾斜程度與tanA有關系:tanA的值越大,梯子越

陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA,cos4有關系呢？如果有關系，是怎樣的關系？

問題2

【想一想】在教材圖1-3中，梯子的傾斜程度與sin4和cos4有關系嗎？

［教師活動】要求小組合作交流,統(tǒng)一答案.

【學生活動】小組同學認真思考,熱烈討論,積極總結.

思路一

教師引導學生分析：

如圖所示,?!比45,在中，sin4啜,在RtAAat；中，sin4=羯.

?：AB=AB,即sin水sin4,二梯子48比梯子陡.

tAB41%

梯子的傾斜程度與sin4有關系.sin4的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度.

思路二

學生互相交流，類比分析過程：

coscos'."AS=AtR,，絲>4^,WcosJ>cos4,

ABAB

???梯子的傾斜程度與cos4也有關系.cos1的值越小，梯子越陡.

16

【師生總結】梯子的傾斜程度與sinA,cos4的關系:sin4的值越大，梯子越陡;cos0的值越小,

梯子越陡.

［設計意圖］此環(huán)節(jié)的設計是為了突出概念的形成過程，幫助學生理解概念.通過學生的參與、動手

操作讓學生學會“由特殊到一般”“數(shù)形結合”的思想方法,提高分析問題和解決問題的能力.

例題解析

［過渡語］通過探究我們掌握了正弦、余弦的定義，下面就通過例題檢驗一下我們對新知的理解能

力.

課件出示：

(教材例2)如圖所示在RtZ\〃C中，/小90°"俏200,sin廬0.6,求比?的長.

【師生活動】生獨立解答,師巡視觀察學生解題的情況,隨時進行指導.

解:在Rt△物中，Tsin主第,即磊0.6,：.8(=200X0.6=120.

想一想：你還能求出cosA,sinC和cos，的值嗎？

生認真思考,獨立寫解題過程.

代表展示：cos4=0.8,sin00.8,cos8=0.6.

一設計意圖］例題的安排既對學生學習的內容加以鞏固，也讓學生體會嚴謹?shù)淖鲱}思路,并通過拓展

得出直角三角形的三角函數(shù)之間的關系.

:知識拓展］1.若/4+/生90°,一個銳角的正弦等于它余角的余弦,sin力二cos6;一個銳角的余弦

等于它余角的正弦，cos力二sinB.

2.銳角三角函數(shù)之間的關系：

(1)同一個角：①商的關系：tan片黑;②平方關系：sini+cosZ=L

(2)互余兩角：若/月+/#90°,則sinA=cosB,cos啟sinB.

三、三角函數(shù)的運用

［過渡語］靈活運用三角函數(shù)能提高我們的解題效率.

課件出示：

【做一做】如圖所示，在RtA4比1中，N俏90°,cos丹檜10,47等于多少？sin8呢？

［學生活動】要求學生獨立完成,代表展示解題過程.

代表展示：

解:在Rl△力回中，

...AC1012

?cos小;

.jp^l0xl3_65

?"少――不

17

.設計意圖」在學習前邊知識的基礎上，鞏固運用正弦、余弦及正切表示直角三角形中兩邊的比，體

驗數(shù)形之間的聯(lián)系，學習利用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題,提高解決實際問題的能力.

巨課堂小結

（D三角函數(shù)的概念:正弦:sin警邊余弦:cos小/鬻邊

斜邊斜邊

銳角［的正弦、余弦和正切都是N力的三角函數(shù).

⑵梯子的傾斜度與三角函數(shù)之間的關系：

sin力的值越大，梯子越陡;cos4的值越小，梯子越陡.

⑶銳角三角函數(shù)之間的關系：

⑴同一個角:①商的關系：tan/仁嗎;②平方關系：sin，+cos*l.

cos/1

⑵互余兩角：若N4+N戶90°,則sinJ=cosff,cosA=sinB.

互檢測反饋

1.如圖所示，在中，NC=90°,4?=6,cos典，則比的長為（）

A.4B.2V5

。18V13「12VI3

C?kD.三

解析:?.?cos若,.?.蕾.?心6,.,.但X6=4.故選A.

2.在雙△<比'中，N<?=90°,若cos則tan8的值是（）

A2V5DV5r3^5nV5

A-TB-TC-TD-T

解析：?.?在RtAJSC中，N090°,...cos4=務tan嚙,AC+B代屈.,：cos樗，.,.設402”（x〉0）,則

48=3x,BC=y[5x,.,.tan廬警軍.故選A.

V5x5

18

H

3.如圖所示,在中，勿是斜邊相上的中線，已知4e3,則sin8的值是—

解析：?..在RtZXI比'中，)是斜邊四上的中線，CD=2,：.AB=2CD=4,Asin代若弓?故填

4.如圖所示,△｛及7的頂點都在方格紙的格點上,則sinA=.

解析:過。作交45的延長線于點〃如圖所示,設小方格的邊長為1,在汽△〃》

中，小、W+。。2=2圾.'.sin4嚶*.故填唱.

5.如圖所示，N皿5=90°,DEVAB,垂足為點￡月廬10,小6,求N順的三個三角函數(shù)值.

解；?：NC=NBED=90°,NB=NB,

：.△ACBs△DEB,：.ZBD片ZA,

區(qū)板書設計

第2課時

1.三角函數(shù)的概念：

(1)Z/f的對邊與斜邊的比叫做N4的正弦，即sin小幺等曲.N4的鄰邊與斜邊的比叫做N4的余弦,

斜邊

即cosV?瞥.銳角A的正弦、余弦和正切都是N4的三角函數(shù).

2.梯子的傾斜度與三角函數(shù)之間的關系:sin/的值越大，梯子越陡;cos/的值越小，梯子越陡.

肉布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

L教材第6頁隨堂練習第1,2題.

2.教材第6頁習題1.2第1,2,3,4題.

19

【選做題】

教材第7頁習題1.2第5題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

1.如圖所示，在△/阿中，/孤90°,小戶5,小3,則cos力的值是（）

2.如圖所示，在Rt△力回中，/心90°"廬13,小12,則下列三角函數(shù)表示正確的是（）

A.sinJ=y|B.COSJ=y|

C.tanA=-5-D.tan廬q12

H

AC

3.在中，N4除90°,力比3,除4,貝ijsinA=.

4.如圖所示,在直角坐標系中，戶是第一象限內的點,其坐標是（3,而，且0P與x軸正半軸的夾角的正切

值是g,則sina的值為—

【能力提升】

5.如圖所示，已知△4%'的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（）

20

,V3V5

A-TBn-T

2V32V5

cr-vDn-v

6.在△48,中，N合90°,除6,sin樗，則4?邊的長是.

7.如圖所示，在Rt△，比?中，N俏90°,A?=10,sin4=1,求應'的長和tan8的值.

8.如圖所示,在正方形中,M是49的中點,除3花求sinN￡。/的值.

【拓展探究】

9.網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,△加％■每個頂點都在網(wǎng)格的交點處,則sinA=

【答案與解析】

1.D（解析：斤5,BO3,：.AO4,Acos故選D.）

AB5

2.A（解析：,.?N水冷90°,4戶13,小12,AA（=yjAB2-BC2=y/132-122=5.A,sin小黑二出故本選項正

確;B,cos4二**，故本選項錯誤;C,tan力考二告故本選項錯誤;1),tan斤祟點故本選項錯誤.故選A.)

AB13AC5BC12

3.白解析:首先由勾股定理求得斜