2023屆云南師范大學(xué)附中（貴州版）高三上學(xué)期月考（五）數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆云南師范大學(xué)附中（貴州版）高三上學(xué)期月考（五）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，所以，，又因?yàn)?，因此?故選：D.2．已知復(fù)數(shù)z滿足：，則的最小值是（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)到直線的距離．【詳解】由復(fù)數(shù)模的幾何意義知滿足的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)和為端點(diǎn)的線段的中垂線，的中點(diǎn)為，的最小值就是原點(diǎn)到直線的距離即為，故選：B．3．已知在中，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知式兩邊平方求得，確定，然后求出，聯(lián)立解得，再由商數(shù)關(guān)系得．【詳解】，，，是三角形內(nèi)角，所以，從而，所以，所以，由，解得，所以．故選：A．4．現(xiàn)有底面半徑為8，高為6的圓錐，過(guò)該圓錐的任意兩條母線所得的截面三角形的面積的最大值是（）A．48 B．50 C．96 D．100【答案】B【分析】由已知求得圓錐母線長(zhǎng)，確定圓錐頂角（軸截面等腰三角形的頂角）大于，由三角形面積公式可得當(dāng)兩條母線垂直時(shí)，截面積最大，由此計(jì)算可得．【詳解】如圖等腰是圓錐的軸截面，是底面圓圓心，由已知，，則，，是三角形內(nèi)角，所以，因此，該圓錐的任意兩條母線所得的截面三角形的面積為，又，所以時(shí)，取得最大值50.故選：B．5．近期隨著疫情的日益嚴(yán)重，社區(qū)的防控壓力日益增大，我校第三黨支部決定成立疫情防控小組投入到社區(qū)的疫情防控當(dāng)中，現(xiàn)有4名男性黨員和2名女性黨員同志自愿報(bào)名，若從這6名黨員同志中隨機(jī)選擇3名黨員組成疫情防控小組，則防控小組中男、女黨員均有的情況有多少種？（）A．32 B．20 C．16 D．10【答案】C【分析】6人中任選3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，即用排除法求解．【詳解】6人中任選3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，方法為.故選：C．6．下列函數(shù)中，不能使得成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】逐項(xiàng)分析函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可判斷和選擇.【詳解】，即，互為相反數(shù)；對(duì)A：，故A可以使得目標(biāo)式成立；對(duì)B：，故B可以使得目標(biāo)式成立；對(duì)C：，故C不可以使得目標(biāo)式成立；對(duì)D：，故D可以使得目標(biāo)式成立.故選：C.7．如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角的斜邊，直角邊，．若，，E為半圓弧的中點(diǎn)，F(xiàn)為半圓弧上的任一點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．4【答案】B【分析】如圖，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，求出點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出半圓弧的方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)法計(jì)算，利用三角函數(shù)性質(zhì)求得最大值．【詳解】如圖，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，半圓弧的方程為，設(shè)（），，，，則，時(shí)取得最小值是，所以取得最大值．故選：B.8．設(shè)為定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有，又當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A．0 B． C．2 D．【答案】D【分析】由已知得出函數(shù)是周期函數(shù)，16是一個(gè)周期，以及，然后由周期性及已知等式計(jì)算．【詳解】,用替換得，所以，從而，所以是周期函數(shù)，16是它的一個(gè)周期，又，，故選：D．9．已知拋物線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，若直線與拋物線C在第一象限交于點(diǎn)M，第四象限交于點(diǎn)N，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)聯(lián)立直線與拋物線方程，解出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用拋物線焦半徑公式即可得到線段比.【詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，，則在直線上，聯(lián)立得，解得或，由下圖得，，故，，故，故選：D.10．設(shè)三棱錐滿足，且，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于固定不變，因此只要棱錐的高即到平面的距離最大，即有體積最大，而，因此的外接圓不變，因此到邊的距離最大時(shí)，為等邊三角形，然后當(dāng)平面平面，從而平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，由此確定三棱錐的結(jié)構(gòu)，再根據(jù)棱錐性質(zhì)找出外接球球心位置，利用直角三角形和直角梯形計(jì)算出球半徑，從而得表面積．【詳解】中，，則在以為弦，所對(duì)圓周角為的圓上的一段優(yōu)弧上，如圖，易知當(dāng)即為等邊三角形時(shí)，到的距離最大為，當(dāng)不變時(shí)，假設(shè)于，當(dāng)平面平面，從而平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大為，也即三棱錐的高最大，從而體積最大，此時(shí)是中點(diǎn)，連接，，，設(shè)是外心，則，，，過(guò)作平面的垂線，則三棱錐的外接球球心在此垂線上，設(shè)是三棱錐的外接球球心，如圖，連接，，易得，設(shè)外接球半徑為，即，在直角梯形和直角三角形中，，，解得，球表面積為．故選：B．11．已知函數(shù)，且，則下列陳述不正確的是（）A．若函數(shù)的相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，則函數(shù)的最小正周期為πB．若函數(shù)的相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，則為的一條對(duì)稱軸C．若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為D．若函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，則的范圍為【答案】C【分析】由求得，，然后由相鄰對(duì)稱軸的距離可判斷A，求得后，再結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性判斷B，根據(jù)零點(diǎn)的定義求出范圍判斷CD．【詳解】，，則，，選項(xiàng)A，，正確；選項(xiàng)B，，，，時(shí)，，因此是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，正確；選項(xiàng)C，時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，則，，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，時(shí)，因?yàn)?，則，無(wú)零點(diǎn)，，或，或，若，則，此時(shí)，在上一定有零點(diǎn)，不合題意，所以，正確．故選：C．12．如圖圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為6，以上下底面為大圓的半球在圓柱內(nèi)部，現(xiàn)用一垂直于軸截面的平面去截圓柱，且與上下兩半球相切，求截得的圓錐曲線的離心率為（）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題意作出截面圖，分析出平面與底面夾角余弦值為，再利用立體圖形得到，，再計(jì)算出值得到離心率.【詳解】作出截面圖，顯然平面經(jīng)過(guò)中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，切點(diǎn)分別為，，半徑為1，，則，，，則，作出以下立體圖，則平面與底面夾角余弦值為，圓柱的底面半徑為橢圓的短軸,得，又橢圓所在平面與圓柱底面所成角余弦值為,以為原點(diǎn)建立上圖所示平面直角坐標(biāo)系，，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，故離心率,故選：A.二、填空題13．已知圓，現(xiàn)過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相切，則直線l的方程是________．【答案】或．【分析】根據(jù)切線斜率不存在時(shí)，直接判斷，斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，然后由圓心到切線的距離等于半徑求解．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,，過(guò)點(diǎn)的切線有兩條，直線顯然是圓的切線，再設(shè)另一條切線方程為，即，由，解得，切線方程為，即，所以切線方程為或，故答案為：或．14．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若三角形的面積，則角__________．【答案】.【詳解】分析：利用面積公式和余弦定理結(jié)合可得．詳解：由．余弦定理：，可得：，∴，∵，∴．故答案為．點(diǎn)睛：在解三角形時(shí)，有許多公式，到底選用哪個(gè)公式，要根據(jù)已知條件，根據(jù)待求式子靈活選用，象本題出現(xiàn)，因此聯(lián)想余弦定理，由于要求角，因此面積公式自然而然選用．許多問(wèn)題可能比本題要更復(fù)雜，目標(biāo)更隱蔽，需要我們不斷探索，不斷棄取才能得出正確結(jié)論，而這也要求我們首先要熟記公式．15．若，，且方程恰有兩個(gè)不同的解，則________．_【答案】##【分析】求出直線與相切時(shí)切線的斜率，作出函數(shù)和的圖象，由圖象觀察可得結(jié)論．【詳解】設(shè)與相切，切點(diǎn)為，，，所以，，從而，作出函數(shù)和的圖象，由圖象可知，時(shí)，方程恰有兩個(gè)不同的解．故答案為：．三、雙空題16．已知正方體的頂點(diǎn)A處有一只小蜜蜂，小蜜蜂每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同，求小蜜蜂移動(dòng)2次后仍在底面的概瓶率_________；小蜜蜂移動(dòng)n次后仍在底面上的概率_________．【答案】；

．【分析】由題意確定正方體上任一頂點(diǎn)，隨機(jī)移動(dòng)一次，仍然在同一底面的概率是，到另一底面的概率是，從而由可求得，然后由求得即遞推關(guān)系，變形后構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列后可求得通項(xiàng)公式．【詳解】正方體中每個(gè)頂點(diǎn)有三個(gè)相鄰頂點(diǎn)，其中有兩個(gè)與它在同一底面（上下底面），當(dāng)點(diǎn)在下底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次仍在下底面的概率為，當(dāng)點(diǎn)在上底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次移動(dòng)到下底面的概率為，所以，，，，，所以是等比數(shù)列，從而，所以．故答案為：；．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)事件的概率，解題關(guān)鍵是確定與的關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列求得通項(xiàng)公式．歸納時(shí)先考慮從一個(gè)頂點(diǎn)隨機(jī)移動(dòng)一次，在同一底面的概率，到另一個(gè)底面的概率，而第次頂點(diǎn)在下底面，由第次頂點(diǎn)有兩種情形：一在下底面，二在上底面，由此可得出遞推關(guān)系．四、解答題17．2022年國(guó)際籃聯(lián)女籃世界杯已經(jīng)落下帷幕，中國(guó)女籃獲得亞軍，時(shí)隔28年再次登上大賽領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)，追平隊(duì)史最好成績(jī)，中國(guó)觀眾可以通過(guò)中央電視臺(tái)體育頻道觀看比賽實(shí)況，某機(jī)構(gòu)對(duì)某社區(qū)群眾觀看女籃比賽的情況進(jìn)行調(diào)查，將觀看過(guò)本次女籃世界杯中國(guó)女籃4場(chǎng)比賽的人稱為“女籃球迷”，否則稱為“非女籃球迷”，從調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)抽取50份進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表所示：女籃球迷非女籃球迷總計(jì)男2026女l4總計(jì)50(1)補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為是否為“女籃球迷”與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)從抽取的“女籃球迷”人群中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，然后從這6人中，隨機(jī)抽取2人，記這2人中男“女籃球迷”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有的把握認(rèn)為是否為“女籃球迷”與性別有關(guān)．(2)分布列見(jiàn)解析，期望是．【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表后計(jì)算可得結(jié)論；（2）確定6人中的男女人數(shù)，然后得出隨機(jī)變量的值，分別計(jì)算概率得分布列，由期望公式計(jì)算期望．【詳解】（1）列聯(lián)表如下：女籃球迷非女籃球迷總計(jì)男20626女10l424總計(jì)302050，沒(méi)有的把握認(rèn)為是否為“女籃球迷”與性別有關(guān)．（2）從抽取的“女籃球迷”人群中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，這6人中男“女籃球迷”有4人，女“女籃球迷”有2人，的可能值是0，1，2，，，，的分布列為：012．18．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由已知求得，再利用求得的遞推關(guān)系，從而確定是等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式；（2）用裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】（1），，，所以，，也適合，所以，是等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知，，所以．19．如圖．在三棱錐中，，.(1)求證：；(2)若是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．，D是邊上的一點(diǎn)且．求直線與平面所成線面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）作平面，垂足為，先證明是的垂心，然后得證線面垂直平面，從而證明線線垂直；（2）說(shuō)明，以直線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．【詳解】（1）作平面，垂足為，連接，顯然平面，所以，，，同理，，，平面，所以平面，平面，所以，同理，所以是的垂心，從而，，平面，所以平面，又平面，所以；（2），即，是等邊三角形，則是其中心，因此，三棱錐是正三棱錐，，，則，，，以直線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，，，設(shè)直線與平面所成線面角為，則．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足：．記M的軌跡為C．(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M，N分別作曲線C的切線，兩切線交于點(diǎn)，試探究：動(dòng)點(diǎn)是否在一條定直線上？若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若在，求出該直線的方程．【答案】(1)（）．(2)答案見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得軌跡方程；（2）設(shè)，，再設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程是，與曲線方程聯(lián)立求得得切線方程，同理得過(guò)點(diǎn)的切線方程，設(shè)交點(diǎn)為，代入兩切線方程后觀察得出切點(diǎn)弦所在直線方程，再由直線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)代入后關(guān)于的等式，由此可知點(diǎn)所在直線方程，【詳解】（1），由已知，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，，，，則，所以軌跡方程為（）．（2）時(shí)，，，因此A在雙曲線右支含有焦點(diǎn)的部分，設(shè)，，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程是，，則，，由，得，，整理得，，，，切線方程為，，同理過(guò)點(diǎn)的切線方程為，設(shè)，則，所以過(guò)點(diǎn)，的直線方程為，又直線過(guò)，所以，所以在定直線上．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：圓錐曲線切點(diǎn)弦所在直線方程求法，過(guò)雙曲線外一點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)弦所在直線方程為，方法是設(shè)兩切點(diǎn)分別為，設(shè)過(guò)的點(diǎn)的切線方程是，代入雙曲線方程，應(yīng)用判別式求得，從而得切線方程為，同理得另一切線方程為，兩條切線都過(guò)點(diǎn)，因此有，由直線方程的概念可得過(guò)點(diǎn)的直線方程．對(duì)橢圓、拋物線也有類似結(jié)論．21．已知，.(1)若恒成立，求m的取值范圍；(2)若不等式在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)求得的最大值即得范圍；（2）不等式同構(gòu)為，引入函數(shù)是增函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，在時(shí)恒成立，再引入函數(shù)（），由導(dǎo)數(shù)求得的最大值即得．【詳解】（1），即，，設(shè)，，，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，恒成立，則；（2）不等式即為設(shè)，顯然此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以在時(shí)恒成立，在時(shí)恒成立，設(shè)（），則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，一是利用分離變量法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，二是不等式同構(gòu)變形，利用函數(shù)的單調(diào)性把問(wèn)題簡(jiǎn)化．22．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，直線l的極坐標(biāo)方程為，若曲線C的參數(shù)方程為，為參數(shù)．(1)求直線l和曲線C的普通方程；(2)若點(diǎn)P為曲線C上的任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)直線，曲線：；(2)距離最大值是7，．【分析】（1）由公式化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，由消參法化參數(shù)方程為普通方程；（2）求出與直線平行