江蘇省常州禮嘉中學(xué)2018-2019高二下學(xué)期月考數(shù)學(xué)（理）試卷

禮嘉中學(xué)20182019學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)（理）階段教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷一．（14570）1.在空間直角坐標(biāo)系中，若ax,2,bx,3,1，且ab，則x.復(fù)數(shù)z足z23i（i虛單則z模為 .復(fù)數(shù)zx2xi純數(shù)則數(shù)x值 .已知在數(shù)列中，a當(dāng)n2時(shí)，aa 2nN，依次計(jì)算a,a,an 1

n1

2 3 4后，猜想an的表達(dá)式是 ．P為直線B上一點(diǎn)，O為直線B外一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)x,y，且xy1，使得PxAyBP為所在O為ABCxyzxyz1，使得OP”.設(shè)實(shí)數(shù)abc成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)xy分別為abbc的等差中項(xiàng)，則ac .x y已知復(fù)數(shù)z ，z是z的共軛復(fù)數(shù)則zz.3i1i2OABCMN分別是ABOC3i1i2OAb,OCc，用a,b,c表示NM，則NM.3已知復(fù)數(shù)zxyix,yR其中i是虛數(shù)單位且z2 則3y的最大值為 .x是ABCPP到相應(yīng)三邊的距離分別為P,P,P，我們可以得到結(jié)論：PaPbPc

1.把它類比到空間中，則a b c

三棱錐中的類似結(jié)論為 25個(gè)數(shù)排成五行五列：a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a51a52a53a54已知第一行成等差數(shù)列，而每一列都成等比數(shù)列，且五個(gè)公比全相等．若a244,

a412,

a4310，則a55的值為 ．12.設(shè)S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12，n用數(shù)學(xué)歸納法證明S＝n2n＋1時(shí)，第二步從“k”到“k＋1”應(yīng)添加的項(xiàng)為 n3ABCD－A1B1C1D1為正方體，①→ → →2 →2(A1A＋A1D1＋A1B1)＝3A1B1；②→ → →A1C·(A1B1－A1A)＝0；A1B③向量→1與向量→的夾角是A1BABCD－ABC

的體積為→→→1111

|AB·AA1·AD|.其中正確的序號是 ．14.O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量＝(1,2,3)＝(2,1,2)＝(1,1,2)，且點(diǎn)OA OB OP→→ →Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)QA·QB取得最小值時(shí)，OQ的坐標(biāo)是 ．（690或演算步驟）15.（本題滿分14分）11i1i（i，復(fù)數(shù)z22．；z2z2．16.（14分）設(shè)n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)求證：對任意的正整數(shù)n，f(n)是8的倍數(shù)．17.（14分）若虛數(shù)z同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：5①z＋z

是實(shí)數(shù)；②z＋3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)．這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由．18.（16分）ABCD—A1B1C1D1ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)，GA1D1，D1D，D1C1的中點(diǎn)．試用向量表示；BD A1 GEFGAB1C.（16分）數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

2n11 2n11的自然數(shù)，不等式1

1

1

均成立． 3

5

2n1220.（16分）X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)Sn＝{(a，b)|abba∈X，b∈Yn}f(n)Sn所含元素的個(gè)數(shù)．f(6)的值；n≥6f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．禮嘉中學(xué)2018——2019學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)（理）階段教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷答案5一．填空題51.1 2.

3.1 4.an＝n2 5.OPxOAyOBzOC

6.2 7. 1438.1(a＋b－c) 9.3

P P P P10. a b c d 2 ＋＋＋＝1 11.10. a b c d 2 2 4，4，8

hb hc hd13. ①② 14.

3 3 3二．解答題15.解（1）因?yàn)閦1·i＝1＋i，1所以z＝1＋i＝1－i．1i（2）z22z2＝m＋2im∈R)．z1·z2＝(1－i)(m＋2i)＝(m＋2)＋(2－m)i為純虛數(shù)，m＋2＝02－m≠0m＝－2．－22i．16.(1)解 ∵n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2，∴f(1)＝3＋7－2＝8，f(2)＝32＋72－2＝56， f(3)＝33＋73－2＝368.(2)證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝3＋7－2＝8，成立；②n＝k(k∈N*)f(k)＝3k＋7k－28整除，＝k1時(shí)，k＋1＝317123×＋77－2＝3(3k＋7k－2)＋4×7k＋4＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)，∵3k＋7k－2能被8整除，7k＋1是偶數(shù)，∴3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)一定能被8整除，即n＝k＋1時(shí)也成立．由①②得對任意正整數(shù)n，f(n)是8的倍數(shù)．17.解 這樣的虛數(shù)存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋5＝a＋bi＋

5＝a＋bi＋

5a－bi＝

a＋5aa2＋b2＋

b－5ba2＋b2i.z＋是實(shí)數(shù)，∴b－＝＋是實(shí)數(shù)，∴b－＝0.

a＋bi5b

a2＋b2z a2＋b2又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，∴a＋3＋b＝0.②a＋b＋3＝0，由a2＋b2＝5，

a＝－1，解得b＝－2

a＝－2，或b＝－1，故存在虛數(shù)z，z＝－1－2i或z＝－2－i.→ → →18.(1)解 由圖得→ → → →AG＝AA1＋A1D1＋D1G1→ 1 1→ → →＝c＋b＋

DC＝2

a＋b＋c＝

AB＋AD＋AA1.2→ → →

→ → →

1 1→(2)證明 由題圖，得AC＝AB＋BC＝a＋b， EG＝ED1＋D1G＝2

b＋a＝2

AC，∵EG與AC無公共點(diǎn)，∴EG∥AC，∵EG?平面AB1C，AC?平面AB1C，∴EG∥平面AB1C.又∵→ → →

→ → → 1 1 1→AB1＝AB＋BB1＝a＋c， ∵FGAB1無公共點(diǎn)，∴FG∥AB1，∵FG?AB1C，AB1?AB1C，∴FG∥平面AB1C，又∵FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.

c＋2 2

AB1，2＋＝19.證明 ①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1 1 ＋＝3 3

，右邊

5.2∵左邊>右邊，∴不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式成立，1＋1即

1＋15·…·

1＋1 2k－1>

2n＝k＋1

1＋13

1＋15·…·

1＋1 2k－1

1＋ 1 2k＋1－1>2k＋1·2k＋2＝

2k＋2＝

4k2＋8k＋42 2k＋1

2

22k＋14k2＋8k＋3>22k＋1

2k＋32k＋1＝ 22k＋1

2k＋1＋1.2∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．由①②知對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．20.解 (1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)滿足：若a＝1，則b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，則b＝1,2,4,6；若a＝3，則b＝1,3,6.所以f(6)＝13.(2)當(dāng)n≥6時(shí)，n＋nn＋2＋2 3，n＝6t，n－1＋n－1n＋2＋ 2 3n n－2

，n＝6t＋1，＋f(n)＝n＋2＋2 3

，n＝6t＋2，

(t∈N*)．n－1＋nn＋2＋ 2 3，n＝6t＋3，n n－1＋n＋2＋2

，n＝6t＋4，n－1＋n－2n＋2＋ 2 3 ，n＝6t＋5下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝6時(shí)，f(6)＝6＋2＋6＋6＝13，結(jié)論成立；2 3②假設(shè)n＝k(k6)時(shí)結(jié)論成立，那么n＝k＋1時(shí)，Sk＋1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：1)k＋1＝6tk＝6(t－1)＋5f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－12

k－2＋ 3＝(k＋1)＋2＋k＋12

k＋1＋ ，結(jié)論成立；32)若k＋1＝6t＋1，則k＝6t，此時(shí)有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k＋k＋12 3＝(k＋1)＋2＋k＋1－1＋k＋1－1，結(jié)論成立；2 33)若k＋1＝6t＋2，則k＝6t＋1，此時(shí)有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－1

k－1 2＋ ＋2 3＝(k＋1)＋2

k＋1 k＋1－2＋ ＋ ，結(jié)論成立；2 34)若k＋1＝6t＋3，則k＝6t＋2，此時(shí)有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2 k

k－2 2＋＋ ＋2 3＝(k＋1)＋2

k＋1－1＋2

k＋1