【第1部分復(fù)習(xí)進(jìn)階】專題02《因數(shù)和倍數(shù)》-數(shù)學(xué)五升六銜接講義（教師版）人教版

人教版數(shù)學(xué)五升六銜接講義（復(fù)習(xí)進(jìn)階）專題02因數(shù)和倍數(shù)知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識點一：因數(shù)與倍數(shù)1、如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然數(shù))那么a和b就是c的因數(shù)，c就是a和b的倍數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)兩個不同的概念是相互依存的，不能單獨存在。例如4×3=12，12是4的倍數(shù),12也是3的倍數(shù),4和3都是12的因數(shù)。2、因數(shù)的特點：一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。例：10的因數(shù)有1、2、5、10，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是10。(1是所有非0自然數(shù)的因數(shù))一個數(shù)的因數(shù)的求法：成對地按順序找3、倍數(shù)的特點：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。例：3的倍數(shù)有：3、6、9、12…其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。一個數(shù)的倍數(shù)的求法：依次乘以自然數(shù)知識點二：2、5、3的倍數(shù)的特征1、2的倍數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)(2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)、不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù))。2、5的倍數(shù)的特征：個位上是0或5的數(shù)，都是5的倍數(shù)。3、3的倍數(shù)的特征：一個數(shù)的各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。知識點三：奇數(shù)與偶數(shù)（自然數(shù)按能不能被2整除來分：奇數(shù)、偶數(shù)）(1)定義：奇數(shù)：(也叫單數(shù))自然數(shù)中不能被2整除的數(shù)最小的奇數(shù)是1，偶數(shù)：(也叫雙數(shù))自然數(shù)中能被2整除的數(shù)最小的偶數(shù)是0.(2)特征：奇數(shù)：個位上是1，3，5，7，9的數(shù)偶數(shù)：個位上是0，2，4，6，8的數(shù)(3)字母表示：奇數(shù)：2n+1(n>=0)偶數(shù)：2n(n>=0)(4)公式：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)(5)自然數(shù)中，不是奇數(shù)就是偶數(shù)。0是偶數(shù)。知識點四：質(zhì)數(shù)與合數(shù)（自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)來分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1、0四類）(1)定義：質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)(共有2個因數(shù))合數(shù)：除了1和它本身之外還有別的因數(shù)的數(shù)(至少有3個因數(shù))，(2)最小的質(zhì)數(shù)是2最小的合數(shù)是4(3)“1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。(因為1只有1個因數(shù))。(4)自然數(shù)中，除了0和1之外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)(5)在自然數(shù)里，不是奇數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2(6)公式：質(zhì)數(shù)*質(zhì)數(shù)=合數(shù)質(zhì)數(shù)*合數(shù)=合數(shù)合數(shù)*合數(shù)=合數(shù)(7)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7和11，13后面是17，19、23、29，31、37、41，43、47、53，59、61、67，71、73、79，83、89、97。百分能力達(dá)標(biāo)百分能力達(dá)標(biāo)一、選擇題(共5題；每題2分，共10分)1．（2分）（2022五下·通遼期中）a和b都是質(zhì)數(shù)，它們的積一定是（）。A．奇數(shù) B．偶數(shù) C．合數(shù)【答案】C【完整解答】解：a和b都是質(zhì)數(shù)，它們的積一定是合數(shù)。

故答案為：C。【思路引導(dǎo)】質(zhì)數(shù)：一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，換句話說就是該數(shù)除了1和它本身以外不再有其他的因數(shù)；否則稱為合數(shù)。

本題中a×b的積的因數(shù)除過1和ab外，還有因數(shù)a和b，據(jù)此即可得出答案。2．（2分）（2022五下·遵義期中）當(dāng)a是自然數(shù)時，2a+1一定是（）。A．質(zhì)數(shù) B．奇數(shù) C．合數(shù) D．偶數(shù)【答案】B【完整解答】解：當(dāng)a是自然數(shù)時，2a+1一定是奇數(shù)。

故答案為：B?！舅悸芬龑?dǎo)】奇數(shù)是不能被2整數(shù)的數(shù)，偶數(shù)是能被2整數(shù)的數(shù)，2a一定是偶數(shù)，再根據(jù)偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)即可得出答案。3．（2分）（2022五下·遵義期中）20以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)乘10以內(nèi)最大的奇數(shù)，積是（）。A．119 B．135 C．153 D．171【答案】D【完整解答】解：19×9=171，所以20以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)乘10以內(nèi)最大的奇數(shù)，積是171。

故答案為：D?！舅悸芬龑?dǎo)】質(zhì)數(shù)：一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，換句話說就是該數(shù)除了1和它本身以外不再有其他的因數(shù)。20以內(nèi)的最大質(zhì)數(shù)是19。

奇數(shù)是指不能被2整除的數(shù)，10以內(nèi)最大的奇數(shù)是9。4．（2分）（2022五下·同江期中）下面各種說法，有（）句是正確的。①一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身。②一個數(shù)有無數(shù)個倍數(shù)。③一個數(shù)的倍數(shù)大于他的因數(shù)。④一個數(shù)至少有兩個因數(shù)。A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【完整解答】解：①一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，原題干說法正確；

②一個數(shù)有無數(shù)個倍數(shù)，原題干說法正確；

③一個數(shù)的最小倍數(shù)等于它最大的因數(shù)，原題干說法錯誤；

④1只有1個因數(shù)，原題干說法錯誤。

故答案為：B?！舅悸芬龑?dǎo)】一個數(shù)因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)；1的因數(shù)只有它本身。5．（2分）（2022五下·遵義期中）用0、3、4、8組成的所有的四位數(shù)都能被（）整除。A．5 B．2 C．3 D．4【答案】C【完整解答】解：用0、3、4、8組成的所有的四位數(shù)都能被3整除。

故答案為：C?！舅悸芬龑?dǎo)】5的倍數(shù)特征：個位上是0或5的數(shù)；2的倍數(shù)特征：個位上是偶數(shù)的數(shù)；3的倍數(shù)特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；本題中0、3、4、8這四個數(shù)字的和是3的倍數(shù)，據(jù)此即可得出答案。二、判斷題(共5題；每題2分，共10分)6．（2分）（2022五下·通遼期中）在12÷6=2這個算式中，12是倍數(shù)，2是因數(shù)。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：在12÷6=2這個算式中，12是2和6的倍數(shù)，2是12的因數(shù)，所以原題說法錯誤。

故答案為：錯誤?！舅悸芬龑?dǎo)】因數(shù)，或稱為約數(shù)，數(shù)學(xué)名詞。定義：整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0)的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說b是a的因數(shù)。0不是0的因數(shù)。

倍數(shù)，一個整數(shù)能夠被另一個整數(shù)整除，那么這個整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)。如15能夠被3或5整除，因此15是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)。

本題根據(jù)倍數(shù)和因數(shù)的概念進(jìn)行解答。7．（2分）（2022五下·德江期中）在式子a÷b=c中，（a、b、c均不為0）a是b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)。（）【答案】（1）正【完整解答】解：在式子a÷b=c中，（a、b、c均不為0）a是b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)，說法正確。

故答案為：正確?！舅悸芬龑?dǎo)】因數(shù)，或稱為約數(shù)，數(shù)學(xué)名詞。定義：整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0)的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說b是a的因數(shù)。0不是0的因數(shù)。

倍數(shù)，一個整數(shù)能夠被另一個整數(shù)整除，那么這個整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)。如15能夠被3或5整除，因此15是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)。8．（2分）（2022五下·科爾沁左翼中旗期中）邊長是自然數(shù)的正方形，它的周長一定是合數(shù)。（）【答案】（1）正【完整解答】解：邊長是自然數(shù)的正方形，它的周長一定是合數(shù)。原題說法正確。

故答案為：正確?！舅悸芬龑?dǎo)】除了1和本身外還有其它因數(shù)的數(shù)是合數(shù)。正方形周長=邊長×4，一個非0數(shù)乘4的積一定是合數(shù)。9．（2分）（2022五下·東方期中）由5、4、0三個數(shù)組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù)。（）【答案】（1）正【完整解答】解：由5、4、0三個數(shù)組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù)。原題說法正確。

故答案為：正確?！舅悸芬龑?dǎo)】各個數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。因為5+4+0=9，9是3的倍數(shù)，所以組成的三位數(shù)一定是3的倍數(shù)。10．（2分）（2022五下·涇陽月考）要使四位數(shù)41□5是3的倍數(shù)，□中可以填的數(shù)有4個。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：要使四位數(shù)41□5是3的倍數(shù)，□中可以填的數(shù)有2、5、8，共3個。原題說法錯誤。

故答案為：錯誤?！舅悸芬龑?dǎo)】各個數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。4+1+5=10，所以十位數(shù)字是2、5、8時，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。三、填空題(共8題；每空1分，共16分)11．（2分）（2022五下·濟南期中）1～20各數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的是和?！敬鸢浮?；15【完整解答】解：1～20各數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的是9和15。

故答案為：9；15?！舅悸芬龑?dǎo)】不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)；一個數(shù)，除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。12．（1分）（2022五下·濟南期中）6□既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，□里可以填。【答案】0【完整解答】解：60既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，□里可以填0。

故答案為：0?！舅悸芬龑?dǎo)】既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的特征是這個數(shù)個位上的數(shù)字是0。13．（2分）（2022五下·宿遷期中）在8ⅹ3=24中，8和3是24的數(shù)，其中3也是24的數(shù)?！敬鸢浮恳?；約【完整解答】解：在8ⅹ3=24中，8和3是24的因數(shù)，其中3也是24的約數(shù)。

故答案為：因；約?！舅悸芬龑?dǎo)】兩個整數(shù)相乘得到積，那么這兩個整數(shù)都叫做積的因數(shù)，積是這兩個數(shù)的倍數(shù)。14．（4分）（2022五下·上思期中）在1、3、5、29、40、65、70、91這些數(shù)中，是質(zhì)數(shù)，是合數(shù)，是奇數(shù)，偶數(shù)?！敬鸢浮?、5、29；40、65、70、91；1、3、5、29、65、91；40、70【完整解答】解：3、5、29是質(zhì)數(shù)；40、65、70、91是合數(shù)；

1、3、5、29、65、91是奇數(shù)；40、70是偶數(shù)。

故答案為：3、5、29；40、65、70、91；1、3、5、29、65、91；40、70?！舅悸芬龑?dǎo)】不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；

一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個數(shù)，除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。15．（2分）（2022五下·科爾沁左翼中旗期中）30的因數(shù)中，最小的，最大的是【答案】1；30【完整解答】解：30的因數(shù)中，最小的是1，最大的是30。

故答案為：1；30。

【思路引導(dǎo)】一個數(shù)最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。16．（2分）（2022五下·科爾沁左翼中旗期中）在8，1，0，4這四個數(shù)字中任選3個數(shù)字組成三位數(shù)，有因數(shù)2的最小的三位數(shù)是，同時是2，3，5的倍數(shù)的最大三位數(shù)是?！敬鸢浮?04；840【完整解答】解：在8，1，0，4這四個數(shù)字中任選3個數(shù)字組成三位數(shù)，有因數(shù)2的最小的三位數(shù)是104；同時是2、3、5的倍數(shù)的最大三位數(shù)是840。

故答案為：104；840。

【思路引導(dǎo)】有因數(shù)2的數(shù)的個位數(shù)字都是偶數(shù)，這個三位數(shù)最小是104；同時是2、3、5的數(shù)的個位數(shù)字一定是0且各個數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)。17．（2分）（2022五下·科爾沁左翼中旗期中）兩個質(zhì)數(shù)的和是18，積是65。這兩個質(zhì)數(shù)是和。【答案】5；13【完整解答】解：13+5=18，13×5=65，所以這兩個質(zhì)數(shù)是5和13。

故答案為：5；13。

【思路引導(dǎo)】質(zhì)數(shù)從小到大依次有2、3、5、7、11、13、17、19……，從最小的質(zhì)數(shù)開始試算，然后找出符合要求的兩個質(zhì)數(shù)即可。18．（1分）（2021五下·連平期中）用0、4、5三個數(shù)字組成一個三位數(shù)，使它既能被2整除，又有約數(shù)3和5，其中最大的是?！敬鸢浮?40【完整解答】用0、4、5三個數(shù)字組成一個三位數(shù)，使它既能被2整除，又有約數(shù)3和5，其中最大的是540。

故答案為：540。

【思路引導(dǎo)】同時是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)的特征：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，個位是0，據(jù)此解答。四、計算題(共1題；共5分)19．（5分）（2020五下·偃師期中）找出下面的合數(shù)，再分解質(zhì)因數(shù)。4937185392【答案】解：49=7×7；18=2×3×3；92=2×2×23.【思路引導(dǎo)】一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）；一個數(shù)，除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)；

任何一個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。五、解答題(共10題；共51分)20．（6分）（2022五下·金鄉(xiāng)期中）飲料廠要把460瓶飲料打包，下面哪種方式正好能打包完？【答案】解：飲料廠要把460瓶飲料打包，5瓶裝方式正好能打包完?！舅悸芬龑?dǎo)】460是5的倍數(shù)，不是3和8的倍數(shù)，所以只有5瓶裝方式正好能打包完。21．（5分）（2022五下·蓬江月考）小朋友到文具店買日記本，日記本的單價已看不清楚，他買了3本日記本，售貨員阿姨說應(yīng)付134元，小紅認(rèn)為不對。你能解釋這是為什么嗎？【答案】解：1+3+4=8，8不是3的倍數(shù)，售貨員阿姨說錯了。

答：售貨員阿姨說錯了，因為錢數(shù)應(yīng)該是3的倍數(shù)?！舅悸芬龑?dǎo)】3的倍數(shù)的特征是這個數(shù)的所有數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。22．（5分）（2022五下·涇陽月考）一個小朋友在飲料店買了一些純牛奶和可樂，他付了100元，售貨員阿姨找回了18元。已知純牛奶：5元/瓶，可樂：10元/瓶。請問：售貨員阿姨找回的錢對嗎？為什么？【答案】解：因為純牛奶和可樂的單價分別是5元，10元，都是5的倍數(shù)，所以不論買幾瓶，總錢數(shù)也應(yīng)是5的倍數(shù)，付了100元，找回的錢數(shù)應(yīng)該也是5的倍數(shù)，即個位數(shù)應(yīng)是0或5，所以找回18元不對。答：售貨員阿姨找回的錢不對。因為找回的錢應(yīng)該是5的倍數(shù)，18不是5的倍數(shù)。【思路引導(dǎo)】個位數(shù)字是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)，因為總價是5的倍數(shù)，所以找回的錢也應(yīng)該是5的倍數(shù)，而18不是5的倍數(shù)。23．（5分）（2021五下·隴縣期中）有50名同學(xué)去公園游玩，他們準(zhǔn)備乘船過河，公園劃船處提供了4條船。每條船上坐的人數(shù)最多不超過20人，而且各不相同，人數(shù)都是奇數(shù)。請你說說每條船上各坐幾個同學(xué)？【答案】解：19＋17＋1＋13

=36＋1＋13

=37＋13

=50（個）

答：每條船上各坐19個、17個、1個、13個同學(xué)?！舅悸芬龑?dǎo)】個位上是1、3、5、7、9的數(shù)是奇數(shù)；4條船上的4個不相等的奇數(shù)相加只要等于50就行。24．（5分）（2021五下·昌黎期中）42名同學(xué)去參觀水立方，老師要把同學(xué)們平均分成若干小組，而且每組人數(shù)都是偶數(shù)，可以分成幾組，每組幾人？（組數(shù)大于1）（寫出思考過程）【答案】解：42=1×42，42=2×21，42=3×14，42=6×7；

由于組數(shù)是大于1的數(shù)，

所以分成2組，每組21人，不符合題意；

分成21組，每組2人，符合題意；

分成3組，每組14人，符合題意；

分成14組，每組3人，不符合題意；

分成6組，每組7人，不符合題意；

分成7組，每組6人，符合題意。

答：①分成21組，每組2人；②分成3組，每組14人；③分成7組，每組6人?！舅悸芬龑?dǎo)】本題即是寫成乘積是42的算式，然后根據(jù)算式中的兩個因數(shù)，一個是組數(shù)，一個是每組的人數(shù)，找出符合題意的即可。25．（5分）文具店里有42支鉛筆，鉛筆的支數(shù)是鋼筆的2倍。文具店里的鉛筆和鋼筆一共有多少只？【答案】解：設(shè)鋼筆x只。2x=42x=21(只)鉛筆和鋼筆總數(shù)：42+21=63(只)答：文具店里的鉛筆和鋼筆一共63只?！就暾獯稹扛鶕?jù)鉛筆和鋼筆倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系建立等量關(guān)系?！舅悸芬龑?dǎo)】本題利用倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系求出未知數(shù)的大小。26．（5分）五(1)班有40人，其中男、女生人數(shù)都是質(zhì)數(shù)，且男、女生人數(shù)的乘積是391。五(1)班男、女生各有多少人？(男生人數(shù)比女生人數(shù)少)【答案】解：17+23=40，17×23=391，17＜23

答：男生：17人，女生：23人.【思路引導(dǎo)】從最小的質(zhì)數(shù)開始試算，判斷出兩個質(zhì)數(shù)的積和是40且這兩個數(shù)的積是391的數(shù)即可確定男生和女生的人數(shù).27．（5分）（2016五下·麻城期中）五（1）班有40個同學(xué)參加廣播操比賽，要使每行人數(shù)都相等，可以排幾行？共有幾種排法？（每行或每列不少于2人）【答案】解：40=1×40，排成1行，不符合題意，40行，不符合題意；40=2×20，排成2行或者20行，符合題意；40=4×10，排成4行，符合題意；排成10行，符合題意；40=5×8，排成5行，符合題意；排成8行，符合題意；所以可以排成：2行、4行、5行、8行、10行、20行，有6種排法；答：可以排成：2行、4行、5行、8行、10行、20行，有6種排法【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，即把40名同學(xué)平均分成若干行，那么行數(shù)和每行的人數(shù)相乘的積是40，又因為規(guī)定了每行的人數(shù)，所有看40有多少個因數(shù)，進(jìn)而找出符合條件的排法即可．28．（5分）（2021五下·諸暨期中）榮懷國際小學(xué)五年級總?cè)藬?shù)共一百多人，年級總?cè)藬?shù)恰好是2，3，5的倍數(shù)，五年級至少有多少人？【答案】解：2×3×5

=6×5

=30（人）

30×4=120（人）答：五年級至少有120人?！舅悸芬龑?dǎo)】五年級至少的人數(shù)=2、3、5的最小公倍數(shù)；因為總?cè)藬?shù)共一百多人，再用最小公倍數(shù)×4=榮懷國際小學(xué)五年級總?cè)藬?shù)。29．（5分）王老師的手機號碼是一個11位數(shù)。最高位上的數(shù)既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；第二、五位上的數(shù)既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)，且是最小的；第三位上的數(shù)是最大的一位數(shù)；第四位上的數(shù)是最小的偶數(shù)；第六位上的數(shù)是最小的合數(shù)；第七位上的數(shù)比最小的合數(shù)多1；其余各位上都是最大的一位偶數(shù)。你能寫出王老師的手機號碼嗎？【答案】解：因為1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，所以最高位上的數(shù)既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，則最高位上是1；

因為3既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)，且是最小的，所以第二、五位上的數(shù)是3；

因為最大的一位數(shù)是9，所以第三位上是9；

因為最小的偶數(shù)是0，所以第四位上是0；

因為最小的合數(shù)是4，所以第六位上是4，第七位上是4+1=5；