第05講 一元二次不等式與其他常見不等式解法（十大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）含解析

第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法（十大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：一元二次不等式 4知識(shí)點(diǎn)2：分式不等式 4知識(shí)點(diǎn)3：絕對(duì)值不等式 5解題方法總結(jié) 5題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法 6題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法 7題型三：三個(gè)二次之間的關(guān)系 8題型四：分式不等式以及高次不等式的解法 9題型五：絕對(duì)值不等式的解法 10題型六：二次函數(shù)根的分布問題 10題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題 11題型八：解含參型絕對(duì)值不等式 12題型九：解不等式組型求參數(shù)問題 13題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題 1304真題練習(xí)·命題洞見 1405課本典例·高考素材 1506易錯(cuò)分析·答題模板 16易錯(cuò)點(diǎn)：解含參數(shù)不等式時(shí)分類討論不恰當(dāng) 16答題模板：一元二次不等式恒成立問題 16

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式．（2）結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式．（3）了解簡單的分式、絕對(duì)值不等式的解法．2020年I卷第1題，5分從近幾年高考命題來看，三個(gè)“二次”的關(guān)系是必考內(nèi)容，單獨(dú)考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點(diǎn)的題目中．復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.2、會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的分布問題.3、能借助二次函數(shù)求解二次不等式，類比會(huì)求高次方程和絕對(duì)值不等式.

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個(gè)根，且（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上．（2）=1\*GB3①若，解集為．=2\*GB3②若，解集為．=3\*GB3③若，解集為．（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下．=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為【診斷自測】不等式的解集是，則的值是（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)2：分式不等式（1）（2）（3）（4）【診斷自測】不等式的解集為（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)3：絕對(duì)值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式，可用圖象法和零點(diǎn)分段法求解.【診斷自測】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式的解集是．解題方法總結(jié)1、已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．2、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．3、已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．4、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；8、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集為．【典例1-2】不等式的解集是，則不等式的解集是（用集合表示）．【方法技巧】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標(biāo)在軸上，結(jié)合圖象，寫出其解集.【變式1-1】不等式的解集是．【變式1-2】一元二次不等式的解集為.題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法【典例2-1】設(shè)函數(shù)(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式：．【典例2-2】已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為．(1)求和的值；(2)求不等式的解集．【方法技巧】(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類討論．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合處理．(3)有兩個(gè)根時(shí)，還需要根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論，注意分類討論．【變式2-1】已知函數(shù)．(1)若關(guān)于x的不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【變式2-2】解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式：．【變式2-3】設(shè)函數(shù)，其中．解不等式；題型三：三個(gè)二次之間的關(guān)系【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【典例3-2】已知的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．【方法技巧】1、一定要牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)．2、含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進(jìn)行代換．【變式3-1】若不等式的解集是，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（多選題）不等式的解集為，且.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（多選題）已知關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A．B．C．D．不等式的解集是或題型四：分式不等式以及高次不等式的解法【典例4-1】（2024·高三·上海楊浦·期中）關(guān)于x的不等式的解集是.【典例4-2】已知關(guān)于x的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【方法技巧】分式不等式化為二次或高次不等式處理．【變式4-1】（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測）不等式的解集是．【變式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是.【變式4-3】不等式的解集是．題型五：絕對(duì)值不等式的解法【典例5-1】（2024·高三·上海長寧·期中）不等式的解集為.【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集為．【方法技巧】（1）（2）；；（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解【變式5-1】（2024·上海虹口·模擬預(yù)測）不等式的解集為.【變式5-2】不等式的解集是．題型六：二次函數(shù)根的分布問題【典例6-1】已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【典例6-2】若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【方法技巧】解決一元二次方程的根的分布時(shí)，常需考慮：判別式，對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)，所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向．【變式6-1】已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式6-2】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式6-3】已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題【典例7-1】已知關(guān)于的不等式.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)任意恒成立，并說明理由；(2)若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對(duì)有解，求的取值范圍.【典例7-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【方法技巧】恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略（1）弄清楚自變量與參數(shù)．（2）一元二次不等式在R上恒（能）成立，可用判別式，一元二次不等式在給定的某個(gè)區(qū)間上恒（能）成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論處理．【變式7-1】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式7-2】已知函數(shù)，，(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式7-3】若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【變式7-4】已知函數(shù)，若對(duì)任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對(duì)是．題型八：解含參型絕對(duì)值不等式【典例8-1】已知關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【典例8-2】若存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【方法技巧】含參型絕對(duì)值不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解.【變式8-1】若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【變式8-2】（2024·上海長寧·二模）若對(duì)任意，均有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．題型九：解不等式組型求參數(shù)問題【典例9-1】設(shè)集合，集合為關(guān)于的不等式組的解集，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例9-2】（2024·高三·山東菏澤·期中）已知不等式組的解集是關(guān)于的不等式的解集的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<0 C．a(chǎn)≤-1 D．a(chǎn)<-2【方法技巧】求不等式(組)參數(shù)的問題，往往要利用不等式的性質(zhì)、不等式(組)的解集，建立對(duì)應(yīng)關(guān)系后求解.【變式9-1】（2024·高三·山西呂梁·開學(xué)考試）若不等式組的解集是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式9-2】若不等式組的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題【典例10-1】已知關(guān)于的不等式組的解集中存在整數(shù)解且只有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為.【典例10-2】關(guān)于x的不等式恰有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧】不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題通常使用分類討論與數(shù)形結(jié)合處理.【變式10-1】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或【變式10-2】若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解共有36個(gè)，則正數(shù)的取值范圍是.【變式10-3】設(shè)集合，集合若中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C． D．1．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷））已知函數(shù)，若對(duì)于任意的都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.2．（2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷（北京））已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．3．（2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科））設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為.1．當(dāng)k取什么值時(shí)，一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.2．是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義？（1）；（2）.3．如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45°方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.據(jù)以上預(yù)報(bào)估計(jì)，從碼頭現(xiàn)在起多長時(shí)間后，該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴的影響，影響時(shí)間大約為多長（精確到0.1h）？4．一名同學(xué)以初速度豎直上拋一排球，排球能夠在拋出點(diǎn)以上的位置最多停留多長時(shí)間（精確到）？易錯(cuò)點(diǎn)：解含參數(shù)不等式時(shí)分類討論不恰當(dāng)易錯(cuò)分析：含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點(diǎn)．解此類不等式時(shí)一定要注意對(duì)字母分類討論，討論時(shí)要做到不重不漏，分類解決后，要對(duì)各個(gè)部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大進(jìn)行整合．【易錯(cuò)題1】當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.【易錯(cuò)題2】解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式：．答題模板：一元二次不等式恒成立問題1、模板解決思路結(jié)合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合羅列關(guān)于參數(shù)的不等式．對(duì)于在定區(qū)間上恒成立的問題，可以分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，不要漏掉考慮函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系．2、模板解決步驟第一步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的問題．第二步：列出不等式（組），一定要注意二次項(xiàng)系數(shù)如果含參數(shù)時(shí)就需要進(jìn)行分類討論．第三步：解不等式求解參數(shù)的范圍．【典例1】已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【典例2】（1）若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：一元二次不等式 4知識(shí)點(diǎn)2：分式不等式 5知識(shí)點(diǎn)3：絕對(duì)值不等式 5解題方法總結(jié) 6題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法 7題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法 8題型三：三個(gè)二次之間的關(guān)系 11題型四：分式不等式以及高次不等式的解法 13題型五：絕對(duì)值不等式的解法 16題型六：二次函數(shù)根的分布問題 17題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題 20題型八：解含參型絕對(duì)值不等式 25題型九：解不等式組型求參數(shù)問題 27題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題 2904真題練習(xí)·命題洞見 3205課本典例·高考素材 3306易錯(cuò)分析·答題模板 35易錯(cuò)點(diǎn)：解含參數(shù)不等式時(shí)分類討論不恰當(dāng) 35答題模板：一元二次不等式恒成立問題 36

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式．（2）結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式．（3）了解簡單的分式、絕對(duì)值不等式的解法．2020年I卷第1題，5分從近幾年高考命題來看，三個(gè)“二次”的關(guān)系是必考內(nèi)容，單獨(dú)考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點(diǎn)的題目中．復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.2、會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的分布問題.3、能借助二次函數(shù)求解二次不等式，類比會(huì)求高次方程和絕對(duì)值不等式.

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個(gè)根，且（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上．（2）=1\*GB3①若，解集為．=2\*GB3②若，解集為．=3\*GB3③若，解集為．（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下．=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為【診斷自測】不等式的解集是，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，和是方程的根，所以，即，，則．故選：D．知識(shí)點(diǎn)2：分式不等式（1）（2）（3）（4）【診斷自測】不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式，等價(jià)于或，解得或，即不等式的解集為.故選：A知識(shí)點(diǎn)3：絕對(duì)值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式，可用圖象法和零點(diǎn)分段法求解.【診斷自測】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式的解集是．【答案】【解析】原不等式可變形為或，由，解得；由，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：.解題方法總結(jié)1、已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．2、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．3、已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．4、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；8、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集為．【答案】【解析】由不等式，可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.【典例1-2】不等式的解集是，則不等式的解集是（用集合表示）．【答案】【解析】不等式的解集為，∴，且1，2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得，，其中；∴不等式化為，即，解得，因此所求不等式的解集為.故答案為：．【方法技巧】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標(biāo)在軸上，結(jié)合圖象，寫出其解集.【變式1-1】不等式的解集是．【答案】【解析】由題意，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：.【變式1-2】一元二次不等式的解集為.【答案】【解析】由可得，即，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法【典例2-1】設(shè)函數(shù)(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式：．【解析】（1）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，等價(jià)于恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不滿足題意.當(dāng)，有，即，解得所以的取值范圍是．（2）依題意，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)，所以不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，不等式化為，①當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【典例2-2】已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為．(1)求和的值；(2)求不等式的解集．【解析】（1）由題意知和是方程的兩個(gè)根且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得；（2）由、，不等式可化為，即，則該不等式對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為和．當(dāng)時(shí)，，解得，即不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為空集，當(dāng)時(shí)，，解得，即不等式的解集為，綜上：當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為空集，當(dāng)時(shí)，解集為．【方法技巧】(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類討論．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合處理．(3)有兩個(gè)根時(shí)，還需要根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論，注意分類討論．【變式2-1】已知函數(shù)．(1)若關(guān)于x的不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【解析】（1）若不等式的解集為R，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍,；（2）不等式，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為，②當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，由，解得或，所以不等式的解集為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為．【變式2-2】解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式：．【解析】對(duì)方程，當(dāng)時(shí)，即時(shí),不等式的解集為當(dāng)時(shí)，即或時(shí),的根為，不等式的解集為；綜上可得，時(shí),不等式的解集為，或時(shí)，不等式的解集為.【變式2-3】設(shè)函數(shù)，其中．解不等式；【解析】因?yàn)?，不等式等價(jià)于，又，所以，即，其中，所以，所以原不等式等價(jià)于，即，所以當(dāng)時(shí)，不等式組的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式組的解集為.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；題型三：三個(gè)二次之間的關(guān)系【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，方程的兩根為2和3，則，則為，其解集為.故選：D.【典例3-2】已知的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】已知的解集為，則的兩根為和2，所以，即，代入不等式，化簡整理得，因?yàn)?，故，不等式的解集為?故選：C【方法技巧】1、一定要牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)．2、含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進(jìn)行代換．【變式3-1】若不等式的解集是，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧牵?，所以和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由，解得：，故不等式，即為，解不等式，得：，所求不等式的解集是：.故選：C．【變式3-2】（多選題）不等式的解集為，且.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，則是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，又,不妨令，，則，，但，故A不成立，符合題意；令，，則，但，故B不成立，符合題意；令，，則，，但，故C不成立，符合題意；，故D成立，不符合題意．故選：ABC.【變式3-3】（多選題）已知關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A．B．C．D．不等式的解集是或【答案】ABD【解析】由題意可知，1，3是方程的兩個(gè)根，且，，A：由以上可知，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，代入方程可得，故B正確；C：因?yàn)?，不等式的解集是，故將代入不等式左邊為，故C錯(cuò)誤；D：原不等式可變?yōu)?，且，約分可得，解集為或，故D正確；故選：ABD題型四：分式不等式以及高次不等式的解法【典例4-1】（2024·高三·上海楊浦·期中）關(guān)于x的不等式的解集是.【答案】或【解析】因?yàn)椋?，解得或，所以的解集為?故答案為：或.【典例4-2】已知關(guān)于x的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由，解得或，由條件知與同解，當(dāng)時(shí)，顯然不符合條件；所以，或，即，或，解得或，即.所以的取值范圍為.故答案為：.【方法技巧】分式不等式化為二次或高次不等式處理．【變式4-1】（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測）不等式的解集是．【答案】【解析】，即，即，則，根據(jù)穿根法解得，故答案為：.【變式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)的圖像可知：，即，不等式可化為，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：【變式4-3】不等式的解集是．【答案】【解析】原不等式可以化為，因?yàn)?，所?所以不等式的解集為.故答案為：題型五：絕對(duì)值不等式的解法【典例5-1】（2024·高三·上海長寧·期中）不等式的解集為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，或.綜上：解集為故答案為：【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集為．【答案】；【解析】或，即或，所以不等式的解集為或，故答案為：.【方法技巧】（1）（2）；；（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解【變式5-1】（2024·上海虹口·模擬預(yù)測）不等式的解集為.【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，解得，故解集為，當(dāng)時(shí)，，解集為，當(dāng)時(shí)，，解得，故解集為，綜上：不等式的解集為.故答案為：【變式5-2】不等式的解集是．【答案】或【解析】因?yàn)椋曰?，即或，由解得或，由可得，所以，故不等式的解集為?故答案為：或.題型六：二次函數(shù)根的分布問題【典例6-1】已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，且；可知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則方程有三個(gè)不等的實(shí)根，即為有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，則有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，所以不妨令，則，解得，故答案為：【典例6-2】若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】令函數(shù)，依題意，的兩個(gè)不等實(shí)根滿足，而函數(shù)圖象開口向上，因此，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：【方法技巧】解決一元二次方程的根的分布時(shí)，常需考慮：判別式，對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)，所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向．【變式6-1】已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由題意可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【變式6-2】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等號(hào)），，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，在處取得極大值.當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示：設(shè)，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)解，方程等價(jià)為，要使關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)為方程有兩個(gè)不同的根，且，，設(shè)，則，解得，故選：D．【變式6-3】已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，所以在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，依題意與在內(nèi)有交點(diǎn)，所以.故選：B題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題【典例7-1】已知關(guān)于的不等式.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)任意恒成立，并說明理由；(2)若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對(duì)有解，求的取值范圍.【解析】（1）原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，即，不恒成立；當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，則且，無解；綜上，不存在實(shí)數(shù)，使不等式恒成立.（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得即，所以的取值范圍是.（3）若不等式對(duì)有解，等價(jià)于時(shí)，有解.令，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)顯然在有解；當(dāng)時(shí)，時(shí)，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，顯然有解；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，，時(shí)，有解，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，易得：或，解得或（無解），又∵，;綜上所述，的取值范圍為.【典例7-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】.【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，則，令，則在單調(diào)遞增，所以，所以.故答案為：.【方法技巧】恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略（1）弄清楚自變量與參數(shù)．（2）一元二次不等式在R上恒（能）成立，可用判別式，一元二次不等式在給定的某個(gè)區(qū)間上恒（能）成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論處理．【變式7-1】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，滿足不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，令，則在上恒成立，函數(shù)的圖像拋物線對(duì)稱軸為，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有，解得；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有，解得.綜上可知，的取值范圍是.故選：D.【變式7-2】已知函數(shù)，，(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以的解集為.（2）若對(duì)任意，都有成立，即在恒成立，解法一：設(shè)，，對(duì)稱軸，由題意，只須，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，符合題意，所以；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞城，在單調(diào)遞增，所以，解得且，所以.綜上，.解法二：不等式可化為，即，設(shè)，，由題意，只須，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，則，所以，即.（3）若對(duì)任意，存在，使得不等式成立，即只需滿足，，，對(duì)稱軸，在遞減，在遞增，，，，對(duì)稱軸，①即時(shí)，在遞增，恒成立；②即時(shí)，在遞減，在遞增，，，所以，故；③即時(shí)，在遞減，，，所以，解得，綜上：.【變式7-3】若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【解析】如圖所示，若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則直線在時(shí)位于上方（可重合），且位于下方（可重合），又因?yàn)樵跁r(shí)為凹函數(shù)，所以當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)符合題意，由，得，此時(shí)直線為，則，即對(duì)恒成立，則，則，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：【變式7-4】已知函數(shù)，若對(duì)任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對(duì)是．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意，所以必須滿足，即，由，得，解得，①，再由，得，解得，②，由①②得，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，，則的最大值為，的最小值為，滿足任意，所以滿足條件的有序數(shù)對(duì)只有一對(duì)，故答案為：.題型八：解含參型絕對(duì)值不等式【典例8-1】已知關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【典例8-2】若存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由題意可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【方法技巧】含參型絕對(duì)值不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解.【變式8-1】若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】【解析】不等式的解集為，即不等式的解集為，所以恒成立；而表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為，故有，所以或，即或，故答案為：.【變式8-2】（2024·上海長寧·二模）若對(duì)任意，均有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)樵诮^對(duì)值三角不等式中，當(dāng)同號(hào)時(shí)有，又因?yàn)?，所以在恒成立，所以或在恒成立，即有或在恒成立，由，解得，由，解得，綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：題型九：解不等式組型求參數(shù)問題【典例9-1】設(shè)集合，集合為關(guān)于的不等式組的解集，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椴坏仁浇M的解集，，，所以不等式在上恒成立，且不等式的解集包含集合，又不等式可化為，所以不等式的解集為，所以，所以，且，所以.不等式在上恒成立，故，其中，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)，取最大值，最大值為，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.故選：C.【典例9-2】（2024·高三·山東菏澤·期中）已知不等式組的解集是關(guān)于的不等式的解集的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<0 C．a(chǎn)≤-1 D．a(chǎn)<-2【答案】A【解析】，解得：，因?yàn)槭遣坏仁降慕饧淖蛹室獫M足：，解得：，故選：A【方法技巧】求不等式(組)參數(shù)的問題，往往要利用不等式的性質(zhì)、不等式(組)的解集，建立對(duì)應(yīng)關(guān)系后求解.【變式9-1】（2024·高三·山西呂梁·開學(xué)考試）若不等式組的解集是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由得，即不等式的解集為；又不等式組的解集是空集，所以不等式的解集為集合或的子集，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，也符合題意；當(dāng)，即，設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)的圖象開口向上，且對(duì)稱軸方程為，且，為使不等式的解集為集合或的子集，所以必有，即；綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式9-2】若不等式組的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，不等式，解得，所以不等式的解集為，假設(shè)不等式組的解集為空集，則不等式的解集為集合或的子集，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為，則必有，解得，所以使得不等式組的解集不為空集時(shí)，則滿足，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題【典例10-1】已知關(guān)于的不等式組的解集中存在整數(shù)解且只有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為.【答案】【解析】由，得或，所以的解集與或的交集中存在整數(shù)解，且只有一個(gè)整數(shù)解.當(dāng)時(shí)，的解集為，此時(shí)，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，的解集為，此時(shí)不滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，的解集為，此時(shí)，即，滿足要求.綜上，的取值范圍為.故答案為：【典例10-2】關(guān)于x的不等式恰有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由恰有2個(gè)整數(shù)解，即恰有2個(gè)整數(shù)解，所以，解得或，①當(dāng)時(shí)，不等式解集為，因?yàn)椋?個(gè)整數(shù)解為1和2，則，即，解得；②當(dāng)時(shí)，不等式解集為，因?yàn)椋?個(gè)整數(shù)解為，，則，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選：B.【方法技巧】不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題通常使用分類討論與數(shù)形結(jié)合處理.【變式10-1】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】，解得或，變形為，當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為空集，不合要求，舍去，當(dāng)，即時(shí)，解集為，要想不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則，解得，與求交集得；當(dāng)，即時(shí)，解決為，要想不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則，解得，與求交集得，綜上，的取值范圍是或.故選：B【變式10-2】若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解共有36個(gè)，則正數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由，得，因?yàn)闉檎龜?shù)，所或.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為32；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為36；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為40.越大，則越小，越大，從而不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)不會(huì)增加；越小，則越大，越小，從而不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)不會(huì)減少.要使得不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為36，則需滿足，解得.故答案為：．【變式10-3】設(shè)集合，集合若中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得集合或,由解得，，所以，因?yàn)?，所以，則，且小于0，由中恰有一個(gè)整數(shù)，所以，即，也即，解得，故選：B．1．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷））已知函數(shù)，若對(duì)于任意的都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口向上的拋物線，所以要使對(duì)于任意的都有成立，，