蘭州交通大學(xué)《高等數(shù)學(xué)A1》2018-2019期末試卷

一、填空題（共18分）1．(08)[3分]設(shè)f(x)=，則f(x)的間斷點(diǎn)為x=0，它是第二類間斷點(diǎn)3．(08)[3分]設(shè)f(u)可微，且y=f2(sin3x)，則dy=6f(sin3x)f，(sin3x)cos3xdx2-25、(08)[3分]已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xlnx，則f，(xx)二、計(jì)算下列各題（4根5=20）-nnn2、(08)[5分]求極限3、(08)[5分]已知f(x)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f，(0)=1，求極限f1x0x0x三、(08)解答下列各題[每小題5分，共20分]arctanx1．(08)已知兩曲線y=f(x)與y=∫e-t2dt在點(diǎn)(0,0)處的切線相同，求此切線方程00從而在點(diǎn)(0,0)處的切線為y=x2)因此對于x=t3+9t,xe(-10,54)，由于在端點(diǎn)連續(xù)，可取x的取值范圍為[-10,54]（1）確定a，使f(x)在(-m,+m)內(nèi)連續(xù)；4、(08)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程=(x>0,y解：對方程兩邊求導(dǎo)書=,牽ylny=xlnx四、解答下列各題[每小題5分，共20分]1、(08)計(jì)算sec3xdx解：2、(08)計(jì)算x(1-x40xππ03、(08)計(jì)算dx2+bb+424、(08)設(shè)f(x)=dt,(x>0)，求f(x)+f解：對f從而f=duu因此f(x)+f=dt+dt=dt=ln2t=ln2xx從而f(x)+f=g(x)=ln2x五、(08)[本小題10分]設(shè)直線y=ax(0<a<1)與曲線y=x2所圍成的圖形面積為S1直線所圍成的面積為S2（1）試確定常數(shù)a的值，使達(dá)到最小，并求出最小值；（2）求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積0a2- 時(shí)達(dá)到最小，最小值為f2-(x22dx+πx22-2dx=π2六、證明下列各題[每小題6分，共12分](08)1、當(dāng)0<x<y<時(shí)，證明：(y-x)cos2y<(tany-tanx)cos2ycos2x<(y-x)cos證：在區(qū)間[x,y]上函數(shù)f(t)=tant滿足lagerange定理的條件，從而存在ξE(x,y)使得tany-tanx=(y-x)sec2ξ=E從而(y-x)cos2y<(tany-tanx)cos2ycos2x<(y-x)cos2x時(shí)，由積分種植定理與單調(diào)性有=tany-tanx<co2y(y-2、(08)設(shè)f(x)在[-a,a]上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)(a>0)，且f(0)=0，證明：在[-a,a]上至少存在一點(diǎn)η使得a3f(η)=3x)dx-a證：令F(x)=t)dt，則由已知，F(xiàn)(x)在[-a,a]上三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在x0=0處作二階泰勒0223a從而3-f(x)dx=3F(a)-F(-a)=a3=a3f(η)（由介值定理）a另證：由已知在x0=0處作一階泰勒展開，有f(x)=f(0)+f，(0)x+x2由估值公式a由估值公式aaa由最值定理有m<f,,(x)<M，由對稱區(qū)間積分性質(zhì)3x)dx=f,,(ξ)x2dx-a-a2ma33x2dx<f,,(ξ)x2dx<M∫x2dx=-a-a