概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版）課件 第3章 第4講 二維隨機變量函數(shù)的分布（新編補充兩類型）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第4講二維隨機變量函數(shù)的分布第3章多維隨機變量及其分布2二維隨機變量函數(shù)的分布已知隨機變量(X,Y)的概率分布,求Z=g(X,Y)的概率分布將Z的事件轉(zhuǎn)化為(X,Y)的事件第4講

二維隨機變量函數(shù)的分布上一章我們已討論了一維隨機變量函數(shù)的分布,現(xiàn)在進(jìn)一步討論二維隨機變量函數(shù)的分布問題,然后將其推廣到多維隨機變量的情形.??問題??方法01二維離散型隨機變量函數(shù)的分布02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布本講內(nèi)容當(dāng)(X,Y)為離散型隨機變量時,二維離散型隨機變量函數(shù)的分布Z也為離散型隨機變量01二維離散型隨機變量函數(shù)的分布4設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率分布為XY-112-10求的概率分布??例101二維離散型隨機變量函數(shù)的分布5根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得：P(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)

-2

-1

0

1

1

2

故得P-2-1012解01二維離散型隨機變量函數(shù)的分布6故得P-2-101P(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)

1

0

-1

0

-2

001二維離散型隨機變量函數(shù)的分布78Y

X-213-111/253/2512/252/254/253/25??例2求：（1）Z=X+Y的分布律；（2）Z=X2+Y的分布律（1）Z可能的取值為-3，-1，0，2，4.解01二維離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布律為9Z-3-1024P1/252/253/2516/253/2501二維離散型隨機變量函數(shù)的分布

10

Z-124P3/257/2515/2501二維離散型隨機變量函數(shù)的分布11??例3解01二維離散型隨機變量函數(shù)的分布

因此

12求Z=X+Y的分布律．解

01二維離散型隨機變量函數(shù)的分布??例4

故

設(shè)

X~P(

1),Y~P(

2),且獨立,X~P(

1),Y~P(

2),Z=X+Y

的可能取值為0,1,2,…則X+Y~P(

1+

2)

二項式定理則X+Y~P(

1+

2)則1301二維離散型隨機變量函數(shù)的分布??例5若隨機變量相互獨立若隨機變量X與Y相互獨立第4章用到常用離散型隨機變量的可加性01二維離散型隨機變量函數(shù)的分布14剛剛我們討論了二維離散型隨機變量函數(shù)的分布問題,下面將其推廣到多維離散型隨機變量的情形.01二維離散型隨機變量函數(shù)的分布15－1010.13440.73120.1344??例601二維離散型隨機變量函數(shù)的分布16且同分布.

設(shè)隨機變量相互獨立，設(shè)隨機變量X與Y獨立同分布,且X的概率分布為求的概率分布X12P2/31/301二維離散型隨機變量函數(shù)的分布17??例7解型18UV1214/94/9201/901二維離散型隨機變量函數(shù)的分布01二維離散型隨機變量函數(shù)的分布02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布本講內(nèi)容20回憶：一維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布一般方法從分布函數(shù)出發(fā)二維類似??問題設(shè)X是連續(xù)性隨機變量，第4講

二維連續(xù)型變量函數(shù)的分布1

21(2)再求Z的密度函數(shù):已知隨機變量(X,Y)的密度函數(shù),

(1)先求Z的分布函數(shù)：二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布??問題??方法求Z=g(X,Y)的密度函數(shù).02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布?z?zx+y=z和的分布：Z=X+Y

型設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),則或2202二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布特別地,或或稱之為函數(shù)

fX

(z)與fY

(z)的卷積

若X,Y相互獨立,則2302二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布（卷積公式法）設(shè)X與

Y相互獨立，都服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，其他??例8解1由題意,可知2402二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布其他求Z=X+Y的密度函數(shù).

2502二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布其他若或若若的密度函數(shù)為x+y=z1yx1解2分布函數(shù)法當(dāng)z<0時,2602二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布yx11x+y=z?z?z當(dāng)0

z<1時,2702二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布x+y=zz-11yx1?z?z當(dāng)1

z<2時,2802二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布1yx1x+y=z22當(dāng)2

z時,2902二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布或??例9解根據(jù)公式其中

3002二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為其他求Z=X+Y的概率密度fz(z)31因此，Z的概率密度為02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布其他正態(tài)分布的可加性

3202二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布如果隨機變量X與Y相互獨立,一般地,為實常數(shù),如果隨機變量相互獨立,且獨立3302二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)相互獨立的隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布和則??例1034解

設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量，其概率密度函數(shù)??例11下面求Z=2X+Y的分布函數(shù)02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布求Z=2X+Y的概率密度.由X,Y是相互獨立的隨機變量，則(X,Y)的概率密度為分別為3502二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布當(dāng)

時，當(dāng)

時，當(dāng)

時，因此??例12解根據(jù)公式得3602二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求Z=(X+Y)/2的概率密度fz(z).

從而3702二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

從而得Z=(X+Y)/2的概率密度為例11和12屬于Z=aX+bY型，也可用下列公式計算特別地,若X,Y相互獨立,則3802二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布39*積的分布和商的分布02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

問：獨立？（公式法）40設(shè)X與Y相互獨立，都服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，求??=????的密度函數(shù)．??例13解102二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布其它其它4102二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布其它（分布函數(shù)法）當(dāng)z<0時,1yx1當(dāng)0

z<1時,當(dāng)1

z時,z42解202二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布其它43??例14

解

02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布求??=??/??的概率密度.即時，設(shè)隨機變量??與??獨立同分布，其概率密度為因其它其它44

所以，02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布由公式其它45??問題設(shè)連續(xù)型隨機變量X

、Y

相互獨立,X、Y的分布函數(shù)分別為FX(x)、FY(y).求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布46??結(jié)論對于連續(xù)型隨機變量,求出最大值、最小值的分布函數(shù)后,再對分布函數(shù)求導(dǎo),就可以求出其概率密度函數(shù).02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布47??推廣設(shè)n個隨機變量相互獨立,其分布函數(shù)為則和的分布函數(shù)分別為和特別地,當(dāng)隨機變量獨立同分布時,分布函數(shù)均為F(x),則M和N的分布函數(shù)為02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布48??例15設(shè)系統(tǒng)??是由3個相互獨立的同種元件連接而成,

其概率密度為分別求??在串聯(lián)和并聯(lián)方式下系統(tǒng)壽命的概率密度．

02二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布其它其它

(1)串聯(lián)的情況因為有一個損壞時,