高中數(shù)學經典的解題技巧和方法（導數(shù)及其應用）

高高中數(shù)學經典的解題技巧和方方法（導數(shù)及其應

用用）

導數(shù)及其應用用是高高中數(shù)學考試的必考內容，而而且是這幾幾年年考試的熱點跟增長點，無無

論是期中、期末還

是會考、高高考，都是高高中數(shù)學的編輯部特意針對這兩個部分

的內容和題型總結歸納了了具體的解題技巧和方方法，希望能夠幫助到高高中的同學們，讓同學們有

更更多、更更好、

更更快的方方法解決數(shù)學問題。好了了，下面面就請同學們跟我們一一起來探討下集合跟常用用邏輯

用用語的經典解題技

巧。

首首先，解答導數(shù)及其應用用這兩個方方面面的問題時，先要搞清楚以下幾幾個方方面面的基本概

念性問題，同學們

應該先把基本概念和定理理完全的吃透了了、弄弄懂了了才能更更好的解決問題：

1.導數(shù)概念及其幾幾何意義

（1）了了解導數(shù)概念的實際背景。

（2）理理解導數(shù)的幾幾何意義。

2.導數(shù)的運算

y=C(C^>^^),y=x,y=xi,y=^,y=-,y=4x

(1)能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)x的導數(shù)。

（2）能利利用用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)。

（3）能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如了（?+力的復合函數(shù)）的導數(shù)。

3.導數(shù)在研究函數(shù)中的應用用

（1）了了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系，能利利用用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間

（其中多項

式函數(shù)一一般不不超過三次）。

（2）了了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用用導數(shù)求函數(shù)的極大大值、極小小

值（其中多項

式函數(shù)一一般不不超過三次）；會求閉區(qū)間了了函數(shù)的最大大值、最小小值（其中多項式函數(shù)一一般

不不超過三次）。

4.生生活中的優(yōu)化問題

會利利用用導數(shù)解決某些實際問題

5.定積分與微積分基本定理理

（1）了了解定積分的實際背景，了了解定積分的基本思想，了r解定積分的概念。

（2）了了解微積分基本定理理的含義。

好了了，搞清楚了了導數(shù)及其應用用的基本內容之后，下面面我們就看下針對這兩個內容的具體的

解題技巧。

一一、利利用用導數(shù)研究曲線的切線

考情聚焦：1.利利用用導數(shù)研究曲線丁=/（"）的切線是導數(shù)的重要應用用，為近幾幾年年各省市

高高考命題的熱

點。

2.常與函數(shù)的圖象、性質及解析幾幾何知識交匯命題，多以選擇、填空題或以解答題中關鍵一一步

的形式

出現(xiàn)，屬容易易題。

解題技巧：1.導數(shù)的幾幾何意義

函數(shù)y=/a）在/處的導數(shù)/,a）的幾幾何意義是：曲線y=/W在點？（/，/&＞））處的切線的斜

率

（瞬時速度就是位移函數(shù)s（f）對時間，的導數(shù)）。

2.求曲線切線方方程的步驟：

（1）求出函數(shù)y=/a）在點的導數(shù)，即曲線y=/a）在點「（/，/&＞））處切線的斜率；

（2）在已知切點坐標「（石＞，/（/））和切線斜率的條件下，求得切線方方程為丁一為=r（xoX”―天）。

注：①當曲線歹=/（力在點尸（々，/（/））處的切線平行行行于y軸（此時導數(shù)不不存在）時，由切

線定義可

知，切線方方程為x=/；

②當切點坐標未知時，應首首先設出切點坐標，再求解。

X

例例1：?海海南高高考.理理科T3）曲線,-X+2在點（一1，一1）處的切線）

（2010方方程為（

（A）（B）y=2x-l（C）y=-2x-3（D）y=-2x-2

t?—9V-1

【命題立立意】本題主要考查導數(shù)的幾幾何意義，以及熟練運用用導數(shù)的運算法則進行行行求解.

【思路路點撥】先求出導函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方方程.

【規(guī)范解答】選人.因＞/=—J八左=y|_J=2

為Q+2）,所以，在點（一1，一1）處的切線斜率（T+2）,

以，切線方方程為y+l=2（x+l）,即y=2x-l,故選A.

二二、利利用用導數(shù)研究導數(shù)的單調性

考情聚焦：1.導數(shù)是研究函數(shù)單調性有力力力的工工具，近幾幾年年各省市高高考中的單調性問題,

幾幾乎均用用它解

決。

2.常與函數(shù)的其他性質、方方程、不不等式等交匯命題，且函數(shù)一一般為含參數(shù)的高高次、分式或

指、對數(shù)式

結構，多以解答題形式考查，屬中高高檔題目目。

解題技巧：利利用用導數(shù)研究函數(shù)單調性的一一般步驟。

（1）確定函數(shù)的定義域；

(2)求導數(shù)/'(X)；

2

（3）①若求單調區(qū)間（或證明單調性），只需在函數(shù)/（勸的定義域內解（或證明）不不等式/'（X）

＞0

或ra）vo。

②若己知了（勸的單調性，則轉化為不不等式/'（x）K）或/'（x）W0在單調區(qū)間上恒成立立問

題求解。

/（x）=lnx-ax+-——-l（ael?）

例例2：（2010?山山東高高考文文科?T21）已知函數(shù)X

（1）當。=一1時，求曲線y=/a）在點（2，/（2））處的切線方方程；

（2）當“"5時，討論f（x）的單調性.

【命題立立意】本題主要考查導數(shù)的概念、導數(shù)的幾幾何意義和利利用用導數(shù)研究函數(shù)性質的能力

力力.考查分類討

論思想、數(shù)形結合思想和等價變換思想.

【思路路點撥】（1）根據(jù)導數(shù)的幾幾何意義求出曲線y=/（X）在點（2,/（2））處的切線的斜率；（2）

直接利利

用用函數(shù)與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調性，同時應注意分類標準的選擇.

X+2

1fH.lnx+x+--l,xe（0,400）,f'（x）=-^-

【規(guī)范解答】⑴當"T時，/（力=x所以''x2

因此，/'（2）=1,即曲線y=/（x灌點（2,f（2）處的切線斜率為1

又又"2）=1112+2,所以曲線y=/（x）在點（2,7\2））處的切線方程為y—（ln2+2）=x-2,

BPx-j+ln2=0.

ax2-x+l—。

/(x)=lnx-ar+-——-1xe(0,+QO)，令

(2)因為x，所以xx2

2

g(x)=ax-x+l-a,xe(0,-K?)5

(1)當"0時，g(x)=T+l,x?0,楨)，所以

當x?0,l）時g（x）＞0此時rG）?0函數(shù)/（x）單調遞減；

當x?l,+8）時，g（x）＜0,此時r（x）40,函數(shù)/（x）單調遞增.

1

（2）當"0時，由即ax2-x+l-a=Ox

l,x2

，解得

a<—x=x,g（x）＞°恒成立立，此時/'G）V°,函數(shù)/（X）在（0,+oo）上單調

①當2時，

，至、,日工

3

0<a<——-1>1>O

②當2時，a,

%G(°。時，gO此時，°,函數(shù)/(X)單調遞減

44)時

g(x)<。,此時/?)>。，函數(shù)/(x)單調遞增

XG(--1,+00

時,g(x)>°,此時ra)>°,函數(shù)/a)單調遞減

—1<0

③當。<0時，由于a,

x?0，l)時，g(x)>°,此時/'(x)>°,函數(shù)/(x)單調遞減：

X?L+8)時，g(x)<0,此時/，W>°,函數(shù)/(X)單調遞增.

綜上所述：

當a<0時，函數(shù)/CO在(°」)上單調遞減;函數(shù)/GO在。，舟)上單調遞增

當"一5時，函數(shù)/(%)在(°，+°°)上單調遞減

當n時1，函數(shù)/G)在(°，。上單調遞減；函數(shù)在'“1上單調遞增；

-/、

函數(shù)/(X)在(21'田)上單調遞減.

【方方法技巧】

1、分類討論的原因

(1)某些概念、性質、法則、公式分類定義或分類給出；

(2)數(shù)的運算：如除法運算中除式不不為零，在實數(shù)集內偶次方方根的被開方方數(shù)為非非負數(shù)，對數(shù)

中真數(shù)與底數(shù)的

要求，不不等式兩邊同乘以一一個正數(shù)還是負數(shù)等；

(3)含參數(shù)的函數(shù)、方方程、不不等式等問題，由參數(shù)值的不不同而而導致結果發(fā)生生改變；

(4)在研究幾幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不不確定或形狀不不確定)，引起問題的結果有多

種可能.

2、分類討論的原則

(1)要有明確的分類標準；

(2)對討論對象分類時要不不重復、不不遺漏漏;

4

（3）當討論的對象不不止止一一種時，應分層次進行行行.

3、分類討論的一一般步驟

（1）明確討論對象，確定對象的范圍；

（2）確定統(tǒng)一一的分類標準，進行行行合理理分類，做到不不重不不漏漏；

（3）逐段逐類討論，獲得階段性結果；

（4）歸納總結，得出結論.

三、利利用用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

考情聚焦：1.導數(shù)是研究函數(shù)極值與最值問題的重要工工具，幾幾乎是近幾幾年年各省市高高考中

極值與最值問

題求解的必用用方方法。

2.常與函數(shù)的其他性質、方方程、不不等式等交匯命題，且函數(shù)一一般為含參數(shù)的高高次、分式、

或指、對數(shù)

式結構，多以解答題形式出現(xiàn)，屬中高高檔題。

解題技巧：1.利利用用導數(shù)研究函數(shù)的極值的一一般步驟：

（1）確定定義域。（2）求導數(shù)/'（X）。（3）①或求極值，則先求方方程/'（刈=0的根，再檢驗

小）在

方方程根左右值的符號，求出極值。（當根中有參數(shù)時要注意分類討論）

②若已知極值大大小小或存在情況，則轉化為已知方方程/'（x）=0的根的大大小小或存在情況，從而

而求解。

2.求函數(shù)丁=/（力的極值與端點處的函數(shù)值f（a），,3）比比較，其中最大大的一一個是最大大值，

最小小的----

個是最小小值。

例例3：（2010?天津高高考理理科?T21）已知函數(shù),（X）=旄e的

（I）求函數(shù)/（X）的單調區(qū)間和極值；

（H）已知函數(shù)^=8（6的圖象與函數(shù)y=/（x）的圖象關于直線X>1對稱，證明當X>1時，

f（x）>g（x）

（in）如果演**2,且/&）=/（/）,證明天+吃>2

【命題立立意】本小小題主要考查導數(shù)的應用用，利利用用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值等基礎知

識，考查運算

能力力力及用用函數(shù)思想分析解決問題的能力力力。

【思路路點撥】利利用用導數(shù)及函數(shù)的性質解題。

【規(guī)范解答】

(I)解：「。)=(1一/:令E(x)=O,解得x=l,

當x變化時，F(xiàn)(x),f(x)的變化情況如下表

5

X“)1(…

「(X)+0-

極大大值［來源:

f(x)

學?？啤＞W網］

所以f(x)在(1，+8)內是增函數(shù)，在(1，心)內是減函數(shù)。

￡

函數(shù)f(x)在x=l處取得極大大值f(l)且f(l)=e

(n)證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e'-2

令F(x)=f(x)-g(x),即/“)=xex+(x-2)e*2

于是尸'a)=(x-l)(e*2-l)er

當X>1時，2x-2>0,從而而又e-x>0,所以F，(x)>0,從而而函數(shù)F(x)在口,+8)是增函數(shù)。

又又F(l)=e'，-e'1=。，所以x>l時，有F(X)>F⑴=0,即f(x)>g(x).

(HI)證明：(1)

若(再一1)(工2-1)=0油(I)及f(X)=f(X2),貝此=工2=1與工1矛盾。

(2)若(石一1)。2-1)>0,由(I)及f(X)=f(X2)，得石=*2與%矛盾。

根據(jù)(1)(2)得(不-1)(工2-1)<0，不妨設《1<也>1?

由(H)可知，2_々>2_々,貝|」2_々=寅2_5),所以從而而?%)>六2_修)因為

2-%2,

所以2一/<1,又又由(I)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-00,1)內是增函數(shù)，所以圖>2-即

演+X2>2o

四、利利用用導數(shù)研究函數(shù)的圖象

考情聚焦：1.該考向由于能很好地綜合考查函數(shù)的單調性、極值(最值)、零點及數(shù)形結合思想等

重

要考點，而而成為近幾幾年年高高考命題專家的新寵。

2.常與函數(shù)的其他性質、方方程、不不等式、解析幾幾何知識交匯命題，且函數(shù)一一般為含參數(shù)的高

高次、分式、

指、對數(shù)式結構，多以解答題中壓軸部分出現(xiàn)。屬于較難題。

例例4：(2010.福建高高考理理科.T20)(I)已知函數(shù)f(x)=X3-x,其圖像記為曲線C.

(i)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(ii)證明：若對于任意非非零實數(shù)XI,曲線C與其在點Pl(xi,f(x>)處的切線交于另一一點P?

(X2,f(X2).曲線

C與其在點P2處的切線交于另一一點P3(X3f(X3)),線段PP2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面面積

分別記為

6

曳

S1,S2,則$2為定值:

（口）對于一一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d（a。。），請給出類似于（I）（ii）的正確命題，并予以

證明。

【命題立立意】本小小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、定積分等基礎知識，考查抽象概括、推理理論證、運算求

解

能力力力，考查函數(shù)與方方程思想、數(shù)形結合思想、化歸轉化思想、特殊與一一般的思想。

【思路路點撥】第一一步（1）利利用用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間，（2）利利用用導數(shù)求解切線

的斜率，寫出切線方方

程，并利利用用定積分求解號,$2及其比比值；第二二步利利用用合情推理理的方方法對問題進行行行

推廣廣得到相關命題，并利利

用用平移的方方法進行行行證明。

【規(guī)范解答】（I）（。/'（乃=3*2-1=（缶+1）（石工-1）,

X>--1--oTJ7y<------1--

令ra）<o得到V3石，令ra）<o有

一忑《〈忑,因此原函數(shù)的單調遞增區(qū)間為"8'足

1；單調遞減區(qū)間為

寸（M）；

（ii）/'（x）=3/7,4（再戶；一玉），r（X［）=3x^-l,因此

過點々的切線方方程為：^=0葉_1*_玉）+*_蒼，即，=（3靖一1）一2石［由

y=0芯2_］A_2玉3

3

,丁=dr得x-x=（3叫2_1>_2石3,所以x=￡或％=_2石，故W=一2七進而而有

2x，3-|演2工2+2玉3工274

Si=|j（x-3x^x+2x^ytx=7~石

’,用用/代替芯，重復上面面的

計

空出x、o昱=j_

算，可得玉=-2通和邑一產,又又演=-2叫/0,,?昆4%0°,因此有516

（H）【命題】若對于任意函數(shù)8（力="3+及2+以+”的圖像為曲線。，其類似于（l）（ii）的命題為:

若對

__b_

任意不不等于一五的實數(shù)不，曲線與其在點耳（玉出（再））處的切線交于另一一點8（X2，g（X2））,曲線。

與其

在點月（工2函（工2））處的切線交于另外__點6a3，g（w））,線段與曲線C所圍成面面積為

。C

&=上

則S216。

7

【證明】對于曲線7=奴3+.2+=+",無無論如何平移，其面面積值是恒定的，所以這里里里僅

考慮

2

7=@3+反2+6的情形，y=3oc+2Z>x+cF［（xx,ax［+bx^+c^）/'（^）=3axf+Ib^+c

因此過點々的切線方方程為：

y=（3*+2bxi+c）x-2x^—bxf

4

丁=（3心；+孫+4工一24-房，聯(lián)立立［y=?3+加^+^,得到：

ax3+bx2-^axf+2bx^+bx^+2xf=0

化簡：得到

,b+2axl力+4aM+6必叫+㈤、

從而而Q-%）2（@+6+2@J=0所以2a—'a,同樣運用用⑴中方

方法便便

x3=-+4xl=-2x2

可以得到a'

所以516。

【方方法技巧】函數(shù)導數(shù)的內容在歷屆高高考中主要切線方方程、導數(shù)的計算，利利用用導數(shù)判斷函

數(shù)單調性、極值、

最值等問題，試題還與不不等式、三角角函數(shù)、數(shù)列列、立立幾幾、解幾幾等知識的聯(lián)系，類型有交

點個數(shù)、恒成立立問

題等，其中滲透并充分利利用用構造函數(shù)、分類討論、轉化與化歸、數(shù)形結合等重要的思想方方法，主

要考查導數(shù)

的工工具性作用用。

例例5.（2010?江西西高高考理理科,T12）如圖，一一個正五角角星薄片片（其對稱軸與水水面面

垂直）勻速地升出水水面面，記

t時刻五角角星露露出水水面面部分的圖形面面積為s?）（s（°）=°）,則導函數(shù)y=s"）的圖像大大致

為

【命題立立意】本題將各知識點有機結合，屬創(chuàng)新題型，主要考查對函數(shù)的圖像識別能力力力，靈活

分析問題和

8

解決問題的能力力力，考查分段函數(shù)，考查分段函數(shù)的導數(shù)，考查分類討論的數(shù)學思想，考查函數(shù)的

應用用，考

查平面面圖形面面積的計算，考查數(shù)形結合的思維能力力力.

【思路路點撥】本題結合題意及圖像的變化情況可用用排除法；也可先求面面積的函數(shù)，再求其導數(shù),

最后結合

圖像進行行行判斷.

【規(guī)范解答】選A.方方法一一：在五角角星勻速上升過程中露露出的圖形部分的面面積共有四段

不不同變化情況，第

一一段和第三段的變化趨勢相同，只有選項A、C符合要求，從而而先排除B、D,在第二二段變化

中，面面積的增

長速度顯然較慢，體現(xiàn)在導函數(shù)圖像中其圖像應下降，排除選項C,故選A.

方方法二二：設正五角角星的一一個頂點到內部較小小正五邊形的最近邊的距離為1,且設

tanl8°=m,則依據(jù)

04f<1

2m,

2mt1<f,+1

2

(Jl+力2++4)Vl+m

2m.,-

S'(f)=~~f<2故選A.