高中數(shù)學(xué)人教課標(biāo)A版必修5-4-1 數(shù)列通項公式的求法（解析版） 公開課教案課件教學(xué)設(shè)計資料

專題數(shù)列通項公式的求法

。常考題型目錄

題型1由S”與的關(guān)系求數(shù)列的通項公式........................................................1

?類型1直接型...........................................................................1

?類型2等比型...........................................................................3

題型2累加法..................................................................................4

?類型1等差型...........................................................................4

?類型2等比型...........................................................................5

?類型3分式型...........................................................................6

題型3累乘法..................................................................................8

?類型1分式型...........................................................................8

?類型2指數(shù)型...........................................................................9

題型4待定系數(shù)法............................................................................10

題型5因式分解型............................................................................12

題型6需要同除型............................................................................14

?類型1直接除..........................................................................14

?類型2含有指數(shù)型......................................................................16

?類型3轉(zhuǎn)化成S,、型......................................................................18

題型7取倒數(shù)型..............................................................................21

題型8含有和型..............................................................................22

題型9含有周期型............................................................................25

B題型分類

題型1由S“與怎的關(guān)系求數(shù)列的通項公式

Si,n-1,

【方法總結(jié)】若數(shù)列他”的前n項和為S“,通項公式為時,則a?=\

Sn-S,I-I,n>2.

?類型1直接型

【例題/-/】已知下列數(shù)列2/的前n項和S,,,求僅”的通項公式.S?=2n2-3n；

22

【解析】ai=Si=2-3=-/,當(dāng)n>2時,an=Sn-S?-/=(2n-3n)-[2(n-I)-3(n-1)]=4n-5,

由于a,也適合此等式，a,,=4n-5.

【變式1-11/.(2022?陜西?西安市都邑區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí))若火是數(shù)列｛㈤的前〃項的和，％=加,則

氏+口6+%='

【答案】33

【分析】根據(jù)汨砒勺關(guān)系即得.

【詳解】因為為,所以劣+4+為=4-〃=72-42=33.故答案為：33.

【變式/-7］2.(2022?上海市大同中學(xué)高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛㈤的前頌和為殳=2"-2Z7+3,則數(shù)列

｛㈤的通項公式%=.

［茲案］［3,￡7=1

(4/7-4,27>2

【分析】由%=2〃-2Z7+3先求得%,再根據(jù)生=%-見1卬22)求得殳的表達(dá)式，驗證首項，即可得

答案.

【詳解】&7=2加-2/7+3，故當(dāng)Z7=1時，Z7|=Z7|=3；

當(dāng)Z722時，見1=2(27-1)2—2(。-1)+2,二%=%一如1=4/7-4

=%=3不適合上式口產(chǎn)》巴么2,故答案為：KN2?

【變式/-/】3.(2022?重慶市廣益中學(xué)校高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛㈤的前頌和為殳=(419-1.

求｛%｝的通項公式.

【答案】。尸2a3(㈤N,)

【分析】根據(jù)％=］。版22作差即可得解；

【解析】數(shù)列｛㈤的前頌和為d=(419+1,

當(dāng)加2時，如=(弧2)2+1=凡405,所以如如=2昆3,即為=2G3⑷2),

當(dāng)廬［時,Z7|=Z7i=(1-1產(chǎn)-1=-1符合上式,所以為=2a3(znN);

【變式1-114.(2022?江西蘆溪中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知數(shù)列｛殳｝的前〃項和殳=筌-g(Z76N*)/〃

求數(shù)列｛為｝的通項公式；

Z7

【答案】Z7Z7=4(￡7GN-)；

【分析】利用%=["，即可得｛㈤的通項公式；

業(yè)口一如1，〃N/

4Al4"A

【解析】因為%=《--§（〃€N*）,當(dāng)77=1時，+=馬=彳-§=4,

當(dāng)Z7N2時，0=%一見1=（g一3-（￡_g）=^±=等=4'，

因為=4也滿足為=4“，綜上，%=4”（Z7GN*）；

【變式/-/】5.已知S“為數(shù)列｛4｝的前"項和，且log2（S,,+l）=〃+l，貝必“=.

3,〃=1

【答案】?；【解析】由嗔2（5“+1）=〃+1,得5“+1=22，當(dāng)〃=1時，%=岳=3;

2,n>2

3,n=1

當(dāng)“22時，q=S,,-S,i=2",所以數(shù)列口｝的通項公式為4=“

2,n>2

?類型2等比型

【例題/-2X2022?重慶市璧山來鳳中學(xué)校高三階段練習(xí)H知數(shù)列｛%｝的前頌和%滿足2瓦=3（口廠1）,Z7G

N+.求｛㈤的通項公式；

【答案】4=3，

【分析】利用退一相減法可知數(shù)列｛㈤為等比數(shù)列,進(jìn)而可得數(shù)列｛生｝的通項公式；

【解析】由已知2%=3（%-1）,Z7eN+,

當(dāng)Z7=1時，2%=3（。1—1）,解得用=功=3,

當(dāng)Z7N2時,2%1=3（見1-1）,則2%=3（%-1）-3（如1-1）,即%=3見],

所以數(shù)列｛%｝是以用=3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以殳=3x3外1=3"；

【變式7-2]/.已知數(shù)歹U/a”的前n項和為S,,且S尸2aH-,貝U田等于（）

A.-16B.16

C.31D,32

【解析】當(dāng)〃=/時，S/=2。/-/,Ua/=/.當(dāng)n>2時，Sn-1=2afl-/-I,Uan=Sn-Sn-/=2an-2an./,□?,；

44

2如-口是等比數(shù)歹?。萸襛i=1,q=2t^a5=aixq=2=16.

【變式1-2｝2.(2022?上海市南洋模范中學(xué)高二開學(xué)考試)若數(shù)列｛㈤的前頌和為％=|%+*776N*),則

數(shù)列｛%｝的通項公式是%=.

【答案】(-2尸

【分析】根據(jù)殳=,廣9，作差得到｛㈤是首項為1,公比為-2的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通

1%—U0^,U>N

項公式；

【詳解】解：因為%=:%+]

當(dāng)Z7=1時，4=+=飄+J所以％=1,當(dāng)。22時，%=：唯1+]

兩式相減,DD-㈤1=|%+卜(|如1+J整理得%=-2見1,所以｛㈤是首項為1，公比為-2的等比數(shù)

列，故%=(-2產(chǎn)1.故答案為：(-2尸

【變式1-213(2022?江蘇常州高三階段練習(xí)后知各項均不為零的數(shù)列｛%｝的前〃項的和為生且滿足功=4,

口型=4殳+4(06N*),求數(shù)列｛㈤的通項公式；

【答案】%=4";

【分析】(/)利用給定的遞推公式，探求數(shù)列｛火｝相鄰兩項的關(guān)系，即可求解作答.

(1)Z7GN*,如1=4%+4,當(dāng)Z7Z2時田口=4口『、+4,兩式相減得：布1=4%,由殳=功+0=4%+4

得：%=16,即仍=4%,滿足上式，

因此VZ/eZ7,%+1=4%,于是得數(shù)列｛㈤是首項為4,公比為4的等比數(shù)列，為=%x=4,,所以數(shù)

列｛㈤的通項公式是④=4。

題型2累加法

【方法總結(jié)】累加法：若已知q且%-4-=/(〃)(〃22)的形式；

?類型1等差型

【例題2-1｝(2022?重慶市廣益中學(xué)校高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛㈤滿足%=0,Z以產(chǎn)生+Z7,則為=()

A.27B.28C.29D.30

【答案】B

【分析】利用累加法可求得為的值.

【詳解】由題意可得如「為=，，則為=++（心也）+（分㈤+口+（為4）

=0+1+2+口+7=^1^=28.故選:B.

【變式2-7]I.（2022?山東鄒城市兗礦第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在數(shù)列｛㈤中，4=1,以1-%=2Z7,則

數(shù)列%=.

【答案】〃—0+1

【分析】由題意，數(shù)列｛%｝中，可得生=++（功-4）+（%-①）+???+（殳-/-1）,再利用等差數(shù)列的

求和公式，即可求解.

【詳解】由題意，數(shù)列｛壇｝中，滿足功=1,如1一%=227,則

口口=口、+（心一,）+（ZTj—心）+…+（口口—Z^7-i）=1+2+4+…+2（/7-1）=1+2[1+2+3+…+

（Z7-1）]=1+2x笥乜=/一〃+1,故答案為：加一〃+1

【變式2-1】2.根據(jù)條件，確定數(shù)列/斯/的通項公式,m二2,aa,1+山（I+%；

/1H

【解析】ai=a+ln（l，a-a-i=ln（l+J=//7~（n>2）,Ua〃=?！?a“-〃+-斯-》+

ll+nnnnn-In-1

n-13n-13

+佃2-a。+tz；=Inn+In----+...+In5+加2+2=2+ln（--n--------...-y2）=2+b?n（n>2）.又田二2適合

n-1n-2/n-1n-2z

上式,故為=2+.

?類型2等比型

【例題2-2]（202八江蘇省灌南高級中學(xué)高二期中）數(shù)列｛㈤滿足功=2,分如產(chǎn)條,則廿.

【答案】

【分析】利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列的前頌公式，即得.

【詳解】因為。1=2,%■即1=*,所以e4,分殳=*，…,%■%=$（㈤2）,

所以％=2+?廣口+9(㈤2),所以%=2+4鐺《*(㈤2),

當(dāng)廬1時,27|=卜-'=2,也符合,故生=：-會故答案為：|-p.

【變式2-2】1.(2022?上海市大同中學(xué)高二階段練習(xí))若功=1,儂「殳=2°-27,RN*,則%=.

【答案】2"-1-等

【分析】用累加法即可求出外.

【詳解】?？谟?i㈤N，口當(dāng)ZU2時,Og-O[/L-\=2U1-(/7-1)0/^-/7|=2^-1,-2,D,1-(Z7-1)UX

上各式相加得：7^/71=(2+22+0+2^1)-[1+2+Q+(Z7-1)]

OZ4r(1+2+22+D+2￡L1)-[1+2+口+陽)]=苔-寫^=25-1-寫^

而功=1也適合上式，口Z^=2'-1-(ZHN*).故答案為：2，-1-力”.

【變式2-2]2.(2022?黑龍江雙鴨山一中高二期末)已知數(shù)列｛㈤滿足功=3,以1-殳=3x2”1,則

OD=?

【答案】3x2~

【分析】利用累加法求解即可

【詳解】因為%+1-%=3x2外1,所以為一%=3x2°,

為一為=3x，4—0=3x22,……,OD-見1=3x浮,

所以％-Z71=3x2°+3x21+3x22+■?-+3x2°~2=-(^2p=3x2^1-3,

因為%=3,所以%=3x2八1,故答案為：3x2八1

?類型3分式型

【例題2-3](2022?全國?高三專題練習(xí))數(shù)列｛㈤中，a=1,如1=%+六，則氏=.

【答案】1##1.8

【分析】結(jié)合累加法及裂項相消法可得0-+=1-]根據(jù)已知條件即可求出通項公式.

【詳解】因為%+1=%+東匕，所以%d-%=岸匕=3-焉

2=1

-/7%1

=1

4--

則當(dāng)。之2,。€￡7時，2,將。-1個式子相加可得

_11

1%一見1=百一》

%—。1=1-；+；—g+…+言—3=1一；，因為。1=1I則%=2—^（Z7>2）,

當(dāng)〃=1時，4=2—：=1符合題意，所以為=2-：,/721,Z7GZ7.

所以為=2故答案為：［.

□00

【變式2-311.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛㈤滿足鋁-？=布三（麻。），且功=1，求數(shù)列

LrrIUu\U'vI）

｛㈤的通項公式；

【答案】瓦=2口一\

【分析】由已知條件可得g-鋁=與-!（。22）,再由遞推及功=1可得％=20-1（Z7>2）,最后再檢

Uu-iU—\U

驗即可得到答案.

【詳解】因為繆-糊焉=>5，所以鋁合=言-（？2），

斜-翳=言-言，?卷-？=1-1所以累加可得衿〃I=1-S0.

又％=1,所以與=等，所以％=2。-1（Z7>2）.

經(jīng)檢驗,Z7i=1,也符合上式，所以為=2Z7-1.

【變式2-312.（2022河南高三開學(xué)考試（理））在數(shù)列｛㈤，｛殳｝中，功=2歷=2,為+%=24,殳+1=

殳+%+忌/｛%｝為正項等比數(shù)列.求Z7便勺通項公式；

【答案】為=2，

【分析】設(shè)｛㈤的公比為q,由已知得2（〃+/）=24,利用〃+a-12=0求出何得答案；

【解析】設(shè)｛生｝的公比為q,因為｛殳｝為正項等比數(shù)列，所以Z7>0,

由4=2,為+%=24,得2(〃+/)=24,

即岸+/-12=〃-4+/—8=(/7—2)(/7+2+d+2Z7+4)

=(Z7-2)(岸+3Z7+6)=(Z7-2)((。+1)2+y)=0,

解得〃=2,所以%=2、2%1=2匕

題型3累乘法

、、

【方法總結(jié)】累乘法：

若已知為且馬■=/(〃)(〃22)的形式；

an-\

?類型1分式型

【例題3-/】(2022?江蘇?常熟市王;金昌高級中學(xué)高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛殳｝滿足等=9，%=1，則數(shù)列?｝

Ug

的通項公式是()

A.叼嘉B.萬嬴C.*D,O^

【答案】A

【分析】利用累乘法計算可得.

[詳解]解?因為^ti=—所以色=生生1=吆□絲=3"=2絲=」所以

,^.x^lxnx^x^x^=—x—xQx2x?xlgp^=---又小=1所以Z7n=—?故選,力

g口&2為4歷外1D543'艮Z7i(Z7*-1)Z7'乂1t人廠女加。'OX匹'

【變式3-1]1.(202/?陜西?安康市教學(xué)研究室高一期末)已知數(shù)列｛0｝滿足小=2,(Z7+2)%=2(Z7+

1)殳”.求數(shù)列｛㈤的通項公式；

【答案】%=猾

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推式可得竽=；x鬻，利用累乘法求得數(shù)列通項公式；

UQ/LTTI

【解析】???數(shù)列｛㈤滿足z=2,(Z7+2)%=2(。+1)%1,...誓=；x鬻,

U[]/LTVI

，為=言?X言X…X卷X&=0xvXfi^x，，，xlx2=^(/7-2),當(dāng)"=/時成立

【變式3-82.(2023?上海?高三專題練習(xí))設(shè)數(shù)列｛㈤的前n項和為%,滿足為=1-Z7%(〃eN,).

求數(shù)列｛殳｝的通項公式；

【答案】3焉

【分析】根據(jù)通項與前n項和的關(guān)系可得仔=察(。22),再根據(jù)反0+1)%=(Z7-1)畋求解即可；

【解析】當(dāng)〃=1時，q=1一用，所以。1=；.當(dāng)Z7N2時，％=1-Z7%,以1=1一(〃-1)以1.兩式相

減得：殳=(Z7-1)%1-明，即普=^(Z7>2).故仄Z7+1)%=(￡7-1)叫巾=(Z7-2)(27-1)/^=,??=

□o-io+\2

1x2Z7l=im=^.

【變式3-7]3.(2022甘肅?寧縣第二中學(xué)高二階段練習(xí))已知數(shù)列/%/中，%=/，前〃項和S尸等%

(〃求〃2,。3；

⑵求/如的通項公式.

【答案】(1)3；6⑵a產(chǎn)竿.

【分析】(/)分別令廬1,0=2,求出馬,馬即可；

(2)利用什勿如(㈤2),得到鄉(xiāng)=繆,再利用累乘法求為B阿

【解析】(/)由$2=蓊，得(。/+〃2)=^2,又〃1=1,口。2=3〃1=3.

由Sj=京3,得3(。1+〃2+。3)=%31。3=|(+。2)=6.

(2)當(dāng)n>2時，％=處如=竿4〃~~Yan~1/%二察,即守二察.

OOU-1匕I

蟄…?第?小翳晟?.掙=等又上/滿足上式，3誓―

?類型2指數(shù)型

【例題3-2】已知數(shù)列/中,a1=1,斯=2"。"-GN*且〃迎,則斯=.

(n-l)(n+2)

【答案】即二22.

(n-l)(n+2)

【解析】由題意，a=2"，也=2"-/，…，絲=22,疊乘得?=2"-2"」?...*=22,

-1a?-74/

（n-l）（n+2）（n-l）（n+2）

所以a?=22（n>2）,a/=1也符合.所以a?=22.

【變式3-2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛㈤滿足：4=|,（2以2_1）=（2班1-2）N*）,

則｛為｝的通項公式為.

［答案］%=笆-1嬴-1）

【分析】先由條件得答=2?舄，再結(jié)合累乘法求得｛〃小的通項公式即可.

【詳解】由（2內(nèi)2一1）如1=（2/1一2）幅，管=急=2?/，

mu劭見1?2c2~-1〃2舊-102斤3-121-1Z7-13

則.辰……2Q?藥-O2?鏟J）。.），

即卷=（2<?）（2W1-1），又4=9所以％=（2"-1嬴f

故答案為：%=（2O-1）（2W1-1）'

題型4待定系數(shù)法

【方法總結(jié)】若已知為且為=pa?_］+b（n>2,p^0,b豐1）的形式:

/.形如an+i=pa?+q

2.原理.?構(gòu)造等比數(shù)列a+引

3.若數(shù)列相鄰兩項a?+i與滿足an+t=pa?+q則可考慮待定系數(shù)法設(shè)足a?-n=+x=p（a?+x）（其中x為待

定系如構(gòu)造新的輔助數(shù)列例“+M是首項為at+x公比為p的等比數(shù)列，求出期+x,再進(jìn)一步求通項a”.

【例題4］（2022?寧夏石嘴山市第三中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列｛㈤中，4=4,如產(chǎn)4%6,則碉

于（）

A.2201+2B.22GL2

C.22&1+20.2201-2

【答案】C

【分析】分析得到數(shù)列｛幻2｝是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列｛幻2｝的通項即得解.

【詳解】口如1=4勿6,口出「2=4(02),碧=4,所以數(shù)列｛勿2｝是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，

所以如2=2x4"Id圻22囚+2.故選：C

【變式4-1】/.已知數(shù)列U中,且Q〃+/+3atl+4=0,nUN*.

求證：他什〃是等比數(shù)列，并求數(shù)列伍”的通項公式；

【解析】由斯+/+3斯+4=0得斯+/+/=-3佃〃N*/2分，

其中ai=l,所以田+/=2切，可得如+H小分)

斯+/+/

所以-------=-3,"3,所以他+〃是以2為首項，-3為公比的等比數(shù)列.(6分)

a?+l

nn1

所以an+l=2(-3)-',^an=2(-3)-'-1,則數(shù)列/面的通項公式為a?=2(-3)"--1,nN*.(8分)

【變式4-1]2.(2022?全國?高一課時練習(xí))在數(shù)歹U｛㈤中M=1,=2%+2,則通項公式為=.

【答案】3x2?-2

【分析】由遞推關(guān)系式可證得數(shù)列｛4+2｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可求得為+2,由此可得句.

【詳解】由殳+1=2%+2得：％+1+2=2(4+2),又小+2=3,

???數(shù)列｛約+2｝是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

二％+2=3x2^1,則％=3x2%1-2.

故答案為：3x2小1-2.

【變式4-1]3.(2023?全國高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛㈤的前頌和為％,滿足為討=2%+1,且++202=

出■求數(shù)列｛殳｝的通項公式；

【答案】為=2,-1.

【分析】根據(jù)題意得數(shù)列｛殳+1)是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列通項公式求解即可.

【詳解】解：因為數(shù)列｛㈤的前頌和為外，滿足1=20+1,

所以，殳+1+1=2（殳+1）,因為4+24=2=22+1,解得%=1,

所以，數(shù)列｛%+1｝是以。1+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列；所以￡7.=2°-1.

題型5因式分解型

【例題5］若數(shù)列｛4｝滿足4=2,*i+a；=2a,+「a”，則數(shù)列&｝的前32項和為()

A.16B.32C.64D.128

【答案】C

2

【解析】根據(jù)題意,由d+i+a；=2an+l-an｛neN*)，得(*-an)=0,即an+l=an.

由4=2，得4=2，則數(shù)列｛4｝前32項和S32=2x32=64,故選C.

【變式5-/】/.(2022?湖南?高三階段練習(xí)股數(shù)列｛㈤的每一項均為正數(shù)，且凸=1，且有4(。+1)%1-Z7嫁+

2%/曲1=0,則為=.

【分套］_L

1口*’192

【分析】分析可得(。+V)口2加，令瓦=叫，可得出｛㈤是以首項為1，公比為;的等比數(shù)列，求出生的

值,即可得出生的值.

【詳解】因為4(/7+1)%1-Z7娠+2瓦口型=0,則［2(/7+V)0型-Z7%］(2%1+㈤=0,

對任意的N*,為>0,所以，(Z7+1)%+i=,令%=見，所以/+1=；殳，故｛㈤是以首項為1,

公比為;的等比數(shù)列.所以，6%=%=1X=)故為=焉.故答案為：A

【變式5-/】2.(2022?湖南?高三階段練習(xí))記各項均為正數(shù)的數(shù)列｛㈤的前〃項和是生，已知顯+%=2%,

n為正整數(shù)，求｛%｝的通項公式；

【答案】4=風(fēng)口€4)

【分析】項和轉(zhuǎn)化可得%=如1+1(Z7>2),利用等差數(shù)列的通項公式即得解；

【解析】當(dāng)口N2時，件-廣％=2%,相減得域一南+%_*=2%,

I歷+%=2%

即(殳一見1一1)(殳+見1)=0,各項均為正數(shù)，所以殳=見1+1(/7＞2),

故｛為｝是以首項為1,公差以1的等差數(shù)列，所以％=K口64)；

【變式5-1｝3.(2022?山東蘭陵四中高二階段練習(xí))已知正項數(shù)列｛㈤滿足4=24,端1—(Z7+4)品=

4%/曲1/〃求｛㈤的通項公式；

【答案】%=(Z7+3)-(Z7+2)?(Z7+1).Z7

【分析】由題意可得⑷見1-(。+4)%](如1+㈤=0,因為｛㈤為正項數(shù)列，所以等=等,所以由累乘

UgU

法可求出｛殳｝的通項公式；

【解析】由端1一(〃+4)顯=4%%+1可得：[。%+1-(Z7+4)%](如1+%)=0,因為｛㈤為正項數(shù)列，所

以磔1-(〃+4)殳=0,所以第=等，則臺=得，料=修，件=捐......

UgULr-I^0—2U~'乙/一3u-o

1=1,g=將這"1個式子相乘，則卷=9+3：詈著].：1)心=Q2?啜)3＞。,

又因為％=24,所以為=(Z7+3)-(Z7+2).(Z7+1)-Z7

【變式5-7]4.(2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué))數(shù)列｛㈤的前頌和記為％,己知生＞0,崖+2%=4%+3.

求｛為｝的通項公式；

【答案】(1)4=2口+、

【分析】(/)根據(jù)%=L9，作差得到%-⑸1=2,結(jié)合等差數(shù)列定義及通項公式，即可求

VUg-Uki，UN乙

解；

【解析】解：因為殳＞0,蕾+2%=4殳+3,

令。=1可得，帚+2功=4功+3,解得％=3或%=一1(舍去).

當(dāng)Z722時可得娘_1+2見1=4見1+3,兩式相減得區(qū)—限1+2(%-4_1)=4殳，即(為一%。(殳+

見1)=2(4+%-1),因為%＞0，可得%-見1=2，所以數(shù)列｛㈤是以3為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛㈤的通項公式為%=3+(Z7-1)x2=2Z7+1.

【變式5-1】5(2022?山西長治高三階段練習(xí)后知數(shù)列｛㈤的前頌和為滿足4%=(4-3)(%+5X0),

且生>0.求數(shù)列｛㈤的通項公式；

【答案】4=2/7+3

【分析】由題意，根據(jù)公式殳="nil-可得答案；

Z7>2

【解析】匚當(dāng)，=1時；4%=(小-3)(%+5)=+2。1-15,口。/—2。1-15=。，得用=-3或小=

5.%>0,%=5.當(dāng)Z7N2時,40口=(%—3)(%+5),4口小=(/_〔一3)(%一1+5),

4口口=若+2%一見J-即％2_2%_如［2_2%=o,!_(%+見〔)(必一見1_2)=0,L%>0,

DQ一口2、—2=0,口口—5+2(27—1)=2/7+3.

題型6需要同除型

?類型1直接除

【方法總結(jié)】相除法

/.形如，必+/=(〃+〃。"+“("+〃的遞推式,兩邊同除以n(n+l)

2.開鄉(xiāng)如an+i=pafl+qan+ian的遞推式，兩邊同除以斯+/斯

【例題6-1】(202/?福建省福州第一中學(xué)高三開學(xué)考試)已知數(shù)列｛㈤滿足。1=1，磔1-(〃+1)%=〃+〃,

設(shè)%=務(wù)求數(shù)列｛0｝的通項公式；

【答案】口產(chǎn)口

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得｛%｝是等差數(shù)列，進(jìn)而求出通項公式；

【解析】因為刃而一卬+1)殳=W+1),所以需-￡=1,即%-殳=1,

所以｛%｝為等差數(shù)列，其首項為％=功=1,公差Z7=1.所以%=1+(。-1)=〃

【變式6-1】/.在數(shù)列｛㈤中小=4,磔1-(Z7+1)32#+2a.求證：數(shù)列凈是等差數(shù)列；

【答案】見解析；.

【解析】磔1一(Z7+1)殳=勿+2曲兩邊同時除以如+1),得需一號=2,

數(shù)列｛3是首項為4,公差為2的等差數(shù)列.

【變式6-1]2.（2022福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列?｝滿足％=1,2如1=（1+》殳（㈤N*）.

求數(shù)列｛4｝的通項公式.

【答案】。尸見0；

【分析】由已知遞推關(guān)系可嘀=；口?，結(jié)合等比數(shù)列的定義寫出通項公式；

Ln'INU

【解析】依題意,2%1=（1+：）Z7從加N*）,即如1=+口^殳，故需=；吟,

所以數(shù)列朗是等比數(shù)列，首項為?=1，公比為;的等比數(shù)列，故，即行加（；/；

【變式6-1]3.（2022?四川省仁壽縣文宮中學(xué)高三階段練習(xí)）在數(shù)列｛㈤中，功=1,殳出1=瓦一

如1（7760*）.求數(shù)列｛%｝的通項公式；

【答案】為=X，ezr）

【分析】遞推公式判斷數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，求出公差d,再寫出通項公式；

【解析】因為如%=%-4+1（在心，所以《―（=1,又用=1，所以數(shù)列圉是以/為首項，/為公

差的等差數(shù)列，所以!=O,所以為=口/7€□*）；

【變式6-7]4.（2022?上海復(fù)旦附中高三階段練習(xí)）正項數(shù)列｛㈤滿足4=2,2（如/,暗）=3gl瓦,

貝應(yīng)023=-

【答案】22°23

【分析】先對2（%/,〃2）=3如也變形得到誓-3=?,設(shè)誓=Z7>0,求出27=2,得至!]｛4｝為等比

數(shù)列，求出答案.

【詳解】因為2（%-域）=3%Da,所以和*=|,即等一丹=》設(shè)第=0，則。

解得：27=2或-1因為｛為｝為正項數(shù)列，所以。>0,故Z7=2,所以｛劣｝為等比數(shù)列，首項為2,公比為2,

所以e023=2X22022=22°23故答案為：22°23

【變式6-1｝5.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的首項4=1,s“是數(shù)列｛%｝的前"項和.且滿足

%S“+|-q+0,+%(nUN*).

(〃求證：｛竽｝是等差數(shù)列；

an

⑵求數(shù)列｛”“｝的通項凡.

1qq?11

【解析】(/)因為?！?]-?！?5+4,-％=”4+],所以上1---+--------=彳，

2??+1????+la?2

即±1一幾土1=2,所以數(shù)列｛竽｝是以2為首項，<為公差的等差數(shù)列.

(2)由(/)可知"一Z+S-1〉：，即，S“+l=g+g)%.□當(dāng)佇2時，S,i+l=q+l)4i.□

匚-□得，=~^-an-^-^an_l.即("+1)。,,=("+2)4-,所以一^=~^；(n>2),

22〃+2〃+1

所以是常數(shù)列，且為！,所以為=《5+2).

[〃+2JJ3

?類型2含有指數(shù)型

【例題6-2｝(2022?全國?高三專題練習(xí))數(shù)列/5滿足如1=5%+3x5加，％=6,則數(shù)列他J的通項公

式為.

【答案】力=(3。一》-5°.

【分析】已知式兩邊同除以5公1,構(gòu)造一個等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得結(jié)論.

【詳解】殳+1=5生+3x5以1,所以符=§+3,即蔚一會=3,

』康是等差數(shù)列，而g=]所以/=I+3(Z7-1)=3Z7-1,所以為=(3/7-凱5J

故答案為：殳=(3/7-m-5J

【變式6-2】1.(2022?云南師大附中高三階段練習(xí))已知數(shù)列｛殳｝的首項％=6,且滿足以產(chǎn)4分2Gl.

求數(shù)列｛%｝的通項公式；

I答案】⑴口別+2口

【分析】(/)通過遞推公式，等號左右兩邊同時除以2Gl構(gòu)造新數(shù)列.

(/)%j=4%2G1,翁?=2口舞1,黑1-1=29-1),又￡-1=2,故修-")｝是以2為首項，2為公比的

等比數(shù)列.刎=202刃=2°,則殳=40+2,.

【變式6-2｝2.(2022?山東?蘭陵四中高二階段練習(xí))設(shè)數(shù)列｛%｝的前頌和殳=2%5'2川+8,則&oo=()

A.501x21005.501x2101C.496x299D.496x2100

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列外與殳的關(guān)系化簡計算可得%?2%i=5x2°，等式兩邊同時除以2。得翁-翳=5，結(jié)合等差數(shù)

列的定義可知｛,｝是以6為首項，5為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求出硼通項公式，即可求解.

【詳解】由題意知，口方2口盧x2?'+8,

當(dāng)廬1時，Z71=Z7)=2Z7l-5x2+8,解得凸=12,

當(dāng)㈤2時,如=2%-5x2，+8,

則殳=方％1=2勿5'2川+8-(24i-5x2，+8)=2如2%1-5x2°,

整理，得左2%=5x2",等式兩邊同時除以2°,得飄翁=5，又/=6,

所以數(shù)列｛$｝是以6為首項，5為公差的等差數(shù)列，有*=6+5(昆1)=501,則%=(5G1)x2°,

所以。100=501x210°故選：4

【變式6-2】3?(2022?全國?高三專題練習(xí))已知在數(shù)列｛㈤中M4，%+1=:%+(；)，則%=______.

OO\乙)

【答案】p-

【分析】由構(gòu)造法可得26如1-3=|(2%-3),所以數(shù)列｛2旬-3｝是以-汐首項，

|為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列｛生｝的通項公式.

【詳解】因為。1=g殳+(；)的，所以2川外1=：x2旬+1,

整理得2加1%+1-3=|(2旬-3),所以數(shù)列｛2旬-3｝是以2凸-3=七為首項，

|為公比的等比數(shù)列，所以2%-3=-茬廣?,解得%=＞多.

故答案為：?-宗

【變式6-214.（2022?湖北黃岡?高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛㈤各項均為正數(shù)且滿足&-（Z7-1）殳-2/+0=

0,數(shù)列｛㈤滿足功=3,且0+1=3口）+3/1.求｛%｝,｛㈤的通項公式；

【答案】％=2Z7-1,Da=D-3°；

【分析】由崖-1）%-2〃+Z7=0化簡可得到｛%｝的通項公式，將%+1=3瓦+3以1左右兩邊同除以

3*1可得｛$｝是等差數(shù)列，即可得到｛㈤的通項公式；

【解析】由歷一（。一1）4-2加+。=0可得［殳一（2。-1）］（%+。=0,%=2。-1,

???如1=3%+3以1,左右兩邊同除以3公1,得蔚=$+1,所以數(shù)列｛爭｝是公差為1的等差數(shù)列，

??1*=1,.?.$=1+。-1=Z7,.??殳=03。；

【變式6-215（2022江西蘆溪中學(xué)高三階段練習(xí)（文）股生為數(shù)列｛㈤的前頌和，已知功=；,羅=!+2",

貝!=_______

【答案】P

【分析】誓=5+2輛邊同除2內(nèi)1,令負(fù)0=4,則有/。+1）-1=—1）且仄1）—1=0,則有

仄0-1=0,即可得％=’.

【詳解】署成+2、懸電喘+［令久0=梟貝阿〃+1）-14m-1）,

匚又仄1）-1=-―1=0,=0,□為=5；

?類型3轉(zhuǎn)化成Sn型

【例題6-3］在數(shù)列｛%｝中，功=1,4=昌，則｛4｝的通項公式為.

［答案］口口=（2^7-2^3，n-2.

I1,n=1

【解析】當(dāng)，22時，%=%-見1,㈤1=蕓7,2S布/2〃MM+%_I=2S今

整理可得：生-㈤1=24見1,2-=2,盡/為公差為2的等差數(shù)列，93（n-l）.2=2n-l,

°n°n-1°n°n01

1（-2-n---1---------n>2

Sn~2.,^O-\-2n-3，一.

2ZI1,n=1

【變式6-3】1.（2022浙江省杭州第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列｛㈤的前頌和為

生，且滿足功=1,叫”(Z7+1)%+智N)證明數(shù)列｛㈤是等差數(shù)列，并求出｛㈤的通項公式;

【答案】證明見解析,瓦=口

【分析】方法一：由皿印=(Z7+1)%+氣2得(￡7+1)如2=(。+2)%1+絲磬一利用L-L化簡得

到%*1與%的關(guān)系即可.

方法二：由切的=(Z7+1)%+智得智=3+［即｛3是以1為首項，功公差的等差數(shù)列，求出站勺通

項公式再利用%+1