2025版新教材高中數(shù)學(xué)同步練習(xí)33直線與平面垂直的判定新人教A版必修第二冊(cè)

同步練習(xí)33直線與平面垂直的判定必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練一、選擇題(每小題5分，共45分)1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不行能()A．平行B．相交C．異面D．垂直2．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面中，與直線BB1垂直的面的個(gè)數(shù)有()A．1B．2C．3D．43．直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線垂直，則()A．l和α相互平行B．l和α相互垂直C．l在平面α內(nèi)D．不能確定4．已知直線l和平面α，則“l(fā)垂直于α內(nèi)隨意直線”是“l(fā)⊥α”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角為()A．20°B．70°C．90°D．110°6.如圖所示，AB是圓O的直徑，C是異于A，B兩點(diǎn)的圓周上的隨意一點(diǎn)，PA垂直于圓O所在的平面，則△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．47．已知直線m，n是異面直線，則過(guò)直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個(gè)B．至多一個(gè)C．有一個(gè)或多數(shù)個(gè)D．不存在8．(多選)下列條件中能推出l⊥α的有()A．直線l與平面α內(nèi)一個(gè)三角形的兩邊垂直B．直線l與平面α內(nèi)一個(gè)梯形的兩邊垂直C．直線l與平面α內(nèi)多數(shù)條直線垂直D．直線l與平面α內(nèi)隨意一條直線垂直9．(多選)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ垂直的是()二、填空題(每小題5分，共15分)10．已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當(dāng)滿意條件__________時(shí)，有m⊥β.(選填其中的兩個(gè)條件)11．設(shè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中點(diǎn)，則PA，PB，PC的關(guān)系是________．12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面BCC1B1所成角的正弦值是________．三、解答題(共20分)13.(10分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2eq\r(2)，求證：AD⊥平面PAB.14.(10分)在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，求直線PB與平面PAC所成的角.關(guān)鍵實(shí)力提升練15.(5分)如圖所示的正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE，SF，EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3重合為點(diǎn)G，則有()A．SG⊥平面EFGB．EG⊥平面SEFC．GF⊥平面SEFD．SG⊥平面SEF16.(5分)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿意條件________時(shí)，有A1C⊥B1D1.(只需填寫一種正確條件即可)17．(10分)如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面PAD；(2)若PD與平面ABCD所成的角為45°，求證：MN⊥平面PCD.同步練習(xí)33直線與平面垂直的判定必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1．答案：A解析：因?yàn)閘⊥平面α，直線m?α，由線面垂直的性質(zhì)可以知道l⊥m，故選A.2．答案：B解析：如圖所示，僅有平面ABCD和平面A1B1C1D1與直線BB1垂直．故選B.3．答案：D解析：如圖，直線l和平面α相互平行或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．故選D.4．答案：C解析：若l垂直于α內(nèi)隨意直線，明顯有l(wèi)⊥α，故充分性成立；若l⊥α，則l垂直于平面α內(nèi)隨意直線，故必要性成立，故“l(fā)垂直于α內(nèi)隨意直線”是“l(fā)⊥α”的充要條件．故選C.5．答案：B解析：∵l∥m，∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角，又直線l與平面α所成的角為70°，∴m與α所成的角為70°.故選B.6．答案：D解析：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.∴△ABC為直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面內(nèi)，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.∵PC?平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，從而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均為直角三角形．故選D.7．答案：B解析：若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個(gè)，否則不存在，∴若直線m，n是異面直線，則過(guò)直線n且與直線m垂直的平面至多一個(gè)．故選B.8．答案：AD解析：由線面垂直的判定定理知AD正確；對(duì)于B，當(dāng)梯形的兩邊平行時(shí)，不能推出l⊥α；對(duì)于C，當(dāng)多數(shù)條直線相互平行時(shí)，不能推出l⊥α.故選AD.9．答案：ABC解析：對(duì)于A，易證AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直線AB⊥平面MNQ；對(duì)于B，易證AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直線AB⊥平面MNQ；對(duì)于C，易證AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直線AB⊥平面MNQ；對(duì)于D，由圖可得MN與直線AB相交且不垂直，故直線AB與平面MNQ不垂直．故選ABC.10．答案：②④解析：∵由于當(dāng)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)時(shí)，此直線也垂直于另一個(gè)平面，結(jié)合所給的選項(xiàng)，故由②④可推出m⊥β.即②④是m⊥β的充分條件，∴滿意條件②④時(shí)，有m⊥β.11．答案：PA＝PB＝PC解析：因?yàn)镠為AC中點(diǎn)，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，又PH⊥平面ABC，由勾股定理知PA＝PB＝PC.12．答案：eq\f(\r(6),4)解析：若E為BC中點(diǎn)，連接AE，B1E，因?yàn)檎庵鵄BCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，故AE⊥BC，且B1B⊥平面ABC，AE?平面ABC，則B1B⊥AE，B1B∩BC＝B，B1B，BC?平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1，故∠AB1E為AB1與側(cè)面BCC1B1所成角平面角，所以sin∠AB1E＝eq\f(AE,AB1)＝eq\f(\f(\r(3),2)AB,\r(2)AB)＝eq\f(\r(6),4).13．證明：在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2eq\r(2)，可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB.14．解析：連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，即BO⊥平面PAC；連接OP，則∠BPO即是直線PB與平面PAC所成的角，又∵PA＝AB＝2，∴PB＝2eq\r(2)，BO＝eq\r(2)，∴sin∠BPO＝eq\f(BO,PB)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，∴∠BPO＝eq\f(π,6).關(guān)鍵實(shí)力提升練15．答案：A解析：由題意：SG⊥FG，SG⊥EG，F(xiàn)G∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG，所以SG⊥平面EFG正確，D不正確；又若EG⊥平面SEF，則EG⊥EF，由平面圖形可知明顯不成立；同理GF⊥平面SEF不正確．故選A.16．答案：AC⊥BD解析：依據(jù)直四棱柱ABCDA1B1C1D1可得：BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是矩形，所以BD∥B1D1，同理可證：AC∥A1C1，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，可得：A1C1⊥B1D1，且CC1⊥底面A1B1C1D1，而B(niǎo)1D1?底面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，而A1C1∩CC1＝C1，從而B(niǎo)1D1⊥平面A1CC1，因?yàn)锳1C?平面A1CC1，所以A1C⊥B1D1，所以當(dāng)AC⊥BD時(shí)滿意題意．17．證明：(1)取PD的中點(diǎn)E，連接NE，AE，如圖．又∵N是PC的中點(diǎn)，∴NE綉eq\f(1,2)DC.又∵DC綉AB，AM＝eq\f(1,2)AB，∴AM綉eq\f(1,2)CD，∴NE綉AM，∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE.∵AE?平面PAD，M