新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列1.4數(shù)學(xué)歸納法分層作業(yè)湘教版選擇性必修第一冊(cè)

*1.4數(shù)學(xué)歸納法A級(jí)必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步驗(yàn)證()A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=42.對(duì)于不等式n2+2n<n+2(n∈(1)當(dāng)n=1時(shí),12+2<1+(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即k2+2k<k+(k(k2+4k+3)+這表明,當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)和(2)可以斷定,不等式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.則上述證法()A.過程全部正確B.n=1的驗(yàn)證不正確C.n=k的假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的遞推不正確3.一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題,假如證得當(dāng)n=1時(shí)命題成立,并在假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N+)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上,證明白當(dāng)n=k+2時(shí)命題成立,那么綜合上述,對(duì)于()A.一切正整數(shù)命題成立B.一切正奇數(shù)命題成立C.一切正偶數(shù)命題成立D.以上都不對(duì)4.已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),則()A.f(k+1)-f(k)=2k+2B.f(k+1)-f(k)=3k+3C.f(k+1)-f(k)=4k+2D.f(k+1)-f(k)=4k+35.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n+1+1n+2+…+12n>1134(n∈A.增加12B.增加12C.增加12k+1D.以上結(jié)論都不正確6.用數(shù)學(xué)歸納法證明下列各式:(1)12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·n(n+1)2((2)12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+122+132+…+1(2n-1)2<A.1<2-1B.1+122<2C.1+122+1D.1+122+18.在數(shù)列{an}中,已知a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an-an-1=2n-1,依次計(jì)算a2,a3,a4后,猜想an的表達(dá)式是()A.an=3n-2 B.an=n2C.an=3n-1 D.an=4n-39.已知f(n)=1n+1n+1+1A.f(n)共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=1B.f(n)共有n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=1C.f(n)共有n2-n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=1D.f(n)共有n2-n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=110.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)隨意的自然數(shù)n都有(Sn-1)2=anSn,通過計(jì)算S1,S2,S3,猜想Sn=.

11.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:1+12+13+…+1n<2n(n12.數(shù)列{an}滿意Sn=2n-an(n∈N+).(1)計(jì)算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通項(xiàng)公式an;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練13.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ>0.(1)求a2,a3,a4,并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

*1.4數(shù)學(xué)歸納法1.C由題知,n的最小值為3,所以第一步驗(yàn)證n=3時(shí)不等式是否成立.2.Dn=1的驗(yàn)證及假設(shè)都正確,但從n=k到n=k+1的遞推中沒有運(yùn)用假設(shè),只是通過放縮法干脆證明不等式,不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的要求.故選D.3.B本題證明白當(dāng)n=1,3,5,7,…時(shí),命題成立,即對(duì)一切正奇數(shù)命題成立.4.B由f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),可知f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3(k+1).故選B.5.C當(dāng)n=k時(shí),不等式左邊為1k+1+1k+2+…+1k+k,當(dāng)n=k+1時(shí),不等式左邊為1k6.證明(1)①當(dāng)n=1時(shí),左邊=12=1,右邊=(-1)0×1×(左邊=右邊,等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·k(k+1)2,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·k(k+1)2+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)·[(k+1)-k2]=這表明,當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.依據(jù)①和②可以斷定,對(duì)于任何n∈N+,等式都成立.(2)①當(dāng)n=1時(shí),左邊=12-22=-3,右邊=-3,等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),那么,當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1].這表明,當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由①和②可以斷定,等式對(duì)任何n∈N+都成立.7.C當(dāng)n=2時(shí),不等式的兩邊分別是1+122+1328.B計(jì)算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an的表達(dá)式是an=n2,故選B.9.D結(jié)合f(n)中各項(xiàng)的特征可知,分子均為1,分母為n,n+1,…,n2的連續(xù)自然數(shù),共有n2-n+1個(gè),且f(2)=1210.nn+1由(S1-1)2=S1·S1,得S1=由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=23依次得S3=34,S4=45,猜想Sn=11.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2.左邊<右邊,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即1+12+13+…+1那么,當(dāng)n=k+1時(shí),1+12+13+…+1k+1這表明,當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)和(2)可以斷定,不等式對(duì)隨意n∈N+都成立.12.(1)解當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2-a1,解得a1=1;當(dāng)n=2時(shí),a1+a2=S2=2×2-a2,解得a2=32當(dāng)n=3時(shí),a1+a2+a3=S3=2×3-a3,解得a3=74當(dāng)n=4時(shí),a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,解得a4=158由此猜想an=2n-12n-1(2)證明①當(dāng)n=1時(shí),a1=1,猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),猜想成立,即ak=2k那么,當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,則2ak+1=2+ak,則ak+1=2+a這表明,當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.由①和②可以斷定,猜想an=2n-1213.(1)解由a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n,可得a2=λ2+22,a3=2λ3+23,a4=3λ4+24,猜想an=(n-1)λn+2n.(2)證明①當(dāng)n=1時(shí),a1=(1-1)λ+2=2,猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),猜想成立,即ak=(k-1)λk+2k,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1