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文檔簡介

導(dǎo)數(shù)

考試內(nèi)容:

導(dǎo)數(shù)的背影.導(dǎo)數(shù)的概念.多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)探討函

數(shù)的單調(diào)性和極值.函數(shù)的最大值和最小值.考試要求:(1)

理解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景.(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(3)

駕馭函數(shù),(c為常數(shù))、(n£)的導(dǎo)數(shù)公式,會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的

導(dǎo)數(shù).(4)理解極大值、微小值、最大值、最小值的概念,并

會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、微小值及閉區(qū)間上

的最大值和最小值.(5)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些簡潔實(shí)際問題的最

大值和最小值.

§14.導(dǎo)數(shù)學(xué)問要點(diǎn)

1.導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義:設(shè)X。是函數(shù)”/⑶定義域的一

點(diǎn),假如自變量X在X。處有增量?,那么函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增

量a=/由+詞-/(小);比值字=+⑻-"X。)稱為函數(shù)”“X)在點(diǎn)X。

AxAx

到X0+-之間的平均變更率;假如極限Hm?=lim9竽但存

Ax->0AXAr->0Ax

在,那么稱函數(shù)”/(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo),并把這個(gè)極限叫做y=/(x)在

X。處的導(dǎo)數(shù),記作/(%)或小『,即八/)=1沁?=1而-。+乎-小。).

AXTOAXA.V->OAX

注:①Ax是增量,我們也稱為“變更量〃,因?yàn)樾目烧?,可?fù),

但不為零.

②以知函數(shù)尸“X)定義域?yàn)?,尸/&)的定義域?yàn)?,那么4及8關(guān)

系為A&B.

2.函數(shù)夕=/(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)及點(diǎn)與處可導(dǎo)的關(guān)系:

⑴函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)是尸/⑶在點(diǎn)X。處可導(dǎo)的必要不充分

條件.

可以證明,假如y=/(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo),那么『"X)點(diǎn)飛處連續(xù).

事實(shí)上,令丫=%+Ax,那么2X。相當(dāng)于Axf。.

于是limf(x)=limf(x0+Ax)=lim[f[x+x0)-f(x0)+/(x0)]

XTXOAXTOAr->0

r/(x0+Ax)-/(x0)、]f(x0+M)-f(x0)...,.

=2叫----瓦-----?+小。)]=出。----&-----媽+媽/(x°)=/(x°).O+〃x())=/(x。).

⑵假如八/(X)點(diǎn)X。處連續(xù),那么尸了(X)在點(diǎn)X。處可導(dǎo),是不成立的.

例:〃x)=|x|在點(diǎn)x0=O處連續(xù),但在點(diǎn)x°=。處不行導(dǎo),因?yàn)榘?回,

AxAx

當(dāng)心>0時(shí),包=1;當(dāng)Ar<0時(shí),包=_1,故lim包不存在.

AxAxAt->0Ax

注:①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).②可導(dǎo)的偶函數(shù)函

數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:

函數(shù)y=〃x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=/(x)在點(diǎn)

(x°J(x))處的切線的斜率,也就是說,曲線尸〃x)在點(diǎn)尸(x°J(x))處

的切線的斜率是/'(Xo),切線方程為y-Vo=/(x)(x-Xo).

4.求導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么:

(M±v)'=H'±V'=>J=/](X)+/2(X)+...+/“(x)=爐=f;(x)+/2(x)+...+f'?(x)

(MV)=vu+vu=>(cv)=cv+cv=cvIc力吊致J

注:①必需是可導(dǎo)函數(shù).

②假設(shè)兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),那么它們和、差、積、商必可導(dǎo);假設(shè)兩

個(gè)函數(shù)均不行導(dǎo),那么它們的和、差、積、商不肯定不行導(dǎo).

例如:設(shè)/'(x)=2sinx+2,g(x)=cosx--,那么/(x),g(x)在x=0處均不仃

XX

導(dǎo),但它們和/(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0處均可導(dǎo).

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么:y;(*(x))=/(")/(x)或與=y'”

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么可推廣到多個(gè)中間變量的情形.

6.函數(shù)單調(diào)性:

⑴函數(shù)單調(diào)性的斷定方法:設(shè)函數(shù)八/a)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),假

如八x)>0,那么y=/(x)為增函數(shù);假如/'(x)V0,那么y=/(x)為減

函數(shù).

⑵常數(shù)的斷定方法;

假如函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/內(nèi)怛有/(X)=0?那么y=/(x)為常數(shù).

注:①小》。是注X)遞增的充分條件,但不是必要條件,如尸2/

在(-00,+00)上并不是都有〃;“0,有一個(gè)點(diǎn)例外即0時(shí)F(X)=0,

同樣/(X)Y0是f(X)遞減的充分非必要條件.

②一般地,假如f在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零,在其余各

點(diǎn)均為正[或負(fù)),那么在該區(qū)間上照舊是單調(diào)增加(或

單調(diào)削減)的.

7.極值的判別方法:(極值是在x。旁邊全部的點(diǎn),都有〃x)V

/(x0),那么〃X。)是函數(shù)〃工)的極大值,微小值同理)

當(dāng)函數(shù)“X)在點(diǎn)X。處連續(xù)時(shí),

①假如在X。旁邊的左側(cè)/(x)>0,右側(cè)八x)VO,那么/(x。)是極大

值;

②假如在X。旁邊的左側(cè)/,6)VO,右側(cè)/(x)>0,那么/(X。)是微小

值.

也就是說X。是極值點(diǎn)的充分條件是X。點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào),而不是

八x)二O①.止匕外,函數(shù)不行導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然,

極值是一個(gè)部分概念,極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的,即有可能

極大值比微小值?。ê瘮?shù)在某一點(diǎn)旁邊的點(diǎn)不同〕.

注①:假設(shè)點(diǎn)X。是可導(dǎo)函數(shù)"X)的極值點(diǎn),那么八x)=O.但反過

來不肯定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),其一點(diǎn)X。是極值點(diǎn)的必要條件是

假設(shè)函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo),那么導(dǎo)數(shù)值為零.

例如:函數(shù)y=/(x)=x3X=O使/、1(x)=0,但x=O不是極值點(diǎn).

②例如:函數(shù)y=/(x)=|x|,在點(diǎn)x=O處不行導(dǎo),但點(diǎn)x=O是函數(shù)的微

小值點(diǎn).

8.極值及最值的區(qū)分:極值是在部分對(duì)函數(shù)值進(jìn)展比較,最值

是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)展比較.注:函數(shù)的極值點(diǎn)肯定有意

義.

9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù):

I.C1=0(C為常數(shù))(sinx)=cosx

(arcsinx)=—==

(xn)'=nxn~]("WR)(cosx)=-sinx

?1

(arccosx)=——,

V1-x2

?(Inx)=—(log。x)=-loge

xrt

1i

(arctanx)=---

X2+1

(exy=ex(a*)=ax\na

(/arccotX、)‘=----i-

x2+l

.求導(dǎo)的常見方法:

①常用結(jié)論:②形如y=(x-a)(x-a)...(x-a?)或

(In|x|),=x-.l2

廣”一經(jīng)士*兩邊同取自然對(duì)數(shù),可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.

(x-b])(x-b2)...(x-bn)

③無理函數(shù)或形如八十這類函數(shù),如八一取自然對(duì)數(shù)之后可變形

為lny=xlnx,對(duì)兩邊求導(dǎo)可得

—=lnx+x--=>>>=yInx+y"=xxInx+x'.

yx

導(dǎo)數(shù)中的切線問題

例題1:切點(diǎn),求曲線的切線方程

曲線y=d-3x2+l在點(diǎn)(1,一1)處的切線方程為()

例題2:斜率,求曲線的切線方程

及直線2xr+4=0的平行的拋物線>=,的切線方程是()

留意:此題所給的曲線是拋物線,故也可利用△法加以解決,

即設(shè)切線方程為y=2x+6,代入y=/,得Y-2x-b=0,又因?yàn)锳=0,

得b=-l,應(yīng)選D.

例題3:過曲線上一點(diǎn),求切線方程

過曲線上一點(diǎn)的切線,該點(diǎn)未必是切點(diǎn),故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn),再

求切點(diǎn),即用待定切點(diǎn)法.

求過曲線y=/-2x上的點(diǎn)的切線方程.

例題4:過曲線外一點(diǎn),求切線方程

求過點(diǎn)(2,0)且及曲線y」相切的直線方程.

X

練習(xí)題:函數(shù)=過點(diǎn)/(0,16)作曲線y=/(x)的切線,

求此切線方程.

看看幾個(gè)高考題

1.(2021全國卷II)曲線”已在點(diǎn)(1/)處的切線方程為

2.(2021江西卷)設(shè)函數(shù)/(x)=g(x)+/,曲線y=g(x)在點(diǎn)(l,g⑴)處

的切線方程為丁=2x+1,那么曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處切線的斜率

3.(2021寧夏海南卷)曲線丁=xe'+2x+l在點(diǎn)(0,1)處的切線方

程為。

4.(2021浙江)(此題總分值15分)函數(shù)

f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,beR).

(I)假設(shè)函數(shù),〃x)的圖象過原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3,

求a,b的值;

5.12021北京)(本小題共14分〕

設(shè)函數(shù)/(x)=一3ax+b(a豐0).

(I)假設(shè)曲線尸/(x)在點(diǎn)(2J(x))處及直線歹=8相切,求

的值;

.1函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)

1.利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來推斷函數(shù)單調(diào)性:

一般地,設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),

假如在這個(gè)區(qū)間內(nèi)/,(x)>0,那么夕=/(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)

的;

假如在這個(gè)區(qū)間內(nèi)/(x)<0,那么y=/(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)

的o

2.利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的步驟:

(1)確定函數(shù)F(x)的定義域;

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù);

(3)解不等式fC(x)>0,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

解不等式FC(x)V0,得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【例題講解】

a)求證:夕=1+1在(_8,o)上是增函數(shù)。

b)確定函數(shù)f(x)=2f—6f+7在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪

個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).

【課堂練習(xí)】

1.確定以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

⑴3—9V+24x(2)3x-x

2.函數(shù)/(x)=xlnx,那么()

A.在(0,+00)上遞增B.在(0,+8)上遞減

C.在?上遞增D.在(o,j上遞減

3.函數(shù)/(x)=/_3》2一5的單調(diào)遞增區(qū)間是.

函數(shù)圖象及其導(dǎo)函數(shù)圖象

1.函數(shù)八/(X)在定義域(-1,3)內(nèi)可導(dǎo),

其圖象如圖,記y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為

y=/'(x),那么不等式/"(x)W0的解集

2.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(-|,3),

導(dǎo)函數(shù)八x)在(-*3)內(nèi)的圖象如下

圖,那么函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

3.如圖為函數(shù)/(x)=加+而+ex+"的圖象,f\x)

為函數(shù)"X)的導(dǎo)函數(shù),那么不等式x./(x)<0

的解集為

4.假設(shè)函數(shù)/(幻=/+瓜+,的圖象的頂點(diǎn)在第四象限,那么其導(dǎo)

函數(shù)尸(x)的圖象是()

5.函數(shù)y=/(x)的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)/□)的圖象

是如下圖的一條直線,那么y=/(x)圖象的頂點(diǎn)在

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第

四象限

6.(2007年廣東佛山)設(shè)八x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函

數(shù),y=/,(x)的圖象如右圖所示,那么丁=/(*)的圖象

聲有可能的是(

ABD

7.設(shè)函數(shù)F(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),(x)的圖象如下左圖所示,那么

8.(安微省合肥市2021年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科)函數(shù)

的圖像如下右圖所示,那么尸尸⑴的圖像可能是

10.(2021年浙江省寧波市高三

“十?!?lián)考文科)如右圖所示是某一容器的正視圖

三視圖,現(xiàn)向容器中勻速注水,容器中水面的

高度。隨時(shí)間/變更的可能圖象是1)

俯視圖

(A)(B)(C)

(D)

11.(2021廣州二模文、理)二次函數(shù)/(x)的圖象如圖1所示,

12.(2021湖南卷文)假設(shè)函數(shù)丁=/(%)的導(dǎo)甌數(shù)在區(qū)間口力上

是增函數(shù),那么函數(shù)夕=/(x)在區(qū)間口向上的圖象可能是

14.(2021年福建卷12)函數(shù)(x)(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如以下

圖,那么(x)(x)的圖象可能是

15.(2021珠海一模文、理)設(shè)/"(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù),將

歹=/(x)和y=/,(x)的圖像畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,不行能正

確的選項(xiàng)是(〕

16.(湖南省株洲市2021屆高三第二

次質(zhì)檢)函數(shù)k/⑴的導(dǎo)函數(shù)

""X)的圖像如下,那么()

函數(shù)"X)有1個(gè)極大值點(diǎn),1個(gè)

微小值點(diǎn)

函數(shù)/(X)有2個(gè)

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