第02講 與三角形有關(guān)的角（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級(jí)人教版）

第02講與三角形有關(guān)的角【人教版】·模塊一三角形的內(nèi)角·模塊二直角三角形的性質(zhì)與判定·模塊三三角形的外角·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一三角形的內(nèi)角1．三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°。【考點(diǎn)1三角形內(nèi)角和定理】【例1.1】在我們的生活中處處有數(shù)學(xué)的身影，請(qǐng)看圖，折疊一張三角形紙片，把三角形的三個(gè)角拼在一起，就得到一個(gè)著名的幾何定理，請(qǐng)你寫出這一定理_____．【例1.2】如果三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x°，y°，y°，則x，y滿足的關(guān)系式（）A．x+y=90 B．2x=y C．x+2y=90 D．x+2y=180【例1.3】如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），∠O=30°，若△AOP為鈍角三角形，則∠A的取值范圍是（）A．0°<∠A<60° B．90°<∠A<180°C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130° D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°【變式1.1】一個(gè)缺角的三角形ABC殘片如圖所示，量得∠A=55°,∠B=60°，則這個(gè)三角形殘缺前的∠C的度數(shù)為（

）A．75° B．65° C．55° D．45°【變式1.2】如圖，直線a，b所成的角跑到畫板外面了，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)只要量出一條直線分別與直線a，b相交所形成的角的度數(shù)就可求得該角，已知∠1=71°，∠2=78°，則直線a，b所形成的銳角的度數(shù)為

【考點(diǎn)2三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】【例2.1】如圖，在△ABC中，∠B=70°，∠ACD=50°，AB∥CD，則∠ACB的度數(shù)為（

）A．90° B．85° C．60° D．55°【例2.2】如圖，將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，得到△A'DE，若∠DA'A．45° B．40° C．55° D．50°【例2.3】如圖，在△ABC中，∠A=100°，△ABC的角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，則∠BOC=______．【變式2.1】將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為（

）度．A．60 B．75 C．45 D．30【變式2.2】將一副三角板如圖放放置，使點(diǎn)A在DE上，BC//DE．則∠ACD的度數(shù)為（A．45° B．50° C．60° D．75°【變式2.3】如圖△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度數(shù)．模塊二模塊二直角三角形的性質(zhì)與判定1．直角三角形的性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余。2．直角三角形的判定有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形?！究键c(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)】【例1.1】已知直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為50°，則其另一個(gè)銳角的度數(shù)為_(kāi)__度．【例1.2】（2023年山西省運(yùn)城市中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在△ABC中，直線m∥BC，AB⊥m于點(diǎn)D，直線m與AC交于點(diǎn)E，若∠C=20°，則∠A的度數(shù)為（

）

A．40° B．50° C．60° D．70°【變式1.1】已知直角三角形兩個(gè)銳角的度數(shù)之比為3:2，求這兩個(gè)銳角的度數(shù)．【變式1.2】如圖△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，將△ABC沿CD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B'處，若∠ADB'=30°，則【變式1.3】如圖，已知∠AON=40°，點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AOP為直角三角形時(shí)，∠A=________．【考點(diǎn)2直角三角形的判定】【例2.1】在△ABC中，滿足下列條件：①∠A=60°,∠C=30°；②∠A+∠B=∠C；③∠A:∠B:∠C=3:4:5；④∠A=90°-∠C，能確定△ABC是直角三角形的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【例2.2】已知：如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠1=∠B，∠A=∠2．求證：△ABC是直角三角形．【變式2.1】根據(jù)下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．∠B=50°，∠C=40° B．∠B=∠C=45C．∠A，∠B，∠C的度數(shù)比為5：3：2 D．∠A-∠B=90°【變式2.2】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直線DE與AC，BC分別交于D，E兩點(diǎn)．若∠DEC＝∠A，則△EDC是______________．模塊三模塊三三角形的外角1．三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。內(nèi)外角的關(guān)系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角?！究键c(diǎn)1三角形的外角】【例1.1】圖中，∠1是△ABC的外角的是(

)A. B.

C. D.【例1.2】如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.∠ADC是△ABD的一個(gè)外角，也是△ADC的一個(gè)內(nèi)角

B.∠AEB是△AEB的一個(gè)內(nèi)角，也是△AEF的一個(gè)內(nèi)角

C.∠ABF是△ABF的一個(gè)內(nèi)角，也是△AEF的一個(gè)外角

D.∠C是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，也是△ADC的一個(gè)內(nèi)角【變式1.1】如圖，以∠AOD為外角的三角形是

．

【變式1.2】如圖，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

)A.∠1不是△ABC的外角B.∠ACD是△ABC的外角

C.∠ACD>∠A+∠BD.∠B<∠1+∠2

【考點(diǎn)2三角形的外角的性質(zhì)】【例2.1】如圖，∠A的度數(shù)為_(kāi)______°

【例2.2】如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠DC．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C【例2.3】如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．75° D．80°【變式2.1】直角三角形最小的一個(gè)外角為_(kāi)_____度.【變式2.2】如圖，△ABC中，∠C＝70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（

）A．360° B．180° C．250° D．245°【變式2.3】如圖，直線a∥b，∠1=39°，∠2=70°，則∠A度數(shù)是（

A．39° B．21° C．31° D．70°【變式2.4】如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠P=（

）A．20° B．30° C．35° D．40°模塊四模塊四課后作業(yè)1．已知Rt△ABC中，∠B=90°，若∠C比∠A大20°，則∠A等于（A．35° B．55° C．60° D．40°2．如圖，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則∠EDF的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°3．在△ABC中，已知∠B=3∠A，∠C=2∠B，則這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形4．如圖，在△DEF中，點(diǎn)C在DF的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在EF上，且AB∥CD，∠EBA=80°，∠D=45°，則∠E的度數(shù)為(A．35° B．25° C．20° D．15°5．如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點(diǎn)A，C，點(diǎn)B在直線b上，AB⊥AC，若∠1=130°，則∠A．30° B．40° C．50° D．70°6．一副三角板如圖所示擺放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°，BC∥DE，則∠BAD的度數(shù)為（

）

A．15° B．20° C．25° D．30°7．將一個(gè)直角三角板和一把直尺按如圖所示擺放，若∠1=25°，則∠2的度數(shù)為（

）A．65° B．60° C．55° D．45°8．如圖，直線a∥b，直角三角形如圖放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B9．若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為3：7：4，那么這個(gè)三角形最大的一個(gè)角是_______度．10．如圖，△ABC中，∠A=60°，將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處．如果∠A'EC=70°，那么12．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，求