第06講 SASASA證全等（解析版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級(jí)人教版）

第06講SAS，ASA證全等【人教版】·模塊一兩邊及夾角證全等·模塊二兩角及夾邊證全等·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一兩邊及夾角證全等全等三角形的判定邊角邊(SAS)：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等?！究键c(diǎn)1用SAS判定兩個(gè)三角形全等】【例1.1】在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，AB=A1B1，再補(bǔ)充下列哪個(gè)條件可以根據(jù)A．AB=A1C1 B．BC=B1【答案】C【分析】根據(jù)SAS判定三角形全等是兩邊及這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等進(jìn)行求解即可【詳解】解：在△ABC和△A1B1C∴要想利用“SAS”判斷△ABC和△A1B故選C．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，熟知SAS判定全等三角形是解題的關(guān)鍵．【例1.2】如圖，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形中，與ΔABC全等的是（A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定逐個(gè)判定即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，B選項(xiàng)符合邊角邊判定，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的幾個(gè)判定．【例1.3】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．∠BAD=∠ACD D．BD=CD【答案】C【分析】證△ABD≌△ACD(SAS)，得∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，則AD⊥BC，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△CAD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△CAD(SAS∴∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC=1∴AD⊥BC，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，∠BAD=∠CAD=∠C=45°，故選項(xiàng)A、B、D不符合題意，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線定義等知識(shí)，證明ΔABD?【變式1.1】如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，且O是AB，CD的中點(diǎn)，則△AOC與△BOD【答案】SAS【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：∵O是AB，∴OA=OB,OC=OD,在△AOC和△DOB中，OA=OB∴△AOC?△DOBSAS【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式1.2】如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，能用“SAS”判定△ABC≌△ADC的是（

）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°【答案】B【分析】由條件可得AC=AC，再結(jié)合AB=AD，根據(jù)全等三角形的判定方法判斷還差的條件即可．【詳解】由題意得AC=AC，AB=AD∴用“SAS”判定△ABC≌△ADC還差兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等即∠BAC=∠DAC故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法“SAS”是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2SAS判定定理的應(yīng)用】【例2.1】如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠3-∠2=______．【答案】45°/45度【分析】證明△ABC≌△BDE，可證∠1與∠3互余，由方格紙的特點(diǎn)可知∠2是直角的一半，進(jìn)而可求結(jié)論．【詳解】解：∵AC=BE∠ACB=∠BED=90°∴△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，以及方格紙的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．【例2.2】填空：把下面的推理過(guò)程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．已知：如圖，BC//EF，AB=DE，BC=EF，試說(shuō)明∠C=∠F．解：∵BC//EF(已知)∴∠ABC=______（______）在△ABC與△DEF中AB=DE∴△ABC≌△DEF（______）∴∠C=∠F（______）【答案】∠DEF；兩直線平行，同位角相等；∠ABC=∠DEF；BC=EF；SAS；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABC=∠E，根據(jù)SAS求出△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可；【詳解】解：∵BC//EF(已知)∴∠ABC=∠DEF（兩直線平行，同位角相等）在△ABC與△DEF中AB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS）∴∠C=∠F（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）故答案為：∠DEF；兩直線平行，同位角相等；∠ABC=∠DEF；BC=EF；SAS；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，側(cè)重考查學(xué)生的邏輯推理，題目比較典型．【例2.3】如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上請(qǐng)你在圖①和圖②中分別畫出一個(gè)三角形，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：(1)以點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)也在正方形網(wǎng)格點(diǎn)上；(2)與△ABC全等，且不與△ABC重合．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）直接利用網(wǎng)格結(jié)合全等三角形的判定方法分析得出答案．【詳解】（1）如圖所示：△ABD即為所求；在△ABC和△ABD中AB=AB∴△ABC≌△ABDSAS（2）如圖所示：△BAE即為所求．∵AE∥BC，∴∠ABC=∠BAE．在△ABC和△BAE中AB=BA∴△ABC≌△BAESAS【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式2.1】如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，點(diǎn)C在DE上．(1)求證：△ABD≌(2)若∠BDA=35°，則∠BDE=______°．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)70【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD=∠CAE，根據(jù)（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ADC=【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠EAC∴△ABD≌△ACE（（2）證明：∵△ABD≌∴∠ADB=∠AEC，AD=AE∴∠ADC=∠AEC∴∠BDA=∠ADC=35°∴∠BDC=2∠BDA=2×35°=70°．故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)，證明對(duì)應(yīng)角相等，再利用等量代換得出證明結(jié)論．【變式2.2】“倍長(zhǎng)中線法”是解決幾何問(wèn)題的重要方法．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，具體做法是：如圖，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造出△BED和△CAD．求證：△BED≌△CAD．

【答案】見(jiàn)解析【分析】由AD是△ABC的中線，可得DE=AD，再由∠EDB=∠ADC，DB=DC，即可證明△BED≌△CAD．【詳解】證明：如圖所示：

，∵AD是△ABC的中線，∴DB=DC，在△BED和△CAD中，ED=AD∠EDB=∠ADC∴△BED≌△CAD(SAS【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，倍長(zhǎng)中線，熟練掌握全等三角形的判定，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式2.3】如圖所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，則∠DOC＝___．【答案】120°【分析】先證明△DAG≌△BAC,得到∠GDA=∠CBA，再利用∠BAD=60°以及三角形的內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵∠DAE=∠GAC=60°,∴∠DAG=∠BAC,∵AD=AB,AC=AG,在△DAG與△BAC中，AD=AB,∠DAG=∠BAC∴△DAG≌△BAC,∴∠GDA=∠CBA,∵∠BEO=∠AED,∴∠BOE=∠BAD,∴∠BAD=60°,∴∠BOE=60°,∴∠DOC=120°.故答案為：120°.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2.4】如圖，在△ABC中，AC>AB，射線AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB的延長(zhǎng)線上，AF=AC，連接EF．(1)求證：△AEC≌△AEF．(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)80°【分析】（1）由射線AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，進(jìn)而可證△AEC≌△AEFSAS（2）由△AEC≌△AEFSAS，可得∠C=∠F，由三角形外角的性質(zhì)可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，則∠FAE+∠F=50°，根據(jù)∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°【詳解】（1）證明：射線AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠FAE，在△AEC和△AEF中，∵AC=AF∠CAE=∠FAE∴△AEC≌△AEFSAS（2）解：∵△AEC≌△AEFSAS∴∠C=∠F，∵∠AEB=∠CAE+∠C=50°，∴∠FAE+∠F=50°，∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，∴∠BEF=80°，∴∠BEF為80°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．模塊二模塊二兩角及夾邊證全等全等三角形的判定角邊角(ASA)：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。【考點(diǎn)1用ASA判定兩個(gè)三角形全等】【例1.1】如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快就另外畫出了一個(gè)與原來(lái)完全一樣的三角形，這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是________.【答案】ASA【分析】由圖形可知三角形的兩邊和夾邊，于是根據(jù)ASA即可畫出一個(gè)與原來(lái)完全一樣的三角形．【詳解】解：已知三角形的兩角和夾邊，∴兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是ASA，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．【例1.2】如圖，a，b，c分別表示△ABC的三邊長(zhǎng)，則下面與A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行一一判斷即可得到答案．【詳解】解：A、其中有一個(gè)角相等，兩條邊相等，但是其中的角不是兩條邊的夾角，不能證明三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；B、180°-72°-50°=58°，所以這兩個(gè)三角形有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且有兩條邊對(duì)應(yīng)相等，這個(gè)角也是兩條邊的夾角，可以證明三角形全等，故此選項(xiàng)正確；C、雖然由一個(gè)角和兩條邊對(duì)應(yīng)相等，且角是夾角，但是邊不是對(duì)應(yīng)相等的，不能證明三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；D、有兩個(gè)角相等，但邊不是對(duì)應(yīng)相等的，不能證明三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【例1.3】如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，找出圖中的全等三角形，并說(shuō)明全【答案】△BED≌△CFD，理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)中點(diǎn)得出BD=CD，再由平行線的性質(zhì)得出∠B=∠FCB，利用全等三角形的判定證明即可．【詳解】解：△BED≌△CFD，理由如下：∵D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵CF∥∴∠B=∠FCB，∵∠BDE=∠CDF，∴△BED≌△CFD．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題關(guān)鍵．【變式1.1】如圖，AB//CD，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，直接應(yīng)用“ASA”定理證明△ABC≌△DCE還需要的條件是（

）A．AB=CD B．∠ACB=∠E C．∠A=∠D D．AC=DE【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠B=∠DCE，再根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴BC=CE，∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，A、根據(jù)SAS證△ABC≌△DCE，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵∠ACB=∠E，CB=CE，∠B=∠DCE，∴△ABC≌△DCE（ASA），故本選項(xiàng)正確；C、根據(jù)AAS證三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、根據(jù)條件不能證△ABC和△DCE全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式1.2】一塊三角形玻璃樣板不慎被小強(qiáng)同學(xué)碰破，成了四片完整四碎片（如圖所示），聰明的小強(qiáng)經(jīng)過(guò)仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認(rèn)為下列四個(gè)答案中正確的是（

）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、2或2、3去就可以了C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、4或2、3或3、4去均可【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法可以確定原三角形的大小與形狀，由此判斷即可；【詳解】解：碎片1、4和碎片3、4可以根據(jù)ASA判定出與原三角形全等的三角形，故可以還原出同樣的玻璃樣板；碎片1、2和碎片2、3僅有一個(gè)角與原三角形相同，無(wú)法判定全等三角形，故不可以還原出同樣的玻璃樣板；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定；熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式1.3】如圖，點(diǎn)E在△ABC外部，點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AE=AC，則（

）．

A．△ABD≌△AFE B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，然后根據(jù)ASA證明△ABC≌△ADE．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，∵∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，∴∠E=∠C，∴在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAEAC=AE∴△ABC≌△ADEASA故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．【考點(diǎn)2ASA判定定理的應(yīng)用】【例2.1】如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作平行于AB的直線交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若DE=FE，AB=7，CF=4，則【答案】3【分析】證明△ADE≌△CFEASA，得出AD=CF=4【詳解】解：∵CF∥AB，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠FDE=FE∴△ADE≌△CFEASA∴AD=CF=4，∴BD=AB-AD=7-4=3，∴BD的長(zhǎng)為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【例2.2】如圖，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，∠B=∠E=∠ACF=60°，AC=CF，AB=4，EF=5，則BE=___________．【答案】9【分析】根據(jù)題意證明ΔABC?【詳解】解：∵∠B=∠E=∠ACF=60°，∠BCA+∠ACF=∠CFE+∠E，∠ACF+∠ECF=∠B+∠BAC∴∠BCA=∠CFE∠BAC=∠ECF在∠BAC=∠ECF∴Δ∴BC=EF，AB=CE∴BE=BC+CE=EF+AB=5+4=9【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，涉及了三角形的外角定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)并熟練使用，同時(shí)注意解題中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵．【例2.3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)E，交∠ACB的平分線于點(diǎn)N，點(diǎn)M為CN與AB的交點(diǎn)，∠BMC=80°，∠B=40°.(1)求∠AEF的度數(shù)；(2)證明：NF=FD.【答案】(1)70°(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義求出∠BCM=60°，∠AMC=100°，再根據(jù)垂直的定義求出∠EFC=90°，根據(jù)角平分線的定義求出∠ACN=∠BCN=60°，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠MEF=110°，則（2）只需要證明△CFN≌△CFDASA，即可證明NF=DF【詳解】（1）解：∵∠BMC=80°，∠B=40°，∴∠BCM=180°-∠B-∠BMC=60°，∵DF⊥AC，∴∠EFC=90°，∵CN平分∠ACB，∴∠ACN=∠BCN=60°，∴∠MEF=360°-∠AMC-∠ACM-∠EFC=110°，∴∠AEF=180°-∠MEF=70°；（2）證明：由（1）得∠ACN=∠BCN=60°，∴∠ACD=180°-∠ACN-∠BCN=60°，∴∠DCF=∠NCF，又∵∠CFN=∠CFD=90°，∴△CFN≌△CFDASA∴NF=DF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，平角的定義，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2.1】如圖，BA=BE，∠A=∠E，∠ABE=∠CBD，ED交BC于點(diǎn)F，且∠FBD=∠D．求證：AC∥BD．證明：∵∠ABE=∠CBD(已知)，∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC()即∠ABC=∠EBD在△ABC和△EBD中，∠ABC=∠EBD_____=______∴△ABC≌△EBD()，∴∠C=∠D()∵∠FBD=∠D，∴∠C=(等量代換)，∴AC∥BD()【答案】答案見(jiàn)解析【分析】結(jié)合等式的性質(zhì)利用ASA可證△ABC≌△EBD，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)等量代換可得∠C=∠FBD，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AC∥BD.【詳解】解：∵∠ABE=∠CBD(已知)，∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC(等式的性質(zhì))，即∠ABC=∠EBD在△ABC和△EBD中，∠ABC=∠EBDAB=BE∴△ABC≌△EBD(ASA)，∴∠C=∠D(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∵∠FBD=∠D，∴∠C=∠FBD(等量代換)，∴AC∥BD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．故答案為：等式的性質(zhì)；AB=BE；ASA；全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；∠FBD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及平行線的判定，熟練的掌握每一步證明的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.【變式2.2】如圖，某段河流的兩岸是平行的，某校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在林老師帶領(lǐng)下不用涉水過(guò)河就測(cè)得河的寬度，他們是這樣做的：①在樹A的對(duì)岸l正對(duì)位置選一點(diǎn)B，使得AB⊥l；②從點(diǎn)B沿河岸直走25米有一樹C，繼續(xù)前行25米到達(dá)D處；③從D處沿河岸垂直的方向行走到達(dá)E處，使得樹A、樹C、點(diǎn)E三點(diǎn)共線；④測(cè)得DE的長(zhǎng)為20米．(1)根據(jù)他們的做法補(bǔ)全圖形并標(biāo)出點(diǎn)B、D、E的位置；(2)求該段河流的寬度是多少米？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)20米【分析】(1)根據(jù)要求畫出相應(yīng)的圖形即可．(2)根據(jù)要求證明△ABC≌△EDC即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，畫如下：．（2）根據(jù)題意，得∠ABC=∠EDC=90°∴△ABC≌△EDC，∴AB=ED=20（米），故該段河流的寬度是20米．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2.3】如圖①，AM∥BN，AE平分∠BAM，(1)求∠AEB的度數(shù)；(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)E的直線交射線AM于點(diǎn)C，交射線BN于點(diǎn)D．求證：AC+BD=AB．【答案】(1)90°(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAM+∠ABN=180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE=1（2）在AB上截取AF=AC，連接EF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AEC=∠AEF，【詳解】（1）解：∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN=180°，∵AE平分∠BAM，BE平分∴∠BAE=1∴∠BAE+∠ABE=1∴∠AEB=90°；（2）在AB上截取AF=AC，連接EF，在△ACE與△AFE中，AC=AF∠CAE=∠FAE∴△ACE?△AFESAS∴∠AEC=∠AEF，∴∠AEB=90°，∴∠AEF+∠BEF=∠AEC+∠BED=90°，∴∠FEB=∠BED，在△BFE與△BDE中，∠FBE=∠DBEBE=BE∴△BFE?△BDEASA∴BF=BD，∵AB=AF+BF，∴AC+BD=AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用全等三角形的判定及性質(zhì)以及能夠構(gòu)造截長(zhǎng)補(bǔ)短的輔助線是解題關(guān)鍵．模塊三模塊三課后作業(yè)1．下列選項(xiàng)可用SAS證明△ABC≌△A'BA．AB=A'B'B．AB=A'B'C．AC=A'C'D．AC=A'C'【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形SAS的判定,即兩條對(duì)應(yīng)邊及其夾角相等逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、角不是夾角，不滿足SAS，不能證明△ABC≌△AB、角不是夾角，不滿足SAS，不能證明△ABC≌△AC、滿足SAS，能證明△ABC≌△AD、角不是夾角，不滿足SAS，不能證明△ABC≌△A故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定條件是解答的關(guān)鍵．2．要得知某一池塘兩端A，B的距離，發(fā)現(xiàn)其無(wú)法直接測(cè)量，兩同學(xué)提供了如下間接測(cè)量方案．方案Ⅰ：如圖1，先過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AB，再在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC=CD，接著過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則測(cè)量DE的長(zhǎng)即可；方案Ⅱ：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，再由點(diǎn)D觀測(cè)，用測(cè)角儀在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，使∠BDC=∠BDA，則測(cè)量BC的長(zhǎng)即可．對(duì)于方案Ⅰ、Ⅱ，說(shuō)法正確的是（

）

A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行【答案】C【分析】方案Ⅰ中可用ASA證明△ABC≌△EDC，從而得到AB=DE；方案Ⅱ中可用ASA證明△ABD≌△CBD，從而得到AB=BC．【詳解】解：如圖1所示，∵BF⊥AB，BF⊥DE，∴∠ABC=∠EDC=90°，又∵BC=DC，∴△ABC≌△EDCASA∴AB=BC，∴測(cè)量DE的長(zhǎng)即可，故方案Ⅰ可行；如圖2所示，∵BD⊥AB，∴∠ABD=∠CBD=90°，又∵∠BDC=∠BDA，BD=BD，∴△ABD≌△CBDASA∴AB=BC，∴測(cè)量BC的長(zhǎng)即可，故方案Ⅱ可行；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正確理解題意并熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB//DE，運(yùn)用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需補(bǔ)充的條件是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE【答案】C【分析】證出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出結(jié)論．【詳解】解：補(bǔ)充BE＝CF，理由如下：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，若要利用SAS判定，B、D選項(xiàng)不符合要求，若A：AC=DF，構(gòu)成的是SSA，不能證明三角形全等，A選項(xiàng)不符合要求，C選項(xiàng)：BE=CF，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠ABC=∠DEF∴△ABC≌△DEF（SAS），故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知“SAS”的判定的特點(diǎn)．4．已知，圖中△ABC的面積為24，將△ABC沿BC的方向平移到△A'B'C'的位置，使B'和C重合，連接AA．4 B．6 C．8 D．12【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得AC=A'C'，BC=B'C'，【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得AC=A∴∠DCA=∠DA∴△ADC≌△C∴AD=C∴S△∵BC=CC'，△ABC的面積為∴S△ABC∴S△故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平移的基本性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)，熟知平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．5．如圖，在△ABC中，AC=8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)．若AD=BD，則BF的長(zhǎng)是（

A．4cm B．6cm C．8cm【答案】C【分析】根據(jù)垂直及各角之間的關(guān)系得出∠CAD=【詳解】解：∵F是高AD和BE的交點(diǎn)，∴∠ADC=∴∠CAD+∠AFE=90°∵∠AFE=∴∠CAD=在△DBF和△DAC中，∠FBD=∠CADDB=AD∴△DBF≌△DAC(ASA∴BF=AC=8cm故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等角的余角相等，關(guān)鍵是推出△DBF≌△DAC(ASA6．如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為_____．

【答案】92°/92度【分析】由條件可證明△AMK≌△BKN，再結(jié)合外角的性質(zhì)可求得∠A=∠MKN，再利用三角形內(nèi)角和可求得∠P．【詳解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，AM=BK∠A=∠B∴△AMK≌△BKNSAS∴∠AMK=∠BKN，∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°-∠A-∠B=180°-44°-44°=92°，故答案為：92°．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，利用條件證得△AMK≌△BKNSAS7．如圖，某同學(xué)不小心把一塊三角形玻璃打碎成了三塊（見(jiàn)右面的示意圖），現(xiàn)在要到玻璃店去切割一塊大小完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶_____去（填序號(hào)）【答案】③【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，進(jìn)行選擇即可．【詳解】解：根據(jù)全等三角形的判定方法，角邊角可確定一個(gè)全等三角形，只有圖③包括了兩角和它們的夾邊，只有帶③去才能配一塊完全一樣的玻璃，是符合題意的．故答案為：③【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．8．用尺規(guī)作一個(gè)直角三角形，使其兩直角邊分別等于已知線段，則作圖的依據(jù)是________．【答案】SAS【分析】隱含的條件是直角，是兩直角邊的夾角，即可得出作圖的依據(jù)為SAS．【詳解】解：：用尺規(guī)做直角三角形，已知兩直角邊．可以先畫出兩條已知線段和確定一個(gè)直角，作圖的依據(jù)為SAS．【點(diǎn)睛】此題考查作圖-復(fù)雜作圖和直角全等三角形的判定，解題關(guān)鍵在于先畫出兩條已知線段確定一個(gè)直角9．如圖所示：B、D、E在一條直線上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，則∠3=___________．【答案】55°/55度【分析】證明△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠2=∠ABE，利用外角的性質(zhì)得到【詳解】解：在△ABD與△ACE中，∵∠BAC=∠DAE，即∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD，∴∠1=∠CAE；又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠2=∠ABE；∵∠3=∠1+∠ABE，∴∠3=∠1+∠2，∵∠1=25°，∠2=30°，∴∠3=55°．故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．10．如圖是由4個(gè)相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，則∠2-∠1=______．【答案】90°/90度【分析】根據(jù)題意證明△ABE≌△CBF，得出∠1=∠FBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FBC=∠GFB，等量代換得出∠1=∠GFB，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵AE=CF=1,∠A=∠C,AB=BC=2，∴△ABE≌△CBFSAS∴∠1=∠FBC，∵BC∥∴∠FBC=∠GFB，∴∠1=∠GFB，∴∠2-∠1=∠DFB-∠GFB=∠DFG=90°，故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確判定全等三角形是解答的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC和△BDE中，點(diǎn)A、B、E共線，點(diǎn)B、C、D共線，BF、BG分別是∠ABD和∠DBE的平分線，已知∠ABD=∠DBE，AB=DB，EB=CB，若AC=8cm，DG=6cm，則CF=【答案】2【分析】根據(jù)題意證明△ABC≌△DBESAS，然后證明∠△ABF≌△DBGASA，求出【詳解】解：∵點(diǎn)A、B、E共線，∠ABD=∠DBE，∴∠ABD=∠DBE=90°，又∵AB=DB，EB=CB，∴△ABC≌△DBE∴∠A=∠D，∵BF、BG分別是∠ABD和∠DBE的平分線，∴∠ABF=∠DBF=12∠ABD=45°∴∠ABF=∠DBG，又∵AB=DB，∴△ABF≌△DBGASA∴AF=DG=6cm∴CF=AC-AF=8-6=2cm故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．12．如圖所示，要測(cè)量河岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，向前走50米到C處立一根標(biāo)桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走50