高考數(shù) 五高考真題分類匯編 第十一章 幾何證明選講 理

五年高考真題分類匯編：幾何證明選講一.選擇題1．（?北京高考理）如圖，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F(xiàn)，延長AF與圓O交于另一點G.給出下列三個結(jié)論：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正確結(jié)論的序號是()A．①②B．②③C．①③D．①②③【解析】選A逐個判斷：由切線定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正確；由切割線定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正確；因為△ADF∽△AGD，所以③錯誤，故選擇A.2．（?北京高考理）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2【解析】選A在直角三角形ABC中，根據(jù)直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根據(jù)切割線定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.二.填空題3．（?天津高考文）如圖，在圓內(nèi)接梯形ABCD中，AB∥DC.過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E.若AB＝AD＝5,BE＝4,則弦BD的長為________．【解析】本題主要考查相似三角形、圓中切割線定理，意在考查考生的邏輯推理能力．因為AE是圓的切線，又AD＝AB，AB∥DC，所以∠BAE＝∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，所以AD＝AB＝BC＝5.由切割線定理可得EA2＝EB×EC＝4×(5＋4)＝36，所以EA＝6.又△BCD∽△EBA，所以eq\f(BD,EA)＝eq\f(BC,EB)，則BD＝eq\f(BC·EA,EB)＝eq\f(5×6,4)＝eq\f(15,2).【答案】eq\f(15,2)4．（?陜西高考文）如圖，AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，則PE＝________.【解析】本題主要考查平面幾何的計算，具體涉及三角形相似的內(nèi)容，重點考查考生對平面幾何的計算能力．由PE∥BC知，∠A＝∠C＝∠PED，在△PDE和△PEA中，∠P公用，∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，則PD∶PE＝PE∶PA.于是PE2＝PA·PD＝3×2＝6，則PE＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)5．（?廣東高考文）如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，則ED＝________.【解析】本題主要考查平面幾何、解三角形等知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，意在考查考生的推理論證能力、運算求解能力和應用意識、創(chuàng)新意識．tan∠BCA＝eq\f(BA,BC)＝eq\f(\r(3),3)，所以∠BCA＝30°，∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.在Rt△BCE中，CE＝BC·cos∠BCA＝3cos30°＝eq\f(3\r(3),2).在△ECD中，由余弦定理得ED＝eq\r(CE2＋CD2－2CE·CD·cos∠ECD)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2＋\r(3)2－2×\f(3\r(3),2)×\r(3)×\f(1,2))＝eq\f(\r(21),2).【答案】eq\f(\r(21),2)6．（?重慶高考理）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為________．【解析】本題主要考查弦切角定理及切割線定理的應用．由題意得BC＝AB·sin60°＝10eq\r(3)，由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以CD＝5eq\r(3)，BD＝15，由切割線定理知，CD2＝DE·BD，則DE＝5.【答案】57．（?北京高考理）如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________；AB＝________.【解析】本題考查圓的切割線定理，意在考查考生對定理的運用能力．設(shè)PD＝9t，DB＝16t，則PB＝25t，根據(jù)切割線定理得32＝9t×25t，解得t＝eq\f(1,5)，所以PD＝eq\f(9,5)，PB＝5.在直角三角形APB中，根據(jù)勾股定理得AB＝4.【答案】eq\f(9,5)48．（?陜西高考理）如圖，弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P.已知PD＝2DA＝2，則PE＝________.【解析】本小題圖形背景新穎，具體涉及圓的性質(zhì)以及相似三角形等內(nèi)容，重點考查考生的邏輯推理能力．由PE∥BC知，∠A＝∠C＝∠PED.在△PDE和△PEA中，∠APE＝∠EPD，∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，則eq\f(PD,PE)＝eq\f(PE,PA)，于是PE2＝PA·PD＝3×2＝6，所以PE＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)9．（?廣東高考理）如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上．延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________.【解析】本題考查圓與直線的位置關(guān)系、射影定理，考查考生邏輯推理能力和綜合運用幾何圖形解決問題的能力．連接OC，則OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，則∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得：CD2＝ED·AD①，又CD＝BC，AD＝AB，將AB＝6，ED＝2代入①式，得CD＝eq\r(12)＝2eq\r(3)，∴BC＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)10．（?湖北高考理）如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E.若AB＝3AD，則eq\f(CE,EO)的值為________．【解析】本題考查平面幾何中射影定理的應用，意在考查考生的推理運算能力．連接AC，BC，則AC⊥BC.∵AB＝3AD，∴AD＝eq\f(1,3)AB，BD＝eq\f(2,3)AB，OD＝eq\f(1,6)AB.又AB是圓O的直徑，OC是圓O的半徑，∴OC＝eq\f(1,2)AB.在△ABC中，根據(jù)射影定理有：CD2＝AD·BD＝eq\f(2,9)AB2.在△OCD中，根據(jù)射影定理有：OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC，可得OE＝eq\f(1,18)AB，CE＝eq\f(4,9)AB，∴eq\f(CE,EO)＝8.【答案】811．（?天津高考理）如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為________．【解析】本題考查三角形相似、圓中切割線定理，意在考查考生的邏輯推理能力．因為AE是圓的切線，且AE＝6，BD＝5，由切割線定理可得EA2＝EB·ED，即36＝EB·(EB＋5)，解得EB＝4.又∠BAE＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC.又AC∥BD，所以四邊形AEBC是平行四邊形，所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4.又由題意可得△CAF∽△CBA，所以eq\f(CA,CB)＝eq\f(CF,CA)，CF＝eq\f(CA2,CB)＝eq\f(16,6)＝eq\f(8,3).【答案】eq\f(8,3)12．（?天津高考文）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝eq\f(3,2)，則線段CD的長為________．【解析】因為AB與CE相交于F點，且AF＝3，EF＝eq\f(3,2)，F(xiàn)B＝1，所以CF＝eq\f(AF·FB,EF)＝eq\f(3×1,\f(3,2))＝2，因為EC∥BD，所以△ACF∽△ABD，所以eq\f(AF,AB)＝eq\f(CF,BD)＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(AD－CD,AD)＝eq\f(3,4)，所以BD＝eq\f(CF·AB,AF)＝eq\f(2×4,3)＝eq\f(8,3)，且AD＝4CD，又因為BD是圓的切線，所以BD2＝CD·AD＝4CD2，所以CD＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)13．（?廣東高考文）如圖所示，直線PB與圓O相切于點B，D是弦AC上的點，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝________.【解析】因為直線PB是圓的切線，所以∠ABP＝∠C，又因為∠ABP＝∠ABD，所以∠ABD＝∠C，又因為∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)，所以AB＝eq\r(AD·AC)＝eq\r(mn).【答案】eq\r(mn)14．（?廣東高考理）如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，滿足∠ABC＝30°，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，則PA＝________.【解析】如圖，連接OA.由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OAtan60°＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)15．（?天津高考理）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝eq\f(3,2)，則線段CD的長為________．【解析】由相交弦定理可得CF·FE＝AF·FB，得CF＝2.又因為CF∥DB，所以eq\f(CF,DB)＝eq\f(AF,AB)，得DB＝eq\f(8,3)，且AD＝4CD，由切割線定理得DB2＝DC·DA＝4CD2，得CD＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)16．（?陜西高考理）如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝________________.【解析】由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD與△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.【答案】517．（?湖南高考理）如圖，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________．【解析】設(shè)圓的半徑為r，則(3－r)(3＋r)＝1×3，即r2＝6，解得r＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)18．（?湖北高考理）(選修4－1：幾何證明選講)如圖，點D在⊙O的弦AB上移動，AB＝4，連接OD，過點D作OD的垂線交⊙O于點C，則CD的最大值為________．【解析】由題意知CD2＝OC2－OD2，OC是半徑，所以當OD的值最小時，DC最大，易知D為AB的中點時，DB＝DC＝2最大．【答案】219．（?湖南高考理）如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為______．【解析】如圖，連接AB，AC，CE，由于A，E為半圓周上的三等分點，可得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°，∠ACB＝30°，由此得AB＝2，AD＝eq\r(3)，BD＝1，則DF＝eq\f(\r(3),3)，故AF＝eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)20．（?廣東高考理）(幾何證明選講選做題)如圖，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝____________.【解析】由PA為⊙O的切線，BA為弦，得∠PAB＝∠BCA，又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以eq\f(PB,AB)＝eq\f(AB,BC)，而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝eq\r(35).【答案】eq\r(35)21．（?天津高考理）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為____________．【解析】設(shè)BE＝x，則FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝eq\f(1,2)，E＝eq\f(7,2)，再由切割線定理得CE2＝EB·EA＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)＝eq\f(7,4)，所以CE＝eq\f(\r(7),2).【答案】eq\f(\r(7),2)【答案】522．（?陜西高考）如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________.【解析】由于∠B＝∠D，∠AEB＝∠C，從而得eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC)，解得AE＝2，故BE＝eq\r(AB2－AE2)＝4eq\r(2).【答案】4eq\r(2)三.解答題23．（?江蘇高考）如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.證明：連接OD.因為AB和BC分別與圓O相切于點D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因為∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.24．（?新課標Ⅱ全國高考文）如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓．(1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑；(2)若DB＝BE＝EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．解：本題主要考查相似三角形的判定定理、四點共圓的性質(zhì)及弦切角定理，意在考查考生的推理認證能力與運算求解能力．(1)證明：因為CD為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A，由題設(shè)知eq\f(BC,FA)＝eq\f(DC,EA)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．(2)如圖，連接CE，因為∠CBE＝90°，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為eq\f(1,2).25．（?新課標Ⅰ全國高考文）如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D.(1)證明：DB＝DC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝eq\r(3)，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．解：本題主要考查幾何證明選講中圓的幾何性質(zhì)、切線的相關(guān)定理與結(jié)論的應用，難度中等．(1)證明：如圖，連接DE，交BC于點G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因為DB⊥BE，所以DE為直徑，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂線，所以BG＝eq\f(\r(3),2).設(shè)DE的中點為O，連接BO，則∠BOG＝60°.從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于eq\f(\r(3),2).26．（?遼寧高考文）如圖，AB為⊙O直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.證明：本題主要考查直線和圓相切，利用弦切角定理導出角的關(guān)系，利用全等和相似導出線段關(guān)系．(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2).又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，從而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.類似可證：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.27．（?遼寧高考理）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.證明：本題主要考查圓的基本性質(zhì)、全等三角形的應用以及直角三角形的性質(zhì)，考查了考生的邏輯思維能力和歸納推理能力．(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2)；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，從而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.類似可證，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.28．（?新課標Ⅰ全國高考理）如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D.(1)證明：DB＝DC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝eq\r(3)，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．解：本題主要考查平面內(nèi)直線與圓的位置關(guān)系、弦切角定理、勾股定理、中垂線定理等知識，意在考查考生的推理論證能力和運算能力．(1)證明：連接DE，交BC于點G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又DB⊥BE，所以DE為直徑，則∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂線，所以BG＝eq\f(\r(3),2).設(shè)DE的中點為O，連接BO，則∠BOG＝60°.從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于eq\f(\r(3),2).29．（?新課標Ⅱ全國高考理）如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓．(1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑；(2)若DB＝BE＝EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.解：本題考查圓的基本性質(zhì)、三角形相似定理、直角三角形射影定理等基本知識，是對考生基本推理能力以及轉(zhuǎn)化與化歸能力的考查．(1)證明：因為CD為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A，由題設(shè)知eq\f(BC,FA)＝eq\f(DC,EA)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．(2)連接CE，因為∠CBE＝90°，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE.由BD＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為eq\f(1,2).30．（?遼寧高考文）如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E.證明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.解：(1)由AC與⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.從而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD與⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.從而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.結(jié)合(1)的結(jié)論，AC＝AE.31．（?新課標高考文）如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點．若CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.證明：(1)因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，連接AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.因為CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因為FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.32．（?遼寧高考理）如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連結(jié)DB并延長交⊙O于點E.證明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.證明：(1)由AC與⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.從而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD與⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.從而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.結(jié)合(1)的結(jié)論，AC＝AE.33．（?江蘇高考）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，連結(jié)BD并延長至點C，使BD＝DC，連結(jié)AC，AE，DE.求證：∠E＝∠C.解：連結(jié)OD，因為BD＝DC，O為AB的中點，所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C.因為OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因為點A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.34．（?新課標高考理）如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點．若CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.解：(1)因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，連結(jié)AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.因為CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因為FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，