高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第八章 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系突破熱點(diǎn)題型 文

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)一直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[例1](1)(·陜西高考)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．不確定(2)(2014·南昌模擬)若過點(diǎn)(1,2)總可以作兩條直線與圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________________．[自主解答](1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，所以直線與圓相交．(2)把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)k))2＋(y＋1)2＝16－eq\f(3,4)k2，所以16－eq\f(3,4)k2>0，解得－eq\f(8\r(3),3)<k<eq\f(8\r(3),3)，由題易知點(diǎn)(1,2)應(yīng)在已知圓的外部，把點(diǎn)代入圓的方程得1＋4＋k＋4＋k2－15>0，即(k－2)·(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(3),3)，－3))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8\r(3),3))).[答案](1)B(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(3),3)，－3))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8\r(3),3)))【互動(dòng)探究】在本例(2)中的條件“總可以作兩條直線”改為“至多能作一條直線”，結(jié)果如何？解：依題意知點(diǎn)(1,2)應(yīng)在圓上或圓的內(nèi)部，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－\f(3,4)k2>0，,1＋4＋k＋4＋k2－15≤0，))解得－3≤k≤2.【方法規(guī)律】1．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法(1)幾何法：①明確圓心C的坐標(biāo)(a，b)和半徑r，將直線方程化為一般式；②利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d；③比較d與r的大小，寫出結(jié)論．(2)代數(shù)法：①直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量；②判斷二次方程根的個(gè)數(shù)(Δ與0的關(guān)系)；③得出結(jié)論．2．圓與圓的位置關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法，其步驟是：(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論.1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相切B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心D．相離解析：選B法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2＋y2＝1，))消去y，整理得x2＋x＝0，因?yàn)棣ぃ?2－4×1×0＝1>0，所以直線與圓相交．又圓x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(0,0)，且0≠0＋1，所以直線不過圓心．法二：圓x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑長(zhǎng)為1，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).因?yàn)?<eq\f(\r(2),2)<1，所以直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1相交但直線不過圓心．2．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切線有()A．1條B．2條C．3條D．4條解析：選D圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圓心C1(－1，－1)，半徑長(zhǎng)r1＝2；圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C2(2,1)，半徑長(zhǎng)r2＝1.∴d＝eq\r(－1－22＋－1－12)＝eq\r(13)，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴兩圓外離，∴兩圓有4條公切線．考點(diǎn)二與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題[例2](1)(·安徽高考)直線x＋2y－5＋eq\r(5)＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長(zhǎng)為()A．1B．2C．4D．4eq\r(6)(2)(·江西高考)過點(diǎn)(eq\r(2)，0)引直線l與曲線y＝eq\r(1－x2)相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)[自主解答](1)因?yàn)閳A心(1,2)到直線x＋2y－5＋eq\r(5)＝0的距離d＝eq\f(|1＋4－5＋\r(5)|,\r(12＋22))＝1，且圓的半徑r＝eq\r(5).所以所得弦長(zhǎng)＝2eq\r(\r(5)2－1)＝4.(2)由于y＝eq\r(1－x2)，即x2＋y2＝1(y≥0)，直線l與x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，S△AOB＝eq\f(1,2)×1×1×sin∠AOB≤eq\f(1,2)，且當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，S△AOB取得最大值，此時(shí)AB＝eq\r(2)，點(diǎn)O到直線l的距離為eq\f(\r(2),2)，則∠OCB＝30°，所以直線l的傾斜角為150°，則斜率為－eq\f(\r(3),3).[答案](1)C(2)B【方法規(guī)律】計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法(1)幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成的直角三角形計(jì)算．(2)代數(shù)方法運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]).1．直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長(zhǎng)為________．解析：法一：幾何法：圓心到直線的距離為d＝eq\f(|0－2|,\r(2))＝eq\r(2)，圓的半徑r＝2，所以弦長(zhǎng)l＝2×eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).法二：代數(shù)法：聯(lián)立直線和圓的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y－22＝4，))消去y可得x2－2x＝0，所以直線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,2)，(0,0)，弦長(zhǎng)為eq\r(2－02＋2－02)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)2．(·濟(jì)南模擬)已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________________．解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為x＋y＋m＝0，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則由題意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以a＝3，故圓心坐標(biāo)為(3,0)．因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直線方程為x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三圓的切線問題1．與圓有關(guān)的切線問題，是近年來高考在本節(jié)命題的一個(gè)熱點(diǎn)問題，多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為中、低檔題目．2．高考對(duì)圓的切線問題的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)過圓上一點(diǎn)求圓的切線方程；(2)過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程；(3)與切線長(zhǎng)有關(guān)的問題；(4)與切線夾角有關(guān)的問題．[例3](1)(·江西高考)過直線x＋y－2eq\r(2)＝0上點(diǎn)P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．(2)(·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．①若圓心C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；②若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．[自主解答](1)如圖所示，|OP|＝eq\f(|OA|,sin∠OPA)＝2，設(shè)P(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝2，,x＋y－2\r(2)＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝\r(2)，))故P(eq\r(2)，eq\r(2))．(2)①由題意知，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3，依題意知，eq\f(|3k－2＋3|,\r(k2＋1))＝1，所以k＝0或－eq\f(3,4)，因此，切線方程為y＝3或y＝－eq\f(3,4)x＋3，即切線方程為y－3＝0或3x＋4y－12＝0.②因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，所以eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤eq\r(a2＋2a－32)≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈由5a2－12a≤0，得0≤a≤eq\f(12,5).所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0，eq\f(12,5).[答案](1)(eq\r(2)，eq\r(2))與圓的切線有關(guān)的問題的常見類型與解題策略(1)過圓上一點(diǎn)求圓的切線方程．首先考慮切線斜率不存在時(shí)，是否符合要求，其次考慮斜率存在時(shí)，由直線與圓相切，求出斜率k，進(jìn)而得出切線方程．(2)過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程．方法同上．(3)與切線長(zhǎng)有關(guān)的問題．解題時(shí)應(yīng)注意圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，從而得出一個(gè)直角三角形，然后求解．(4)與切線有關(guān)的夾角問題．與(3)相同，利用直角三角形解決問題．1．(·大慶模擬)已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為()A.x2＋y2－2x－3＝0B.x2＋y2＋4x＝0C.x2＋y2＋2x－3＝0D.x2＋y2－4x＝0解析：選D設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，又因?yàn)橹本€3x＋4y＋4＝0與圓C相切，所以eq\f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝2，解得a＝2或－eq\f(14,3)(舍)，因此圓的方程為(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0.2．(·豫東、豫北十校聯(lián)考)圓心在曲線y＝eq\f(3,x)(x>0)上，且與直線3x＋4y＋3＝0相切的面積最小的圓的方程為()A．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝9B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))2C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))2D．(x－eq\r(3))2＋(y－eq\r(3))2＝9解析：選A設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,a)))(a>0)，則點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,a)))(a>0)到直線3x＋4y＋3＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(12,a)＋3)),5)＝eq\f(3a＋\f(12,a)＋3,5)≥eq\f(2\r(3a×\f(12,a))＋3,5)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝eq\f(12,a)，即a＝2時(shí)取等號(hào)，因此所求圓的圓心坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，半徑是3，圓的方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2