高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第九章 第五節(jié) 直接證明與間接證明演練知能檢測(cè) 文

第五節(jié)直接證明與間接證明[全盤鞏固]1．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù)解析：選B“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”．2．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()A．恒為負(fù)值B．恒等于零C．恒為正值D．無法確定正負(fù)解析：選A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)<0.3．(·嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b為正實(shí)數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系為()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：選Aeq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是單調(diào)減函數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b))).4．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P、Q的大小關(guān)系是()A．P>QB．P＝QC．P<QD．由a的取值確定解析：選C假設(shè)P<Q，要證P<Q，只要證P2<Q2，只要證：2a＋7＋2eq\r(aa＋7)<2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)，只要證a2＋7a<a2＋7a＋12，只要證0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．5．不相等的三個(gè)正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項(xiàng)，y是b，c的等比中項(xiàng)，則x2，b2，y2三數(shù)()A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列解析：選B由已知條件，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2b，,x2＝ab，,y2＝bc.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②,③))由②③，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(x2,b)，,c＝\f(y2,b)，))代入①，得eq\f(x2,b)＋eq\f(y2,b)＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差數(shù)列．6．如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2CA．△A1B1C1和△A2B2CB．△A1B1C1和△A2B2CC．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2CD．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C解析：選D由條件知，△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)△A2B2由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA2＝cosA1＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A1))，,sinB2＝cosB1＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B1))，,sinC2＝cosC1＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C1))，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A2＝\f(π,2)－A1.,B2＝\f(π,2)－B1.,C2＝\f(π,2)－C1.))那么A2＋B2＋C2＝eq\f(π,2)，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾．所以假設(shè)不成立，又由已知可得△A2B2C2不是直角三角形，所以△A2B2C7．用反證法證明命題“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么假設(shè)的內(nèi)容是_________________________________________________________．解析：“至少有n個(gè)”的否定是“最多有n－1個(gè)”，故應(yīng)假設(shè)a，b中沒有一個(gè)能被5整除．答案：a，b中沒有一個(gè)能被5整除8．設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a、b中至少有一個(gè)大于1”的條件是________(填序號(hào))．解析：若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b>1.但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；對(duì)于③，即a＋b>2，則a、b中至少有一個(gè)大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a、b中至少有一個(gè)大于1.答案：③9．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．解析：法一：(補(bǔ)集法)令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－2p2＋p＋1≤0，,f1＝－2p2－3p＋9≤0，))解得p≤－3或p≥eq\f(3,2)，故滿足條件的p的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).法二：(直接法)依題意有f(－1)>0或f(1)>0，即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，得－eq\f(1,2)<p<1或－3<p<eq\f(3,2)，故滿足條件的p的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))10．已知a>0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1.求證：eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b)).證明：∵eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，a>0，∴0<b<1，要證eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b))，只需證eq\r(1＋a)·eq\r(1－b)>1，只需證1＋a－b－ab>1，只需證a－b－ab>0，即eq\f(a－b,ab)>1，即eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1.這是已知條件，所以原不等式成立．11．設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．(1)若{an}為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且對(duì)所有正整數(shù)n，有Sn＝eq\f(1－qn,1－q).判斷{an}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．解：(1)法一：設(shè){an}的公差為d，則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝eq\f(na1＋an,2).法二：設(shè){an}的公差為d，則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n∴Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2){an}是等比數(shù)列．證明如下：∵Sn＝eq\f(1－qn,1－q)，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝eq\f(1－qn＋1,1－q)－eq\f(1－qn,1－q)＝eq\f(qn1－q,1－q)＝qn.∵a1＝1，q≠0，∴當(dāng)n≥1時(shí)，有eq\f(an＋1,an)＝eq\f(qn,qn－1)＝q，因此，{an}是首項(xiàng)為1且公比為q的等比數(shù)列．12．(·北京高考)給定數(shù)列a1，a2，…，an，對(duì)i＝1,2，3，…，n－1，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后n－i項(xiàng)ai＋1，ai＋2，…，an的最小值記為Bi，di＝Ai－Bi.(1)設(shè)數(shù)列{an}為3,4,7,1，寫出d1，d2，d3的值；(2)設(shè)a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a1>0，證明：d1，d2，…，dn－1是等比數(shù)列；(3)設(shè)d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1>0，證明：a1，a2，…，an－1是等差數(shù)列．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.(2)證明：因?yàn)閍1>0，公比q>1，所以a1，a2，…，an是遞增數(shù)列．因此，對(duì)i＝1,2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.于是對(duì)i＝1,2，…，n－1，di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.因此di≠0且eq\f(di＋1,di)＝q(i＝1,2，…，n－2)，即d1，d2，…，dn－1是等比數(shù)列．(3)證明：設(shè)d為d1，d2，…，dn－1的公差．對(duì)1≤i≤n－2，因?yàn)锽i≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.又因?yàn)锳i＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.從而a1，a2，…，an－1是遞增數(shù)列．因此Ai＝ai(i＝1,2，…，n－1)．又因?yàn)锽1＝A1－d1＝a1－d1<a1，所以B1<a1<a2<…<an－1.因此an＝B1.所以B1＝B2＝…＝Bn－1＝an.所以ai＝Ai＝Bi＋di＝an＋di.因此對(duì)i＝1,2，…，n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d，即a1，a2，…，an－1是等差數(shù)列．[沖擊名校]設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無窮數(shù)列{an}的集合：①eq\f(an＋an＋2,2)≤an＋1；②an≤M，其中n∈N*，M是與n無關(guān)的常數(shù)．(1)若{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，a3＝4，S3＝18，試探究{Sn}與集合W之間的關(guān)系；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn＝5n－2n，且{bn}∈W，M的最小值為m，求m的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)Cn＝eq\f(1,5)[bn＋(m－5)n]＋eq\r(2)，求證：數(shù)列{Cn}中任意不同的三項(xiàng)都不能成為等比數(shù)列．解：(1)∵a3＝4，S3＝18，∴a1＝8，d＝－2.∴Sn＝－n2＋9n.eq\f(Sn＋Sn＋2,2)<Sn＋1滿足條件①，Sn＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,2)))2＋eq\f(81,4)，當(dāng)n＝4或5時(shí)，Sn取最大值20.∴Sn≤20滿足條件②，∴{Sn}∈W.(2)bn＝5n－2n可知{bn}中最大項(xiàng)是b3＝7，∴M≥7，M的最小值為7.(3)證明：