高中數(shù)學必修1-必修5知識點總結(jié)

高中數(shù)學必修1知識點

第一章集合與函數(shù)概念

[1.1.1]集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合M的關(guān)系是aeM,或者a任用，兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：｛xlx具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合

叫做空集(0).

[1.1.2)集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

A=B(l)AOA

(或A中的任?元素都屬(2)0OA

子集

于B⑶若A18且8qC,則A口C

B^A)

(4)若A且A,則A=5或

AUB(1)0uA(A為非空子集)

*A^B且B中至

真子集f

少有一元素不屬于A

(或B匚)A)(2)若AuB且5uC,則4uC

****

A中的任一元素都屬

集合(l)AOB

A=5于B,B中的任一元素

相等(2)BOA

都屬于A

(7)已知集合A有〃(〃21)個元素，則它有2"個子集，它有2"—1個真子集，它有2"—1個非空子集,

它有2"-2非空真子集.

[1.1.3)集合的基本運算

(8)交集、并集、補集

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

(1)Ap|A=A

A且

APS(2)AQ0=0

交集

(3)AflBgA

XGB}GD

(1)A\JA=A

A或

(2)A|J0=A

并集

(3)AljBoA

XGB}

AUB=B0

lAn@A)=02AUQ，4)=U

u

且xeA]瘠(An8)=(“A)UQB)

補集的A

骸AU8)=(uA)n&8)Q

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(I)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0)[x\-a<x<a}

Ix\>a(a>0)X|Xv-a或x>a}

把ax+力看成一個整體，化成|x|<a,

|ax+h\<c,|ax+b\>c(c>0)

|x|>a(a>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=Z?2-4ac

二次函數(shù)4\

y=ax1+〃x+c(a>0)

0X1-%2

的圖象十

一元二次方程-b±>Jb2-4ac

Xl,2=------------b

ax2+Zzx+c=0(a>0)2aX,=X-,=----無實根

2a

的根(其中X〈王2)

ax2+hx+c>0(。>0)

{幻光<%或1>12}{x\X*-}R

2a

的解集

ax2+bx+cv0(4>0)

[x\x]<x<x2]00

的解集

K1.23函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、8是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中任何一個數(shù)X,在集合B

中都有唯一確定的數(shù)/(%)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,3以及A到8的對應(yīng)法則f)

叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作/:4-5.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)a,人是兩個實數(shù)，且。<匕，滿足a〈尤Wb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做［a,/?］；滿足

a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,/>)；滿足aWx<h,或a<xWb的實數(shù)x的

集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做［a,。)，(a,切；滿足的實數(shù)x的集

合分別記做［a,+8),(a,+oo),(-8,6］,(YO,6).

注意：對于集合｛x［a<x</?｝與區(qū)間(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必須

a<b.

(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①/(X)是整式時，定義域是全體實數(shù).

②/(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).

③/(X)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.

7T

⑤y=tanx中，k7r+—(k&Z).

⑥零(負)指數(shù)事的底數(shù)不能為零.

⑦若/(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)

的定義域的交集.

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為回，其復(fù)合函數(shù)/Tg(x)］

的定義域應(yīng)由不等式a<g(x)Wb解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個

最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是

提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的

值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=f(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程

a(y)x?+6(y)x+c(y)=0,則在a(y)r0時，由于為實數(shù)，故必須有

A=b2(y)-4a(y)-c(y)>0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或坡值.

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間

的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)A、8是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中任何一個元素，在集合8中都有

唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,3以及A到8的對應(yīng)法則f)叫做集合A到

3的映射，記作于：AfB.

②給定一個集合A到集合8的映射，且如果元素a和元素。對應(yīng)，那么我們把元素

b叫做元素a的象，元素a叫做元素人的原象.

K1.32函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義域I內(nèi)某(1)利用定義

/

個區(qū)間上的任意兩個自變量'y=fW/(2)利用已知函數(shù)的

的值XI、X2,當Xl<2時，都f(xj單調(diào)性

有f(X1)<f(x),那么就說

2一5)(3)利用函數(shù)圖象(在

f(x)在這個區(qū)間上是增事蒙.某個區(qū)間圖

:x.x,X象上升為增)

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性(1)利用定義

如果對于屬于定義域I內(nèi)某Jy=f(x)(2)利用已知函數(shù)的

個區(qū)間上的任意兩個自變量f(x^單調(diào)性

XXfi)T-

的值XI、X2,當不?和時，都(3)利用函數(shù)圖象(在

有f(X1)>f(X2),那么就說某個區(qū)間圖

f(x)在這個區(qū)間上是誠喀數(shù).0x,x,X象下降為減)

(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為

增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］,令"=g(x),若y=/Q)為增，M=g(x)為增，則

y=〃g(x)］為增；若y=/Q)為減，，，=g(x)為減，則y=/［g(x)］為增；若y=/(“)為

增，〃=g(x)為減，則y=/Tg(x)］為減；若y=f(")為減，"=g(x)為增，則

y=/Tg(x)］為減./(x)=x+-(a>0)

x

(2)打“J"函數(shù)/(x)=x+@(a>0)的圖象與性質(zhì)

x

/(X)分別在(-8,—6］、［6,+8)上為增函數(shù)，分別在一品

ova

［一&,0)、(o,6］上為減函數(shù).—2\/a

(3)最大(小)值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：(1)

對于任意的xw/,都有

(2)存在使得/(%)=M.那么，我們稱M是函數(shù)/(x)的最大值，記作

舞x(X)="?

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)加滿足：(1)對于任意的xe/,都有

/(x)N根；(2)存在/€/，使得/(尤0)=加.那么，我們稱m是函數(shù)/(X)的最小值，記作

[1.3.2]奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)(1)利用定義(要先

任意一個X,都有f(—x)="V

(a,f(a))判斷定義域是否關(guān)于

f⑶，那么函數(shù)f(x)叫做可國原點對稱)

-a二一

里.oax(2)利用圖象(圖象

關(guān)于原點對稱)

(-a.f(-a))

函數(shù)的

奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)(1)利用定義(要先

y

任意一個X,都有f(—x)=f(x),判斷定義域是否關(guān)于

(-a,f(-a))^(a.f(a))

那么函數(shù)f(x)叫做假半數(shù).原點對稱)

土二(2)利用圖象(圖象

-aoax關(guān)于y軸對稱)

②若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/(0)=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或

奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

K補充知識》函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本

初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

力＞0,左移〃個單位

y=右移㈤個單位^y=f(x+h)

火＞o,上移&個單位

y=/(x)上＜0,下移出個單位^y=f\x)+k

②伸縮變換

丁=/(力一嚷潦一＞。=/(如)

0<A伸

y=f(x)A>1,伸

③對稱變換

y=/(x)—y^y=f(-x)

y=/(x)颯f=_/(f)y=/(x)宜線y=x>y=/T(x)

去掉y軸左邊圖象

y=/(x)>y=/(|xl)

保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于)，軸對稱圖象

保留X軸上方圖象

y=/(x)籽X軸下方圖象翻折上去>y="(x)l

(2)識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，

獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)(I)

H2.13指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)累的運算

(1)根式的概念

①如果x"=a,aeR,xeR,〃>l,且“wN+，那么x叫做a的“次方根.當〃是奇數(shù)時,

。的〃次方根用符號后表示；當〃是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的〃次方根用符號布表示，負的〃次方

根用符號一折表示；o的〃次方根是0；負數(shù)a沒有〃次方根.

②式子后叫做根式，這里般叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當〃為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)：當

〃為偶數(shù)時，?>().

③根式的性質(zhì)：(德')"=。：當〃為奇數(shù)時，技=。；當〃為偶數(shù)時，

后=|止卜(<2-0).

-a(a<0)

(2)分數(shù)指數(shù)累的概念

tn____

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)鬲的意義是：疝=后(a>Qm,neN”且n>I).0的正分數(shù)指數(shù)

秤等于0.

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕的意義是：。一；=(‘)'=Jd)"'(a>0,機,〃wN+，且〃>1).o

aNa

的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分數(shù)指數(shù)轅的運算性質(zhì)

①小as=a,+x(a>0,r,5GR)②(")'=Q"(Q>0,幾/?)

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,rG/?)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a\a〉0且aw1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>\()<?<1

圖象

j=1X.(0,1)

]J

O\Z

定義域R

值域(0,+oo)

過定點圖象過定點(0,1),即當x=0時，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>\(x>0)ax<\(x>0)

函數(shù)值的ax=1(x=0)ax=1(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>1(x<0)

a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

K2.23對數(shù)函數(shù)

[2.2.1]對數(shù)與對數(shù)運算

(1)對數(shù)的定義

①若優(yōu)=N(a>O,H.aNl),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log“N,其中。叫做底數(shù),

N叫做真數(shù).

②負數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log,,N=a*=N(a>(),aH1,N〉0).

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

b

log?l=0,log?a=l,logfla=b.

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即logioN；自然對數(shù)：InN,即k)g?N(其中e=2.71828…).

(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果>0,N>0,那么

M

①加法：log"M+log”N=log"(MN)②減法：log。M-log,,N=log?—

③數(shù)乘：nlogaM=log?M'\n&R)④**=N

n

n⑥換底公式：log“N=鹿劍｛b>0,.目力豐1)

⑤log〃M=—\ogaR)

“hlog〃a

12.2.2］對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=logax(a>0且aw1)叫做對數(shù)函數(shù)

a>1()<a<1

1(x=1

:y=1oga

y>y=log。*

I

圖象

\；(1,0)

11八(1,0)X0

定義域(0,+oo)

值域R

過定點圖象過定點(1,0),即當x=l時，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+00)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

logax>0(x〉l)logflx<0(x>l)

函數(shù)值的

logax=0(x=l)logux=0(尤=1)

變化情況

log(,x<Q(0<x<l)log?x>0(0<x<1)

a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為A，值域為C,從式子y=/(x)中解出x,得式子x=(p(y).如

果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=°(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式

子x=0(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x=0(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y),

習慣上改寫成y=

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/-(y)；

③將％=r'(y)改寫成y=f~\x)，并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=r'(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若P(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上，則Pg,。)在反函數(shù)y=/T(x)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.32幕函數(shù)

(1)嘉函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做幕函數(shù)，其中X為自變量，a是常數(shù).

一、：象限（圖象關(guān)于y軸對稱）；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點對稱）；是非奇非偶

函數(shù)時，圖象只分布在第一象限.

②過定點：所有的事函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）.

③單調(diào)性：如果。>0,則嘉函數(shù)的圖象過原點，并且在［0,+8）上為增函數(shù).如果a<（）,則恭函數(shù)的

圖象在（0,+8）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.

q

④奇偶性：當a為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，基函數(shù)為偶函數(shù).當&='（其中p,q互

P

質(zhì)，〃和qwZ）,若p為奇數(shù)（7為奇數(shù)時，則y=x0是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則y=x°

是偶函數(shù)，若〃為偶數(shù)g為奇數(shù)時，則y=x0是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：事函數(shù)）=》0,%€（0,+8）,當a〉l時，若0<x<I,其圖象在直線y=x下方，若

x>\,其圖象在直線y=x上方，當a<l時，若0cx<1,其圖象在直線y=x上方，若%>1,

其圖象在直線y=x下方.

（補充知識》二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/（%）=辦2+0x+c（a/0）②頂點式：/（x）=a（x-〃）2+Z（a/0）③兩根式：

/（%）=a（x-%1）（x-x2）（?^0）（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時，常使用頂點式.

③若已知拋物線與X軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求/（X）更方便.

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

,b

①二次函數(shù)/0）=。d+必+。（。/0）的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x=---，頂點坐標是

2a

b4ac-b2

,----7------）-

2a4a

②當a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在（一8,--上遞減，在［―-+8）上遞增，當為=--2時,

2a2a2a

「,、Aac-b'八_,b、rb

Enin（X）=-------；當。<（）時，拋物線開口向下，函數(shù)在（一℃,-----］上遞增，在1----,+8）上

4a2a2a

b,,、4ac-b2

遞減，當x=一丁時，=——?

2a4a

③二次函數(shù)/(x)=ax：2+8x+c(a70)當△=/??-4ac＞0時，圖象與x軸有兩個交點

理

1?1

(4)一元二次方程g?+Zzr+c=O(aHO)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不

夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達定理)的運用，

下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.

設(shè)一元二次方程ax?+。無+，=0(。/0)的兩實根為X1,X2,且玉＜々.令

/(x)=ax2+bx+c,從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：x=~~

2a

③判別式：△④端點函數(shù)值符號.

①上＜XWM。

④LV.MW照〈他O

⑤有且僅有一個根汨(或照)滿足左<的(或心)<k2O八幻/(他)<0,并同時考慮f(k)=0

或八矽=0這兩種情況是否也符合

⑥k〈x\<k2Mp<X2<p?O

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/0)=以2+"+以。。0)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設(shè)/(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值為A/,最小值為加，令x()=g(P+q).

(I)當。>0時(開口向上)

hbbb

①若----<p,則m=/'(〃)②若p<----<q,則加=/(-----)③若----->q,則

2a2a2a2a

m=f(q)

(H)當。<0時(開口向下)

hhbb

①若----<p,則M=f(p)②若p?-----<q,則M=/(-----)③若----->q,則

la2a2a2a

M=f(q)

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)^=/(x)(xGD),把使/(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)

丁=/(x)(xeO)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0實數(shù)根，亦即函數(shù)丁=/(x)的

圖象與x軸交點的橫坐標。即：

方程/(幻=0有實數(shù)根0函數(shù)丁=/。)的圖象與》軸有交點0函數(shù)了=/0)有零點.

3,函數(shù)零點的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實數(shù)根；

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利

用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0).

1)△>(),方程a?+陵+。=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次

函數(shù)有兩個零點.

2)△=0,方程以2+法+。=0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與X軸有一個交

點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

3)A<0,方程ax?+法+。=。無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點.

高中數(shù)學必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

(1).平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

(2).平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(―)空間幾何體的表面積

I棱柱、棱銖的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積S=27irl+2OT-23圓錐的表面積S=M+m-2

4圓臺的表面積S=++成/+成25球的表面積S=4成一

(-)空間幾何體的體積

1。,

1柱體的體積V=S底x/?2錐體的體積V=§S底x/z

4,

3臺體的體積V=；（S上+[S1、下+S下）x〃4球體的體積V=-7lR3

3

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

I平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45",且橫邊畫

成鄰邊的2倍長(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四

個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

符號表示為

A￡L-*s

BeLkLC

AGaf

BGa二

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面Q,

使AWa、BEa、Ceao

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

符號表示為：PSan3=>anp=L,且PWL

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

卅*4八佛交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；

共面百線Y

國行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a〃b

｝二＞a〃c

c〃b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補

4注意點：

①a'與b’所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為簡便，點O一般取在兩直

線中的一條上；n

②兩條異面直線所成的角0e(0,);萬

③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ad_b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形：

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點

(2)直線與平面相交一一有且只有一個公共點

(3)直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表示《

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示；

aa《

b3Qa二>a〃a

a/7b1

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

bC

aAb=P>B〃Q

a〃a

b〃a

2、判斷兩平面平行的方法有三種:

(1)用定義；

(2)判定定理；

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任平面與此平面的交線與該直線平