廣西南寧市第學(xué)高二期中段考數(shù)學(xué)試題

南寧三中2019-2020學(xué)年度下學(xué)期高二段考理科數(shù)學(xué)試題命題人：曹東林羅佼佼楊海棠審題人：曹東林羅佼佼楊海棠一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．2．觀察數(shù)列1，，，4，，，7，，……，則該數(shù)列的第11項等于（）A．1111 B．11 C． D．3．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則一定成立的是A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．5．已知焦點在軸上的橢圓的長軸長是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由時的假設(shè)到證明時，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．C． D．7．如圖，在正方體中，，依次是和的中點，則異面直線與CF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．08．如圖，長方形的四個頂點為，，，，曲線經(jīng)過點.現(xiàn)將一質(zhì)點隨機投入長方形中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．9．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．410．函數(shù)圖象大致為（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，若存在使得，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．，12．定義方程的實根叫做函數(shù)的“新駐點”，若函數(shù)，，的“新駐點”分別為，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的極小值是__________14.已知函數(shù)定義域為R，，在上的導(dǎo)數(shù)滿足，則不等式的解集為___________.15.關(guān)于的不等式恒成立，實數(shù)的取值范圍是__________.16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，,過作圓的切線，交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的離心率為________三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。）（一）必考題：共60分。17.（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．（1）求角C的大?。?）若，的面積為，求的周長．18.（12分）已知正項等比數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，，．是棱的中點．（1）求證：面；（2）求二面角的正弦值；20．（12分）已知橢圓的離心率為，兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成的三角形面積為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)與圓O：相切的直線l交橢圓C于A，B兩點（O為坐標(biāo)原點），求△AOB面積的最大值.21.（12分）已知函數(shù)（1）討論當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)性（2）當(dāng)對任意的恒成立,其中.求的取值范圍.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.[選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程]（10分）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，直線與曲線交于兩點，求的值.23.[選修4-5不等式選講]（10分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若不等式的解集為空集，求a的取值范圍.

南寧三中2019-2020學(xué)年度下學(xué)期高二段考理科數(shù)學(xué)試題參考答案1．【答案】B【解析】∵∴∴的虛部為-12.【答案】C【解析】由數(shù)列得出規(guī)律，按照1，，，…，是按正整數(shù)的順序排列，且以3為循環(huán)節(jié)，由，所以該數(shù)列的第11項為．3．【答案】B【解析】因為，所以，.故選B．4．【答案】A【解析】當(dāng)x=1時，f(1)=-2+0=-2，所以切點為（1,-2）,由題得，所以切線方程為,即：5．【答案】A【解析】由題意知，，∴，又，∴，則.因為橢圓的焦點在軸上時，所以橢圓方程為.6．【答案】B【解析】因為當(dāng)時，等式的左邊是，所以當(dāng)時，等式的左邊是，多增加了7．【答案】A【解析】連接，則，則（或其補角）為異面直線與所成角，在中，設(shè)，則，，由余弦定理得：，即異面直線與所成角的余弦值為8．【答案】C【解析】由已知易得：，由面積測度的幾何概型：質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率9．【答案】D【解析】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)且即時取等號，故選：．10．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，B；當(dāng)時，函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，排除D．11．【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，其圖象如圖：直線恒過定點若存在使得，則函數(shù)的圖象在直線下方有圖象或有交點，則直線與函數(shù)的圖象必定有交點分析可得：當(dāng)時，直線經(jīng)過第一三四象限，與函數(shù)的圖象必有交點，符合題意；當(dāng)時，直線經(jīng)過第二三四象限，若直線與有交點，必然相交于第二象限則有，即，變形可得令，解得或（舍），則有，綜合可得：的取值范圍為12．【答案】B【解析】由題意：，所以分別為的根，即為函數(shù)的零點，可解得：；又因為：；又因為：；所以：13.【答案】【解析】，由得函數(shù)在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，故在處有極小值，極小值為.14.【答案】【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，在上是增函數(shù)，且.又不等式可化為，即，∴.15.【答案】【解析】在恒成立，即恒成立，即，令，則，當(dāng)，即，解得，當(dāng)，即，解得所以在上為減函數(shù)，在上增函數(shù)，所以，所以16.【答案】【解析】如圖，設(shè)切點為，連接，過作于，是中點，，，，，故，在中，，即，故17.【解析】（1）由正弦定理，得，因為，所以，故，又因為0＜C＜，所以（2）由已知，得.又，所以.由已知及余弦定理，得，所以，從而.即，故a+b+c=，所以的周長為.18.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，，，即，，解得，.由（1），，，兩式相減，得，因此，19.【解析】作SC的中點N，連接MN，DN，因為M,N分別為SB，SC的中點，所以MN//BC，，又AD//BC，所以MN//AD，MN=AD，故四邊形AMND為平行四邊形，AM//ND又，AM不在平面SCD內(nèi)，所以AM//平面SCD（2）以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，C(2,1,0)，D(1,0,0)，M(0,1,1)，S(0,0,2)，則，，，設(shè)平面的法向量是，則，即，令，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令y1=-1，則x1=2，z1=3，,設(shè)二面角的平面角大小為，則，即．二面角的正弦值為．，即點到平面距離為.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（I）由題設(shè)：，解得∴橢圓C的方程為（Ⅱ）.設(shè)1.當(dāng)ABx軸時，2.當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為由已知，得把代入橢圓方程消去y，整理得,有,,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.當(dāng)時，綜上所述，從而△AOB面積的最大值為21．（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)，，在為增函數(shù)（2）由已知有,其中,..令,其中,.由得在上單調(diào)遞增.又,當(dāng)時,,故存在,使得.當(dāng)時,,,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,,在上單調(diào)遞增.故.由得,,即.則.令,由,,解得.因為在上單調(diào)遞增,,所以.故,即,解得22．（1）直線普通方程：，曲線直角坐標(biāo)方程：；（2）.